Deux méthodes incrémentales pour le maintien dun arbre de connexion Nicolas Thibault Christian Laforest

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1 Deux méthodes incrémentales pour le maintien dun arbre de connexion Nicolas Thibault Christian Laforest nthibaul@lami.univ-evry.fr laforest@lami.univ-evry.fr LaMI, équipe OPAL, Université dEvry ALGOTEL 2004

2 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). ALGOTEL 2004

3 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

4 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

5 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

6 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

7 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

8 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

9 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

10 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

11 INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

12 INTRODUCTION : Les contraintes structurelles Contrainte Arbre : La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape. Facilité du routage. ALGOTEL 2004

13 INTRODUCTION : Les contraintes structurelles Contrainte Arbre : La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape. Facilité du routage. Contrainte Emboîtement : Les arbres successifs doivent être imbriqués les uns dans les autres. Ne pas perturber les communications en cours. Ne pas reconstruire larbre. ALGOTEL 2004

14 INTRODUCTION : Qualité de services Contraintes de qualité de services : Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans larbre. Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans larbre. ALGOTEL 2004

15 INTRODUCTION : Qualité de services Contraintes de qualité de services : Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans larbre. Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans larbre. Contraintes dencombrement du réseau : Minimiser le poids de larbre. ALGOTEL 2004

16 PLAN Définitions et notations Limites de toute approche online Deux algorithmes : sommet-ajout et plus-proche-ajout. Synthèse et perspectives ALGOTEL 2004

17 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Modélisation G = (V, E,w) un graphe tel que : V représente les machines du réseau. E représente les liens entres machines. w (e) représente le coût associé à larête e appartenant à E d G (u,v) : La distance entre u et v dans G. 5 7 4 6 1 1 22 v u ALGOTEL 2004

18 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Incrémentalité Notations : i le nombre de sommets ajoutés. M 0 M 1 … M i … les i groupes successifs ( i = | M i | ). T i larbre couvrant M i construit à la i ème étape. ALGOTEL 2004

19 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : C G ( M ) = Σ d G ( u,v ) u,v M ALGOTEL 2004

20 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : Le diamètre de M dans G : C G ( M ) = Σ d G ( u,v ) u,v M D G ( M ) = max { d G (u,v) : u,v M } ALGOTEL 2004

21 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : Le diamètre de M dans G : C G ( M ) = Σ d G ( u,v ) u,v M D G ( M ) = max { d G (u,v) : u,v M } Le poids de larbre T = ( V T, E T,w ) couvrant M : W ( T ) = Σ w (e) e E T ALGOTEL 2004

22 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser Un algorithme a un rapport de compétitivité c s pour la somme des distances ssi : i, C T i ( M i ) c s.C G ( M i ) ALGOTEL 2004

23 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser Un algorithme a un rapport de compétitivité c s pour la somme des distances ssi : Un algorithme a un rapport de compétitivité c d pour le diamètre ssi : i, C T i ( M i ) c s.C G ( M i ) i, D T i ( M i ) c d.D G ( M i ) ALGOTEL 2004

24 DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser Un algorithme a un rapport de compétitivité c s pour la somme des distances ssi : Un algorithme a un rapport de compétitivité c d pour le diamètre ssi : Soit T*( M i ) un arbre couvrant M i de poids minimum. Un algorithme a un rapport de compétitivité c w pour le poids ssi : i, C T i ( M i ) c s.C G ( M i ) i, D T i ( M i ) c d.D G ( M i ) i, W ( T i ) c w.W ( T* ( M i )) ALGOTEL 2004

25 BORNES INFERIEURES ALGOTEL 2004

26 Pour le poids, tout algorithme est au moins : Ω(log i)-compétitif [M. Imase et B. Waxman, 1991] BORNES INFERIEURES ALGOTEL 2004

27 Pour le poids, tout algorithme est au moins : Ω(log i)-compétitif [M. Imase et B. Waxman, 1991] Pour le diamètre, tout algorithme est au moins : 2-compétitif BORNES INFERIEURES ALGOTEL 2004

28 Pour le poids, tout algorithme est au moins : Ω(log i)-compétitif [M. Imase et B. Waxman, 1991] Pour le diamètre, tout algorithme est au moins : 2-compétitif Pour la somme des distances, tout algorithme est au moins : Ω(i)-compétitif BORNES INFERIEURES La preuve utilise un adversaire adaptatif, qui choisit le nouveau membre à insérer en fonction de la réponse de lalgorithme à létape précédente. ALGOTEL 2004

