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AHBE Applications théoriques, méthodologiques et computationnelles des algèbres de Hopf aux systèmes quantiques aux basses énergies Responsable : Frédéric.

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1 AHBE Applications théoriques, méthodologiques et computationnelles des algèbres de Hopf aux systèmes quantiques aux basses énergies Responsable : Frédéric Patras UMR 6621 (Nice)

2 Objectifs de l'ANR 1. Etendre à la chimie et à la physique des basse énergies les techniques d'algèbres de Hopf développées pour la théorie quantique des champs 2. Développer des outils combinatoires pour le calcul des niveaux électroniques des systèmes moléculaires ou cristallins 3. Coder la combinatoire des développements perturbatifs 4. Améliorer les outils de resommation en physique des basses énergies 5. Généraliser la méthode de Hartree-Fock aux géminales non orthogonales 6. Calculer les matrices densités 7. Déterminer la structure d'algèbre de Hopf prenant en charge la combinatoire des fonctions de Green des systèmes fortement corrélés 8. Etablir des méthodes de resommation pour les Hamiltoniens effectifs

3 Partenaires 1. Frédéric Patras (DR2, CNRS) UMR 6621 (Laboratoire J.-A. Dieudonné, Nice) 2. Patrick Cassam-Chenaï (CR1, CNRS) UMR Alessandra Frabetti (MdC) UMR 5208 (Laboratoire Camille Jordan, Lyon) 4. Bruno Valette (MdC) UMR Christian Brouder (DR2, CNRS) UMR 7590 (Institute de Minéralogie et de Physique des Milieux Condensés, Paris) Collaborateurs 1. Yohann Scribano (Post-doc) 2. Kurusch Ebrahimi-Fard, Université de Haute-Alsace (chercheur invité) 3.Jose Maria Gracia-Bondia, Université de Saragosse (chercheur invité)

4 Publications 1.P. Cassam-Chenaï et F. Patras, Symmetry adapted polynomial basis for global potential energy surfaces – applications to XY 4 molecules, J. Math. Chem. 44 (2008) P. Cassam-Chenaï, Geometric measure of indistinguishability for groups of identical particles, Phys. Rev. A 77 (2008) P. Cassam-Chenaï, The electronic mean-field configuration interaction method. I. Theory and integral formulas, J. Chem. Phys. 124 (2006) P. Cassam-Chenaï and G. Granucci, The electronic mean-field configuration interaction method. II. Improving guess geminals, Chem. Phys. Lett. 450 (2007) K. Ebrahimi-Fard, J. M. Gracia-Bondia et F. Patras, A Lie theoretical approach to renormalization, Commun. Math. Phys. 276 (2007) K. Ebrahimi-Fard, D. Manchon et F. Patras, A noncommutative Bohnenblust-Spitzer identity for Rota-Baxter algebras solves Bogoliubov's recursion. J. Noncommutative Geom. (sous presse) 7.Ch. Brouder et F. Patras, Hyperoctahedral Chen calculus for effective Hamiltonians. arXiv: Ch. Brouder, A. Frabetti et F. Patras. One-particle irreducibility with initial correlations. Cond-Mat/ F. Patras, Dynkin operators and renormalization group actions in pQFT. arXiv: Ch. Brouder, A. Frabetti, F. Patras, Decomposition into one-particle irreducible Green functions in many-body physics, Proceedings of the "Conference on Combinatorics and Physics", Bonn, March Ch. Brouder, Quantum field theory meets Hopf algebra, Math. Nachr. accepté 12.Ch. Brouder, The structure of Green functions in quantum field theory with a general state, in Quantum Field Theory - Competitive Models. Ed. B. Fauser, J. Tolksdorf, E. Zeidler, Birkhäuser, Basel (2009), p Ch. Brouder, A differential identity for Green functions, J. Math. Chem. 44 (2008) K. Ebrahimi-Fard, J. Gracia-Bondia et F. Patras, A Lie theoretic approach to renormalization. Comm. Math. Phys. 276 (2007) K. Ebrahimi-Fard et F. Patras, A Zassenhaus-type algorithm solves the Bogoliubov recursion. Bulgarian J. Phys. 35 (2008),

5 Etat de l'art du domaine scientifique 1998, Connes et Kreimer découvrent que la renormalisation peut être décrite par une algèbre de Hopf Depuis, plus de 200 articles ont été publiés sur des algèbres de Hopf d'arbres, de graphe et sur la structure algébrique de la renormalisation Des milliers d'articles ont été publiés sur l'application de la théorie des champs à la physique des solides et à la chimie quantique Quelques travaux concernent l'interface entre ces deux domaines

6 Positionnement du projet dans le contexte international Toutes celles et ceux qui travaillent à l'interface entre les algèbres de Hopf et la physique des basses énergies sont membres de l'ANR AUCUNE COMPETITION

7 Théorie des perturbations (I) Hamiltonien Les états propres de sont connus Hamiltonien adiabatique On définit lopérateur dévolution comme la solution de avec la condition aux limites Le Hamiltonien dinteraction est Tout est bien défini pour

8 Théorie des perturbations (II) Est-ce que est un état propre de ? Non, car la limite nexiste pas Si est non dégénéré, la fonction de Gell-Mann et Low existe et est un état propre de

9 Cas dégénéré Dans de nombreuses applications, l'état initial est dégénéré En présence de symétrie Systèmes avec couches ouvertes (très importants pour les matériaux technologiques)

10 Hamiltonien effectif Soit le projecteur sur l'espace des états propres de pour la valeur propre Les valeurs propres du hamiltonien effectif sont aussi valeurs propres de Donner une expression perturbative de Effectuer des resommations de cette expression

11 Intégrales itérées L'opérateur d'évolution est l'intégrale itérée L'opérateur d'onde Groupe hyperoctaédral (ou permutations signées) On définit avec

12 Coupled cluster dépendant du temps Relation avec le produit shuffle Descente : a une descente en si et est non signé ou et est signé L'opérateur d'onde est Resommation avec

13 Fonction de Green (I) Même dans le cas dégénéré, il est existe des tels que existe et soit état propre de Ces sont les vecteurs propres de On définit la fonction de Green Déterminer la combinatoire de calcul de la fonction de Green

14 Fonction de Green (II) Développement perturbatif pour la théorie en Cumulants de :

15 Algèbre de Hopf est l'algèbre polynomiale dans les variables Pour la fonction de Green est avec

16 Structure des fonctions de Green est la cogèbre construite sur l'e.v. avec le coproduit est une -comodule cogèbre Pour et Les fonctions de Green connexes sont La structure en fonctions de Green une-particule irréductibles s'exprime également à partir des deux coproduits

17 Réalisation des objectifs 1. Etendre à la chimie et à la physique des basse énergies les techniques d'algèbres de Hopf développées pour la théorie quantique des champs 2. Développer des outils combinatoires pour le calcul des niveaux électroniques des systèmes moléculaires ou cristallins 3. Coder la combinatoire des développements perturbatifs 4. Améliorer les outils de resommation en physique des basses énergies 5. Généraliser la méthode de Hartree-Fock aux géminales non orthogonales 6. Calculer les matrices densités 7. Déterminer la structure d'algèbre de Hopf prenant en charge la combinatoire des fonctions de Green des systèmes fortement corrélés 8. Etablir des méthodes de resommation pour les Hamiltoniens effectifs

18 Aspects financiers DemandéDépensé Equipement Fonctionnement Total PosteDépense 3 conférences + missions Informatique, logiciels7 000 Post-doc (Scribano)3 000 Conférences: Mathematical methods for ab initio quantum chemistry 2006, 2007, 2008


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