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Cours 26 CRITÈRE DE CONVERGENCE. Au dernier cours, nous avons vu Somme infinie Convergence et divergence de série Série harmonique Série arithmétique.

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1 cours 26 CRITÈRE DE CONVERGENCE

2 Au dernier cours, nous avons vu Somme infinie Convergence et divergence de série Série harmonique Série arithmétique Série géométrique

3 Aujourdhui, nous allons voir Critère du terme général Critère de lintégrale Série de Riemann Critère de dAlembert Critère de comparaison à laide dune limite Critère du polynôme

4 Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série il faut trouver une expression pour sa somme partielle. Or, cette tâche est plutôt difficile à faire. On va donc utiliser plusieurs critères nous permettant, sous certaines conditions, de déterminer la convergence ou divergence dune série.

5 Théorème: (Critère du terme général) Soit une série Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge. diverge converge

6 Remarque: Donc la série diverge. Exemple: Linverse du théorème est faux. converge La série harmonique diverge mais

7 Faites les exercices suivants p.353 # 2

8 Considérons une série On peut voir chaque comme laire dun rectangle de base 1 et de hauteur et la suite des éléments sommés et avec

9 etavec Donc si diverge, alors diverge et siconverge, alors converge

10 En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsquelle converge

11 Exemple: Doncconverge

12 Faites les exercices suivants p. 353 #3

13 Avec le critère de lintégrale, on peut déterminer la convergence dun certain type de série. Une série de la forme est une série de Riemannou une série-p Si cest la série harmonique et elle diverge Si diverge par le critère du terme général

14 Donc la série diverge par le critère du terme général. On peut donc appliquer le critère de lintégrale si

15 Si et lintégrale converge, donc la série aussi Sinon, ça diverge Donc converge

16 Faites les exercices suivants p. 353 # 4

17 Théorème: «Preuve»: (Critère de dAlembert) et posons Si??? Si convergediverge

18 Série géométrique converge si somme finie donc converge «Preuve»: Si

19 Faites les exercices suivants p. 353 # 7

20 Théorème: «Preuve»: (Critère de comparaison à laide dune limite) Soient et si alors converge

21 Exemple: mais cest la série harmonique qui divergedoncdiverge.

22 Corolaire: Preuve: (Critère du polynôme) un polynôme de degré posons SiconvergeSidiverge Il suffit de faire un comparaison à laide dune limite avec la série de Riemann

23 Faites les exercices suivants p.353 # 6 et 10

24 Aujourdhui, nous avons vu Critère du terme général Critère de lintégrale Série de Riemann Critère de dAlembert Critère de comparaison à laide dune limite Critère du polynôme

25 Devoir: p. 353, # 1 à 7, 10 et 11. sauf 11 c)


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