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1 M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* Laboratoire de Mécanique des Fluides et dAcoustique, 1 Transformations de Squire.

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1 1 M.H. ALLOUCHE, V. BOTTON, S. MILLET, D. HENRY, H. BEN HADID, F. ROUSSET* Laboratoire de Mécanique des Fluides et dAcoustique, 1 Transformations de Squire pour un fluide purement visqueux Ecoulement à surface libre sur plan incliné

2 2 Etude de stabilité S.Millet et.al (2007)

3 3

4 4 Plan I.Stabilité découlement de fluide newtonien en canal plan (Squire H.B 1933) II.Stabilité découlement à surface libre de fluide newtonien sur plan incliné (Yih C.S 1955 et Chang-Demekhin) III.Stabilité découlement de fluide purement visqueux en canal plan (Nouar et.al 2007) IV.Stabilité découlement à surface libre de fluide purement visqueux sur plan incliné

5 5 Equation dOrr-Sommerfeld 3 Equations de Navier-Stokes + continuité [u,p] (x,y,z,t)=champ de base + [u,p] (x,y,z,t) => 4 Equations aux perturbations On élimine p, u et w => 1 équation dordre 4 en v Perturbations périodiques : CL en canal plan : non glissement aux parois CL à surface libre : non glissement au fond + contraintes tangentielles et normales à la SL + condition cinématique

6 6 Fluide newtonien en canal plan

7 7 Fluide newtonien en canal plan Squire H.B Perturbations (Orr-Sommerfeld) : Relations de Squire : Théorème de Squire : –Pour étudier les instabilités 3D, il suffit détudier les instabilités 2D. –Les instabilités 2D sont les plus dangereuses.

8 8 Fluide newtonien sur plan incliné

9 9 Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S. Champ de base : Nombres adimensionnels :

10 10 Fluide newtonien sur plan incliné Chang-Demekhin et Yih C.S. Eq dOrr-Sommerfeld identique CL différentes :

11 11

12 12 Fluide purement visqueux en canal plan

13 13 Fluide purement visqueux en canal plan Eq dOrr-Sommerfeld généralisée 3D Avec θ tenant compte de la perturbation de viscosité fluide purement visqueux Les relations de Squire sont-elles applicables ? –Terme en Dw : pas de relation de Squire ! –Introduire une équation supplémentaire ? –Nouar et.al (2007) : Etude numérique 3D En forçant θ=η... La viscosité perturbée nintervient quau niveau des contraintes de cisaillement dans le plan (x,y)

14 14 Fluide purement visqueux sur plan incliné

15 15 Fluide purement visqueux sur plan incliné Champ de base Avec Nombres adimensionnels :

16 16 Fluide purement visqueux sur plan incliné Eq dOrr-Sommerfeld généralisée CLs avec des perturbations 3D :

17 17

18 18 Merci de votre attention

19 19 Équations aux perturbations : Interprétation de : où 19/40

20 20 Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et al Modèle de Carreau Perturbation de contrainte Equations aux perturbations 3D

21 21 Fluide non newtonien en canal plan C.Nouar et.al 2007 Sous quelles conditions le théorème de Squire est-il applicable ?

22 22 Seuil de stabilité (approche Orr- Sommerfeld) Seuils de stabilité selon langle dinclinaison (Millet et al. 2007) –L = 0 dans le cas dun fluide newtonien –L = 0.5 dans le cas dun fluide de Carreau et I = 10 -3, n = 0.5. Re cr Angle dinclinaison 22

23 23 Prise en compte de la perturbation de viscosité. 23 On peut écrire : avec : Pente de la loi constitutive en échelles log 1


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