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Optimisation dans les réseaux GC-SIE. Graphes et flots.

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1 Optimisation dans les réseaux GC-SIE

2 Graphes et flots

3 Michel Bierlaire3 Graphes Un graphe orienté G =( N, A ) consiste en un ensemble de N nœuds N et un ensemble de A arcs A. On supposera – 1 N < et 0 A < – il existe un seul arc reliant deux nœuds dans une même direction Un arc (i,j) sera considéré comme une paire ordonnée. (i,j) est donc différent de (j,i).

4 Graphes et flotsMichel Bierlaire4 Définitions Si (i,j) est un arc, on dira que – (i,j) est un arc sortant de i – (i,j) est un arc entrant dans j – (i,j) est incident à i et à j – i est le prédécesseur de j – j est le successeur de i Le degré du nœud i est le nombre darcs qui lui sont incidents. Un graphe est complet sil y a un arc entre chaque paire de nœuds.

5 Graphes et flotsMichel Bierlaire5 Chemins Nous utiliserons principalement des graphes orientés, et omettrons souvent ladjectif orienté. Un chemin P est une suite de nœuds (n 1,n 2,…,n k ), k > 1, et la suite correspondante de k-1 arcs tels que le i ième arc de la suite est soit – (n i,n i+1 ) : arc avançant – (n i+1,n i ) : arc reculant n 1 est lorigine du chemin n k est la destination du chemin

6 Graphes et flotsMichel Bierlaire6 Chemins P + est lensemble des arcs avançant de P P - est lensemble des arcs reculant de P Un cycle est un chemin dont lorigine est identique à la destination n 1 =n k Un chemin est simple lorsquil ne contient pas darcs ni de nœuds répétés, exceptés éventuellement n 1 et n k Un chemin est avançant si tous ses arcs le sont. Un chemin est reculant si tous ses arcs le sont.

7 Graphes et flotsMichel Bierlaire7 Chemins Un cycle Hamiltonien est un cycle simple avançant contenant tous les nœuds du graphe. Attention : la suite de nœuds nest pas toujours suffisante pour décrire le chemin Nœuds (1,2,3,4,5) Arcs ((1,2),(3,2),(3,4),(4,5))

8 Graphes et flotsMichel Bierlaire8 Flots Notation : x ij = flot sur arc (i,j) IR Si x ij < 0, le flot est orienté dans le sens contraire à larc. Lensemble {x ij t.q. (i,j) A } est appelé vecteur de flots A chaque vecteur de flots x est associé un vecteur de divergence y IR N

9 Graphes et flotsMichel Bierlaire9 Flots Pour tout i N, y i = flot total sortant – flot total entrant

10 Graphes et flotsMichel Bierlaire10 Flots Un nœud i est une source si y i > 0 Un nœud i est un puits si y i < 0 Un vecteur de flots x est une circulation si y i =0 pour tout i N On a toujours

11 Graphes et flotsMichel Bierlaire11 Flots x 12 =1 x 13 =0 x 23 =1 x 32 =0 x 34 =2 x 24 =-2 y 1 = 1 y 2 = -2 y 4 = 0 y 3 = 1 sources puits

12 Graphes et flotsMichel Bierlaire12 Flots x 12 =1 x 13 =-1 x 23 =1 x 32 =-1 x 34 =1 x 24 =-1 y 1 = 0 y 2 = 0 y 4 = 0 y 3 = 0 Circulation

13 Graphes et flotsMichel Bierlaire13 Flots Contraintes de borne b ij x ij c ij (i,j) A Un chemin P est non bloqué par rapport à x si – x ij < c ij (i,j) P – x ij > b ij (i,j) P Idée : on ne peut plus envoyer de flot sur un chemin bloqué sans violer une contrainte.

14 Graphes et flotsMichel Bierlaire14 Flots x 12 =1 x 13 =0 x 23 =1 x 32 =0 x 34 =2 x 24 =-2 y 1 = 1 y 2 = -2 y 4 = 0 y 3 = 1 -2 x ij 2 (i,j) A (1,2,4) non bloqué (4,2,1)bloqué

15 Graphes et flotsMichel Bierlaire15 Flots et chemins Un flot de chemin simple est un vecteur de flot qui correspond à lenvoi dune quantité positive a de flot le long dun chemin simple.

