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Révision de math pour ECO 2012. Typiquement un élément de X sera de la forme (x 1,…..x n ) ou tous les x i sont des nombres réels et y aussi sera un nombre.

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1 Révision de math pour ECO 2012

2 Typiquement un élément de X sera de la forme (x 1,…..x n ) ou tous les x i sont des nombres réels et y aussi sera un nombre réel. On se concentre pour le moment sur fonctions à une Variable, c-à-d X R (X a un seul élément)

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11 ou:

12 exemple: Fonction continue: Fonction non continue:

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14 La taux daccroissement entre deux points A et B est égal à Cela mesure laccroissement relatif de f(x) quand x varie de x A à x B et il est égal à la pente du segment AB X f(x) xAxA xAxA A B f(x A ) f(x B )

15 La dérivé de la fonction f(x) au point A est la limite du taux daccroissement entre A et B quand B se rapproche arbitrairement près de A Si la dérivé existe elle est aussi égal à la pente de la tangente de la courbe au point A X f(x) xAxA xAxA A B f(x A ) f(x B )

16 Règles de dérivation

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18 Une fonction composite des fonctions f(x) et g(y) est définie à partir des deux fonctions f et g. On écrit que h(x)=f(g(x) Il sagit tout dabord de calculer y=g(x) et ensuite de calculer z=f(y) Exemple: f(x)=x 2 et g(x)=x+4 On a que f(g(x)=(x+4) 2 Similairement: g(f(x)=x 2 +4

19 Dérivé de la fonction composite z=f(g(x)): Il sagit de trouver la limite du taux daccroissement z/ x; dz/dx=f(y) g(x) ou y=g(x)

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25 Exemple: f(x)=x 1 2 x 2

26 Différentiel total Soit f(x 1,…x n ) une fonction à plusieurs variables. Le différentiel total de f(x) est : Le différentiel donne le changement de la valeur de la fonction f quand la variable x 1 change de dx 1, x 2 de dx 2 …. x n de x n. Les variations dx 1 …dx n sont supposées être petites.

27 Exemple: La fonction suivante est une fonction de profit: f(x 1,x 2 )=10x 1 +20x 2 -x 2 2 La variable x 1 est le niveau de production de la firme et x 2 le niveau de publicité. Initialement la firme produit 11 unités de produit et 11 unités de publicité. De combien est-ce que le profit augment il si la firme augmente le produit de 0.1 et réduit la publicité de 0.05? f(4,11)=123 e -> f(4.1, 10.95)= le profit change de On peut calculer une approximation de cette variation utilisant le différentiel:

28 Maximisation/Minimisation dune fonction à une variable sans contraintes

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30 Condition nécessaire pour un maximum local (et global) au point x*: f(x*)=0 Cependant quand f(x*)=0 il peut sagir dun maximum ou dun minimum local et pas global ou seulement dun point dinflexion. Nous sommes intéressés au maximum/minimum global:

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32 Maximisation/Minimisation dune fonction à plusieurs variables sans contraintes

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