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Cours 1 1.1 LES VECTEURS GÉOMÉTRIQUES. Aujourdhui nous allons voir 2 La définition dun vecteur géométrique. Les propriétés des vecteurs géométriques.

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1 Cours LES VECTEURS GÉOMÉTRIQUES

2 Aujourdhui nous allons voir 2 La définition dun vecteur géométrique. Les propriétés des vecteurs géométriques. La définition dun espace vectoriel. Laction des vecteurs sur un espace de points.

3 3 Définition: Une longueur Une direction Un sens Un vecteur géométrique est

4 4 4 Fixé dans le plan Un nombre Seulement dans le plan Une banane Un vecteur géométrique nest pas

5 5 On utilise des lettres avec une flèche au- dessus pour noter les vecteurs. Oups!

6 6 On peut définir une opération interne sur les vecteurs, quon nomme la somme de deux vecteurs. Attention ! Ce nest pas le même + quon connaît.

7 7 Somme de deux vecteurs 1. On prend deux vecteurs. 2. On fait coïncider la fin du premier avec le début du second. 3. La somme est le vecteur qui a le même point de départ que le premier et le même point darrivée que le second. Le premier Le second

8 8 Géométriquement, la somme de vecteurs est assez simple à comprendre. Par contre, manipuler les vecteurs en nutilisant que la géométrie savère assez complexe. Cest pourquoi nous allons explorer le comportement algébrique de cette somme.

9 9 Propriétés de la somme 1.

10 10 2. Propriétés de la somme

11 11 On peut définir un vecteur de longueur nulle quon nomme le vecteur nul et quon note: Remarque: Le vecteur nul na pas de direction. Propriétés de la somme

12 12 3. Propriétés de la somme

13 13 4.Pour chaque vecteur, il existe un vecteurtel que: On appelle linverse de et on le note. Propriétés de la somme

14 14 Soustraction de vecteurs

15 15 Commutativité Associativité Existence dun neutre Existence dun inverse Propriétés de la somme Pour chaque vecteur, il existe un vecteurtel que:

16 16 La longueur dun vecteur est notée

17 17 La multiplication par un scalaire a pour effet de multiplier la longueur dun vecteur par le scalaire en question. Cette opération ne change pas la direction du vecteur. Si le scalaire est un nombre négatif, le sens est changé. On peut définir une opération externe de sur quon nomme la multiplication par un scalaire.

18 18 Exemple:

19 19 1. Propriétés de la multiplication par un scalaire Triangles semblables

20 20 Exemple: 2. Si a = 2 et b = 3, on a ab = 6. Propriétés de la multiplication par un scalaire

21 21 Pour démontrer ça, il suffit de démontrer que car ces deux vecteurs ont la même direction. Par contre, on ne doit pas oublier que a et b peuvent être négatifs.

22 22 On veut : Par la définition de la multiplication par un scalaire Par la définition de la multiplication par un scalaire

23 23 Si a et b > 0, alors le sens de et de est le même que celui de ; ils ont donc le même sens. Si a et b < 0, alors le sens de et de Si a et b sont de signe différent, alors le sens de et de est linverse de celui de ; ils ont donc le même sens. est le même que celui de ; ils ont donc le même sens.

24 24 3. Pour démontrer ça, il suffit de démontrer que car ces deux vecteurs ont la même direction. Par contre, on ne doit pas oublier que et peuvent être négatifs. Propriétés de la multiplication par un scalaire

25 25 Si et. Car les deux vecteurs ont le même sens Par la définition de la multiplication par un scalaire Par la distributivité des nombres réels Car et On veut: est le même que celui de ; ils ont donc le même sens. Le sens de et de

26 26 On a et Si et. et soit Puisque, on peut utiliser résultat précédent Par la distributivité des nombres réels Par la propriété 2 de la multiplication par un scalaire On veut : est linverse de celui de ; ils ont donc le même sens. Le sens de et de

27 27 Si a > 0 et b < 0 ou vice versa. Car on ne sait pas lequel est le plus long Par la définition de la multiplication par un scalaire Par la distributivité des nombres réels Puisque, on peut le sortir de la valeur absolue Par la définition de la multiplication par un scalaire On veut:

28 28 Si, alors est le même que celui de ; ils ont donc le même sens. le sens de et de est linverse de celui de ; ils ont donc le même sens. le sens de et de

29 29 Associativité Distributivité Propriétés de la multiplication par un scalaire

30 30 En mathématique moderne, il est commun détudier les structures. En gros, une structure est un genre de moule. Une structure algébrique est la donnée dun ou de plusieurs ensembles munis dune ou de plusieurs opérations respectant un certain nombre de propriétés.

31 31 Un espace vectoriel sur les réels est la donnée 1. dun ensemble dont les éléments sont nommés des vecteurs; 2. dune opération interne sur appelée la somme qui respecte les propriétés suivantes: 3. dune opération externe de sur appelée multiplication par un scalaire qui respecte les propriétés suivantes; Définition: Espace vectoriel

32 32 Remarque: Il y a une distinction entre vecteur et vecteur géométrique. Au sens large, un vecteur est un élément dun ensemble sur lequel il y a une somme et une multiplication par un scalaire qui respectent les propriétés despace vectoriel. Un vecteur géométrique est ce que nous avons défini au début du cours (une flèche). En fait, nous avons vérifié que les vecteurs géométriques forment un espace vectoriel.

33 33 Dans ce cours, les vecteurs géométriques vont servir principalement à faire de la géométrie. Regardons comment les vecteurs peuvent interagir avec des points.

34 34 Translation Cest le même vecteur qui décrit le point darrivée de chaque point. On peut donc voir un vecteur comme une translation.

35 35 Prenons un point A, et appliquons la translation définie par, le point A arrive sur le point B.

36 36 (règle de Chasles)

37 37 Un espace affine sur les réels est la donnéeDéfinition: 1. dun espace vectoriel sur les réels ; 2. dun ensemble dont les éléments sont nommés des points; 3. dune opération externe de sur appelée translation qui respecte les propriétés suivantes: Pour tout triplet de points (,, ), on a Espace affine Pour tout point et tout vecteur, il existe un unique point tel que.

38 38 Un espace affine est essentiellement un espace de points. Un espace affine nest pas un espace euclidien. En fait, un espace euclidien est un espace affine où il y a une notion dangle et une notion de distance.

39 39 Aujourdhui, nous avons vu Ce quest un vecteur géométrique. La somme de vecteurs et ses propriétés. La multiplication par un scalaire et ses propriétés. La définition dun espace vectoriel. Laction des vecteurs sur les points.

40 40 Devoir: p. 12, # 1 à 17


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