29 n n BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

30 BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

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44 BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

45 BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

46 n n BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances | M | = 2n + log 2 (n) C T (M ) : n 3 C G (M ) : n 2 ALGOTEL 2004

47 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout ALGOTEL 2004

48 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. ALGOTEL 2004

49 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

50 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

51 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

52 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

53 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

54 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

55 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

56 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

57 DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. 8 9 14 2 2 3 4 4 1 8 9 14 2 2 3 4 4 1 r r ALGOTEL 2004

58 SOMMET-AJOUT Analyse de sommet-ajout ALGOTEL 2004

59 SOMMET-AJOUT bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

60 SOMMET-AJOUT sommet-ajout Pour la somme des distances : (i+1)-compétitif (optimal) Pour le diamètre : 2-compétitif (optimal) Pour le poids : i-compétitif (non optimal) bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

61 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

62 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

63 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

64 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

65 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

66 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

67 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

68 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

69 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK i ème sommet ALGOTEL 2004

70 SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK i ème sommet ALGOTEL 2004

71 SOMMET-AJOUT sommet-ajoutoptimum … r KKKK … r KKKK i ème sommet ALGOTEL 2004

72 SOMMET-AJOUT sommet-ajoutoptimum … r KKKK … r KKKK W (T ) = i.KW (T*) = i-1+K i ème sommet ALGOTEL 2004

73 SOMMET-AJOUT sommet-ajoutoptimum … r KKKK … r KKKK W (T ) = i.KW (T*) = i-1+K Si K >> i : W (T ) W (T*) i ème sommet : i ALGOTEL 2004

74 PLUS-PROCHE-AJOUT Analyse de plus-proche-ajout ALGOTEL 2004

75 PLUS-PROCHE-AJOUT bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

76 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout Pour la somme des distances : 2i-compétitif (optimal) Pour le diamètre : i-compétitif (non optimal) Pour le poids : log 2 (i+1) -compétitif (optimal) [M. Imase et B. Waxman, 1991] bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

77 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

78 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

79 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

80 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

81 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

82 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

83 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

84 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

85 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

86 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

87 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r i ème sommet 1- ε ALGOTEL 2004

88 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajoutoptimum r i ème sommet 1- ε r ALGOTEL 2004

89 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajoutoptimum r Si ε 0 +, D (T ) : i D (T*) = 2 i ème sommet 1- ε r ALGOTEL 2004

90 PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajoutoptimum r Si ε 0 +, D (T ) : i D (T*) = 2 D (T ) D (T*) i ème sommet : i 1- ε r ALGOTEL 2004

91 SYNTHESE ALGOTEL 2004

92 SYNTHESE : Les rapports de compétitivité Bornes inférieures Sommet-ajoutPlus-proche-ajout Somme des distancesΩ(i)Ω(i)(i+1)2i Diamètre22i PoidsΩ(log i)ilog 2 (i+1) ALGOTEL 2004

93 AUTRES TRAVAUX Somment-ajout est un cas particulier de lalgorithme median-ajout : Prend en compte un groupe de départ statique. Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand. ALGOTEL 2004

94 AUTRES TRAVAUX Somment-ajout est un cas particulier de lalgorithme median-ajout : Prend en compte un groupe de départ statique. Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand. Relâchement de la contrainte emboîtement afin daméliorer les résultats : Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal). ALGOTEL 2004

95 AUTRES TRAVAUX Somment-ajout est un cas particulier de lalgorithme median-ajout : Prend en compte un groupe de départ statique. Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand. Relâchement de la contrainte emboîtement afin daméliorer les résultats : Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal). Il y existe des situations dans lesquelles tout algorithme doit effectuer Ω(i) reconstructions pour maintenir un rapport de compétitivité constant pour le poids. ALGOTEL 2004

96 PERSPECTIVES Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour linstant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué). ALGOTEL 2004

97 PERSPECTIVES Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour linstant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué). Obtenir des résultats (si possible théoriques) autres que dans le pire cas, par exemple en réfléchissant sur une définition pertinente de rapport de compétitivité moyen. ALGOTEL 2004

98 QUESTIONS

99 Pourquoi se comparer aux distances dans le graphe? On montre que : C G ( M ) C T opt ( M ) 2 C G ( M ) Que lon se compare C G ( M ) ou à C T opt ( M ), tout algorithme est au moins Ω(i)-compétitif (lordre de grandeur du résultat ne change pas). Se comparer à C G ( M ) rend lanalyse plus direct. ALGOTEL 2004