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UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE PROBLEMES DE DEGRE-DIAMETRE DE GRAPHES DANS LE CAS GENERAL Serge TISHCHENKO à Paris novembre 2007 EQUIPE COMBINATOIRE.

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1 UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE PROBLEMES DE DEGRE-DIAMETRE DE GRAPHES DANS LE CAS GENERAL Serge TISHCHENKO à Paris novembre 2007 EQUIPE COMBINATOIRE ET OPTIMISATION

2 Problème de degré-diamètre Le degré d'un sommet est la taille de son voisinage. Le degré d'un graphe est le degré maximum de tous ses sommets Le diamètre d'un graphe est la plus longue distance entre une paire de sommets de ce graphe Trouver un graphe avec le nombre de sommets le plus grande possible avec le degré et le diamètre D fixes est le problème de degré-diamètre.

3 LIMITES SUPERIEURS DES GRAPHES PLANAIRES AVEC DEGRE MAXIMUM Δ ET DIAMETRE D Δ \ D *7* 12*12* *9* *10* *11* *12* * * * * * * * *

4 LIMITES INFERIEURES DES GRAPHES PLANAIRES AVEC DEGRE MAXIMUM Δ ET DIAMETRE D Δ \ D *7* 12 * *9* *10* *11* *12* * * *

5 Les graphes plans de diamètre 2

6 M. Fellows, P. Hell, K. Seyffarth, Constructions of large planar networks with given degree and diameter, On arrive à une construction du graphe plan de diamètre 2n dont la taille maximum possible pour un degré fixé > 6+[40n/3] est )( ) n-1 ] ( )

7 Les graphes plans de diamètre 3 Paul Erdös: est-ce quun graphe planaire et 3-régulier de diamètre 3 peut posséder plus de 12 sommets?

8 Lidée de la méthode est basée sur le calcul des chemins liant les paires de sommets. Notons quune paire de sommets peut être connectée par plusieurs chemins différents. Un 3-chemin peut être une boucle (un 3-cycle) et dans ce cas il ne connecte aucune paire de sommets. On considère de tels cas comme lirrelevance de chemin. Irrelevance de chemin

9 Chacun des deux sommets est connecté par un chemin relevant. Le nombre des chemins relevants est au moins égal au nombre des paires de sommets différentes : Le nombre des chemins irrelevants est Le nombre total de chemins de longueur 1, 2, ou 3 est La relation générale entre la caractéristique dEuler et la taille du graphe

10 Les graphes de diamètre 3 plongés dans la bande de Möbius :

11 Les graphes de diamètre 3 plongés dans les surfaces :

12 [T.1] Théorème. Dans un graphe 3-régulier de diamètre 3 :

13 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 > 7 D = [3 /2]+1 D = (?)19 (?)24 (?)28 (?) [9 /2]-3 (?) = 2 = 1 = 0 = -1 = -2 D = 2 = = D = 3 =

14 Le 2-séparateur de Lipton-Tarjan Le cycle quon obtient en ajoutant une arête à une carcasse est un séparateur dans un graphe plan. Lipton et Tarjan ont démontré quil existe une arête telle que le séparateur partage le graphe au moins comme 1 : 2. La taille du séparateur est au maximum 2r + 1, où r est le rayon du graphe Séparateurs

15 Algorithme de recherche du 2-séparateur : La recherche de 2-séparateur est sur base de la fonction : E(G\C) R + On cherche une arête bleue qui donne un 2-séparateur avec les propriétés désirées Si larête a ne convient pas, on considère la face qui est incident à a et deux autres arêtes a 1 et a 2. On choisi parmi les deux. On montre que cet algorithme mène toujours au résultat désiré

16 Combien des sommets a un graphe de diamètre d et de degré maximum ? Toute paire de sommets est connectée par chemin de longueur d. Si les sommets se trouvent dans les sous-ensembles séparés alors ce chemin passe le séparateur. Problème de degré-diamètre :

17 Au moins dans un sous- ensemble A i tout sommet est connecté au 2-séparateur par chemin de longueur [d/2]. La taille de séparateur donne la limite du maximum nombre des sommets dans un sous-ensemble A i Application du 2-séparateur : M. Fellows, P. Hell, K. Seyffarth, Large planar graphs with given diameter and maximum degree, Discrete Appl. Math. 61, (1995)

18 Théorème 1. Soit un graphe triangulaire et plan dont les sommets, les arêtes et les faces ont un poids non-négative. Soit possède une carcasse avec le chemin de coût maximal. Alors il existe un séparateur C qui sépare en trois parties indépendantes A, B, C; C est un cycle, toutes les arêtes duquel sauf une seule e sont des arêtes de la carcasse. (1) (2) Où est le poids minimum dun des sommets de C ; est la face incident à larête e, est lensemble des arêtes incidentes à. Face ce trouve dans le plus lourde des deux ensembles. Dans le cas où elle ce trouve dans lensemble possédant le plus grand nombre de faces. [T. 3]

19 Exemple 1. Graphes ne sont pas planaires. Démonstration.La démonstration est par labsurde. Considérons un graphe planaire. Dans ce cas létoile de diamètre 2 est sa carcasse. Daprès le Corollaire 1.1 [T. 3] il existe un séparateur C tel que et C sépare en deux parties indépendantes A et B telles que: Doù A et B ne sont pas vides. Alors il y a une paire de sommets x et y, x dans A et y dans B, qui nest pas liée par une arête.

20 Exemple 2. Graphes ne sont pas planaires. Démonstration.La démonstration est par labsurde. Considérons un graphe planaire. Dans ce cas il a une carcasse de diamètre 3. Daprès le Corollaire 1.1 [T. 3] il existe un cycle ou un chemin tel quil sépare en deux parties indépendants A et B telles que: Doù A et B ne sont pas vides. Alors tout les sommets de lunion sont dans la même partie du graphe bipartie. Comme C est soit un cycle soit un chemin du longueur au plus 4, C possède dau plus 2 sommets dans lautre partie. Doù soit, soit.

21 Lipton-Tarjan : Optimal :

22 Le 3-séparateur Si on ajoute deux arêtes à une carcasse, le sous-graphe plan obtenu a trois faces. Cest un 3-séparateur qui partage le graphe plan en trois parties déconnexées: chaque partie se trouve à lintérieur de la face correspondante. De même façon si lon ajoute N-1 arêtes, on obtient un N-séparateur dans le graphe plan

23 recherche dun 3-séparateur : 1. On cherche un 2-séparateur S 2 avec séparation (S 2 ) plus proche de 1/3 2. On cherche dans G un 2- séparateur S 2 avec la meilleure séparation.

24 5. Applications des séparateurs

25 La théorie des graphes connaît également de nombreuses applications pratiques dans le domaine de la gestion, qui utilise des graphes dits valués. Les arêtes ou les sommets du graphe sont affectés d'un paramètre économique correspondant à certaines contraintes: coûts (transport, distances, durées de travaux, stocks...) ou poids (circulation automobile, courant électrique, débits de ventes, informations binaires...). Tous les résultats sont généralisés dans le cas où les sommets, les arêtes et les faces sont des poids, et les sommets et les arêtes ont les coûts. On donne aussi un algorithme de séparation optimale du graphe par un 2-séparateur ou un 3-séparateur dont le coût est minimal

26 Généraliser les résultats pour le cas dun graphe non-plan (de genre fixe) Perspectives :

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28 Les graphes de diamètre 2 plongés dans la bande de Möbius :

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30 Les graphes de diamètre 2 plongés dans le tore :

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