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Cours 7 3.2 PRODUIT VECTORIEL. 2 Au dernier cours, nous avons vu Le déterminant en dimension 3. Le calcul dun volume à laide du déterminant. La façon.

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1 Cours PRODUIT VECTORIEL

2 2 Au dernier cours, nous avons vu Le déterminant en dimension 3. Le calcul dun volume à laide du déterminant. La façon de résoudre un système déquations linéaires à trois équations et à trois inconnues à laide de la règle de Cramer.

3 Aujourdhui, nous allons voir 3 La façon de trouver un vecteur dans lespace qui est simultanément perpendiculaire à deux autres. La définition du produit vectoriel. La définition du produit mixte.

4 4 Question: Étant donné deux vecteurs dans lespace, comment en trouver un qui soit simultanément perpendiculaire aux deux autres?

5 5 Réponse géométrique: Hum... y en a trop!

6 6 Réponse algébrique: Celle qui vient le plus naturellement! Soit On cherche telle que et, cest-à-dire et. réponse facile: et.

7 7 Maintenant, il ne reste plus quà trouver x. donc, mais doù

8 8 En résumant, Ce qui motive la définition suivante. Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.

9 9 Définition: Le produit vectoriel de deux vecteurs est lopération interne définie comme suit: Soit, et On a déjà vérifié que. et

10 10 Exemple: Soient et

11 11 Faites les exercices suivants p. 113, # 1 et 3

12 12 Propriétés du produit vectoriel PV1. PV3. PV4. PV2. PV5.

13 13 Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants. Le sens de suit la règle de la main droite.

14 14 Non-propriétés du produit vectoriel (non associatif) Car (anti commutatif) (non commutatif)

15 15 Calculons sa norme. Hum... pas facile! Commençons par vérifier lidentité suivante:

16 16

17 17 Donc, on a bien doù on tire Mais

18 18 aire du parallélogramme

19 19 Faites les exercices suivants p. 113, # 5 et 6.

20 20 Exemple:

21 21 Théorème: Preuve: mais donc, et, Soit et, deux vecteurs non nuls de, alors, alors et donc, doù Si, Si et.

22 22 Faites les exercices suivants p. 113, #2.

23 23 Produit mixte de trois vecteurs dans Le produit mixte est: vecteur nombre Pas de sens!

24 24

25 25 On a directement que le produit mixte nous donne: Le volume orienté du parallélépipède engendré par

26 26 Faites les exercices suivants p. 113, # 1 à 4

27 27 Aujourdhui, nous avons vu Le produit vectoriel. La norme du produit vectoriel qui est laire du parallélogramme. Le produit mixte.

28 28 Devoir: p. 113, # 1 à 18


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