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1 Multivariable I: un exemple applicatif Michellod Yvan Dr. Müllhaupt Philippe MER Denis Gillet 11.2005 Introduction au problème & Modélisation En collaboration.

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2 1 Multivariable I: un exemple applicatif Michellod Yvan Dr. Müllhaupt Philippe MER Denis Gillet Introduction au problème & Modélisation En collaboration avec: -ESO -Observatoire de Genève

3 2 Introduction Introduction au problème La solution proposée Modélisation et équations détats Commande à priori

4 3 Introduction Site: Chili, Paranal VLTI: Very Large Telescope Interferometer

5 4 Introduction

6 5 Perturbations Atmosphérique Compensation avec une ligne à Retard différentielle Active Tracking dune référence stochastique

7 6 Cahier des charges Spécifications Course complète > 60mm Bande passante > 200 Hz Précision ~1nm Mode de résonance mécanique > 150 Hz Dissipation maximum < 5W

8 7 Solution existante Bande passante élevée et Grande précision (de lordre du nanomètre): –> Actuateur piézoélectrique

9 8 Rappel: leffet piézoélectrique Actuateur: –Un matériau se déforme sous laction dun champs électrique extérieur Capteur: –Un matériau génère un champs électrique sous leffet dune contrainte mécanique externe

10 9 Leffet piézoélectrique Déformation contrôl é e

11 10 Le piézo: actuateur idéal? Non –> Course limitée … (typiquement <30 um)

12 11 Autre solution (suite) Précision et grande course –> Moteur classique Choix: –NEMA 17, moteur pas à pas avec vis de transmission de précision (Ultra motion)

13 12 Le moteur classique (suite)

14 13 Le moteur classique (suite) Mais –Précision dynamique en tracking, trop limitée –Bande passante trop limitée …

15 14 Solution adoptée Combinaison des deux actionneurs pour contrôler efficacement la sortie –Pi é zo pour la vitesse et la pr é cision –Moteur pour la course compl è te Guidage mécanique par un système à lames pour coupler les deux étages Système multivariable

16 15 Solution adoptée

17 16 Définition Un système est dit suractionné sil possède un nombre plus grand dactionneurs indépendants que de degrés de liberté Notre application: –1 degré de liberté pour 2 actionneurs

18 17 Le prototype

19 18 Système complet

20 19 Modèle du moteur Il sagit dun moteur synchrone à aimant permanent. On contrôle la tension des phases du moteur, group é es 2 par 2 en parall è le. Le probl è me du frottement sec, ainsi que du jeu dans la transmission sont n é glig é s.

21 20 Equations détat Les 2 tensions de contrôle ua et ub, ne sont pas ind é pendantes: elles doivent être en quadrature (90°).

22 21

23 22 Equations détat (suite) Simplification du modèle: Approximation du 2ième ordre

24 23 Modèle du piézo Le piézoélectrique peut être mod é lis é, en premi è re approximation, comme un circuit é lectrique RC. Dont la tension sur la capacité est proportionnel au mouvement réalisé. R CU i u c

25 24 Modèle du piézo

26 25 Modèle détat global

27 26 Modèle détat global Représentation continue Représentation discrète D A D A u(kh) y(kh) u(t) y(t)

28 27 Modèle détat global 1) Calcul exact à laide dun logiciel adéquat (Mathematica) Mathematica Simplify[InverseLaplaceTransform[Inverse[sI - A], s, kh]] MatrixExp[A*h] Ou plus simplement

29 28 Modèle détat global 2) Théorème de Cayley-Hamilton Valeurs propres de A: Coefficients du polynôme P(A):

30 29 Modèle détat global discret Evaluation numérique via Matlab

31 30 Comparaison: Continu/Discret Dans Matlab: définition du modèle détats à partir de ces matrices Continu: Discret: Représentation du diagramme de Bode en amplitude:bodemag(Mc, Md)

32 31 Comparaison: Continu/Discret Matlab: Md=c2d(Mc,h)

33 32 Commande a priori Maintenant que le système a été modélisé Elaboration dune commande en « feed forward » –En boucle ouverte Sans utilisation de capteur –Basée entièrement sur le modèle de connaissance

34 33 Commande a priori Moteur Piézo Approximation statique Résultat: Rampe du moteur

35 34 A suivre Commande en boucle fermée –Schéma de contrôle suractionn é –Observateur –Réglage découplé: PID –Réglage détat Intéressé? -> Projets de semestre

36 35 FIN


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