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Chapitre 5 : Etude de la Stabilité des systèmes dynamiques.

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1 Chapitre 5 : Etude de la Stabilité des systèmes dynamiques

2 5.1 Définition

3 Première approche de la stabilité –Ce n est pas la résonance ! –Système stable = en réponse à un échelon, le système se stabilise après un transitoire –Exemples de systèmes instables :

4 –Toute FT H(p) peut se décomposer en éléments simples : –la CNS pour que H(p)=Num(p)/Den(p) soit stable est que tous ses pôles aient leur partie réelle négative : –Equation caractéristique : Den(p)=0 Une approche plus mathématique

5 5.2 Critère algébrique de Routh

6 Principe On considère le dénominateur de H(p) : 4 Condition nécessaire de stabilité : Tous les coefficients de léquation caractéristique sont de même signe. 4 Condition nécessaire et suffisante de stabilité On construit un tableau à partir des coefficients. Si tous les termes de la première colonne sont de même signe, le système est stable...

7 Exemple Système instable

8 5.3 Critère graphique du revers

9 L équation caractéristique 4 Soit un système à retour unitaire : 4 Sa FT en BF vaut : 4 Les zéros de « l équation caractéristique » : correspondent aux pôles de la FT en BF, ils doivent être à partie réelle négative Mesure Consigne + - H(p)

10 Les critères graphiques 4 L équation caractéristique peut être modifiée : 4 Cela veut dire que dans le plan complexe, lorsque le lieu de transfert H(p) passe par le point (-1,0), dit « point critique », le système est à la limite de la stabilité 4 C est ce constat qui est à l origine du critère du revers, qui est une simplification du critère de Nyquist (qui ne sera pas traité)

11 Le critère du revers 4 On considère un système à retour unitaire : 4 Ce système (BF) est stable si le lieu de Nyquist en BO (diagramme de Nyquist de H(p)) parcouru dans le sens des fréquences croissantes, laisse le point critique (-1,0) constamment à sa gauche Mesure Consigne + - H(p)

12 Exemple R I Stable R I Limite de stabilité R I Instable

13 Exemple : en BO Réponse indicielle en BF Diagramme de Nyquist en BO K = 1 stable K = 1.5 limite de stabilité

14 Mise en œuvre dans le plan de Bode 4 Point critique (-1,0) « équivalent » aux points : –A d amplitude 0 dB –B de déphasage -180 ° -180° dB ° A B Une courbe : un point Deux courbes : deux points R I A B Stable

15 Equivalence Nyquist-Bode Limite de stabilité : A et B sont identiques -180° dB ° ABAB R I

16 Equivalence Nyquist-Bode Système instable -180° dB ° B A R I B A

17 5.4 Marges de stabilité

18 Principe –La notion de stabilité est binaire –Pour qu un système asservi soit performant, il ne suffit pas qu il soit stable, il doit l être « suffisamment » –Dans le cas de l utilisation d un modèle simplifié, il faut tenir compte du fait qu il est simplifié et prendre une marge de sécurité Réponse indicielle d un système stable ; cette réponse n est cependant pas acceptable pour une régulation

19 Notion de marge de stabilité 4 La notion de marge de stabilité peut être vue comme une « marge de sécurité » par rapport au point critique : pour être suffisamment stable, il faut suffisamment s éloigner du point critique 4 Comment traduire cet éloignement ? : –lieux de Nyquist et Bode : marge de gain et de phase –lieu des pôles : gabarit

20 Marge de gain et de phase (en BO) -180° dB ° A B Marge de phase Marge de gain R I A B Marge de phase Marge de gain Valeurs courantes : - marge de phase : M = 30 à 50 ° - marge de gain : M G = 8 à 15 dB Dans les calculs, on privilégie l utilisation de la marge de phase M = 45 ° M G = 12 dB


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