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Pavages Périodicité, Apériodicité, Universalité et autres petits problèmes…

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1 Pavages Périodicité, Apériodicité, Universalité et autres petits problèmes…

2 1.Principes de bases 2.Principaux résultats 3.Recherches actuelles

3 1. Principe de Base Une Tuile est un carré orienté, aux bordures colorées.

4 Deux tuiles sassemblent si leur couleur a leur bord commun est la même. Règles dassemblage

5 Système de Tuiles Un système de tuiles est un ensemble de tuiles coloriées sur un ensemble de couleurs C.

6 Énumération des systèmes Tout comme pour les Machines de Turing, ont peut coder les systèmes de tuiles. On parlera donc de T i comme étant le ième système de tuiles.

7 Les Problèmes Les problèmes quon se pose sont de la forme: Est-ce quun système de tuiles T i pave le plan?

8 Périodicité Un pavage est périodique sil existe un vecteur de translation horizontal et vertical pour toutes tuiles. Théorème: Si un système de tuiles pave le plan et que ce pavage admet un vecteur de translation pour toutes tuiles, alors ce système pave le plan périodiquement.

9 Exemple de pavage périodique

10 La Question Tout système de tuiles qui pave le plan admet-il un pavage périodique?

11 2. Principaux Résultats Théorème: (Berger) Le problème de savoir si un système de tuiles pave le plan est indécidable. Corollaire : Il existe des systèmes de tuiles qui pavent le plan uniquement de manière non périodique.

12 Corollaire: Les machines de Turing et les pavages sont équivalents. Pour toute machine de Turing M i, et toute entrée w, il existe un pavage T i qui pave le plan si et seulement si M i sarrête sur w.

13 Motifs Un motif est un sous-ensemble de tuiles bien assemblées.

14 Quasipériodicité Un pavage du plan est dit quasipériodique si pour tout motif de taille n du pavage, il existe un f(n), tel que dans tout carré de côté f(n), apparaisse au moins une fois le motif.

15 Exemple

16 Fonction de quasipériodicité Théorème: Si un système de tuiles pave le plan, alors il le pave de manière quasipériodique. On appelle fonction de quasipériodicité dun pavage la fonction qui relie aux motifs de taille n du pavage le plus petit f(n) tel que dans tout carré de côté f(n) apparaisse au moins une fois les motifs.

17 Type de fonction Quel que soit une fonction f récursive, il existe un système de tuiles qui pave le plan et dont la fonction de quasipériodicité ressemble a f. Il existe des fonctions de quasipériodicité qui croissent plus vite que nimporte quelle fonction récursive.

18 Classification actuelle des pavages 1.Pavages finis 2.Pavages Périodiques 3.Pavages auto-similaires 4.Pavages récursifs, ni 1,2 ou 3 5.Pavages non-récursifs

19 3. Recherches Actuelles Classification des pavages périodiques Théorème de Rice pour les pavages Pavage universel

20 Périodique peut être dur

21 Fonction de périodicité G Ce quon sait: G est non récursive G croît plus vite que nimporte quelle fonction récursive G est croissante Ce quon ne sais pas: G est strictement croissante?

22 Classification des périodiques avec les jeux Pour un système de tuiles, une pièce de jeu est un polygone aux bords coloriés, de taille limitée, qui est pavable.

23 Initialisation du jeu J 1 choisit les pièces du jeu et les réparties entre lui et J 2. J 1 J 2

24 Le Jeu Les joueurs posent les pièces chacun à leur tour, de manière à ce que toutes nouvelles zones soient T i -pavables

25 Score final et but du jeu Quand un joueur passe son tour il ne peut plus jouer. Le score final est la différence entre la zone de J 1 et celle de J 2 compris entre –m(i) et m(i). Le but de J 1 est de faire le plus petit score possible, celui de J 2 est dempêcher la formation dune période.

26 Classification et Objectifs Le score le plus petit que peut obtenir J 1 est la complexité de périodicité. Plus elle est petite, plus la période est simple. Le but est détudier les différentes complexités quont peut obtenir pour classifier les pavages périodiques.

27 Théorème de Rice En calculabilité, le théorème de Rice dit que: L={ i | L(M i ) satisfait P } est non récursif si P est non triviale (P est triviale si tout (resp. aucun) langage satisfait à cette propriété).

28 Lacet sur le plan Un lacet sur le plan est une application récursive bijective:

29 Nombre et pavage La valeur dun pavage relativement à un lacet l est le nombre réel dont la ième décimale est le code de la tuile se trouvant sur la case l(i) PsPs

30 Propriété sur les pavages Une propriété sur les pavages est un sous ensemble P de [0,1]. Un système de tuile satisfait à P sil existe un pavage du plan L, un lacet l, et une numérotation des tuiles du système de manière à ce que V(L) soit dans P.

31 Rice pour les pavages Étudier les propriétés P qui sont triviales au sens de Rice. Étudier les propriétés P qui peuvent générer des ensembles récursivement énumérables. Montrer que les propriétés sont indépendantes du lacet l pris en compte.

32 Universalité Objectif: avoir une définition duniversalité adaptée aux pavages, et qui séloigne de celle liée aux machines de Turing. On va voir trois définitions duniversalité

33 Universalité forte directe Un pavage P FD est universel fort direct si pour tout système de tuile T i qui pave le plan, il existe un pavage du plan P j par ce système et une correspondance entre les tuiles de T i et les motifs de P FD de manière à ce que le pavage P FD réduit aux motifs soit équivalent à T i.

34 Pavage universel FD

35 Universalité forte indirecte Un pavage P Fi est universel fort indirect si pour tout système de tuile T i qui pave le plan, il existe un pavage du plan P j par ce système et une correspondance entre les motif de P i et les motifs de P Fi de manière à ce que le pavage P Fi réduit aux motifs soit équivalent à P j réduit aux motifs.

36 Pavage universel FI

37 Pavage universel faible Un pavage P wi est universel fort indirect si pour tout système de tuile T i qui pave le plan, il existe un pavage du plan P j par ce système et une correspondance entre les tuile de P i et les motifs de P uF de manière à ce que dans le pavage P uF réduit aux motifs, tout motif de P j apparaisse au moins une fois.

38 Questions Ou… Apéros?


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