16 Graphes et flotsMichel Bierlaire16 Flots et chemins x 12 =1 x 13 =0 x 23 =1 x 32 =0 x 34 =2 x 24 =-2

17 Graphes et flotsMichel Bierlaire17 x 34 =2 x 24 =-2 Flots et chemins x 12 =1 x 13 =0 x 23 =1 x 32 =0

18 Graphes et flotsMichel Bierlaire18 Flots et chemins x 12 =1 x 13 =0 x 23 =1 x 32 =0 x 34 =2 x 24 =-2

19 Graphes et flotsMichel Bierlaire19 Flots et chemins On aimerait décomposer un vecteur de flots en la somme de flots de chemins simples. Un chemin P est conforme à un vecteur de flots x si – x ij > 0 (i,j) P – x ij < 0 (i,j) P – P est un cycle ou P relie une source à un puits. Un flot de chemin simple x s est conforme à x si le chemin correspondant lest.

20 Graphes et flotsMichel Bierlaire20 Flots et chemins 1 y 1 = 1 y 2 = -2 y 4 = 0 y 3 =

21 Graphes et flotsMichel Bierlaire21 Flots et chemins 1 y 1 = 1 y 2 = -2 y 4 = 0 y 3 =

22 Graphes et flotsMichel Bierlaire22 Flots et chemins 1 1 y 1 = 1 y 2 = -2 y 4 = 0 y 3 =

23 Graphes et flotsMichel Bierlaire23 Flots et chemins x 12 =1 x 13 =0 x 23 =1 x 32 =0 x 34 =2 x 24 =-2 y 1 = 1 y 2 = -2 y 4 = 0 y 3 =

24 Graphes et flotsMichel Bierlaire24 Théorème de décomposition conforme : Un vecteur de flots non nul peut être décomposé en la somme de t vecteurs de flots de chemin simple x 1, x 2,…, x t, tous conformes à x. Si x est entier, on peut choisir x 1, x 2,…, x t entiers également Si x est une circulation, on peut choisir x 1, x 2,…, x t flots de cycle simple Flots et chemins

25 Le problème de transbordement

26 Graphes et flotsMichel Bierlaire26 Énoncé Une entreprise doit transporter ses produits de ses usines (lieux de production) vers ses clients. Elle désire minimiser ses coûts. Elle doit se plier aux contraintes de capacité du système de transport. Elle peut éventuellement transborder les marchandises en tout nœud du réseau.

27 Graphes et flotsMichel Bierlaire27 Énoncé Trouver un vecteur de flots – qui minimise une fonction de coût (linéaire), – qui produise un vecteur de divergence donné, – qui vérifie les contraintes de capacité.

28 Graphes et flotsMichel Bierlaire28 Énoncé Données : coefficients de coût : a ij capacités inférieures : b ij capacités supérieures : c ij divergences : s i – Si s i > 0 alors s i est loffre en i, c-à-d ce qui est produit par lusine située en i – Si s i < 0 alors –s i est la demande en i, c-à-d ce qui est réclamé par le client situé en i.

29 Graphes et flotsMichel Bierlaire29 Énoncé sous contraintes

30 Graphes et flotsMichel Bierlaire30 Contraintes contraintes doffre/demande contraintes de conservation des flots contraintes de capacité

31 Graphes et flotsMichel Bierlaire31 Problème du plus court chemin Le problème du plus court chemin consiste à déterminer le chemin de coût minimum reliant un nœud à un nœud. On peut le voir comme un problème de transbordement. On envoie une unité de flot de à.

32 Graphes et flotsMichel Bierlaire32 Problème du plus court chemin Données : coefficients de coût : a ij capacités inférieures : 0 capacités supérieures : + divergences : – s = 1 – s = -1 – s i = 0 si i et i

33 Graphes et flotsMichel Bierlaire33 Problème daffectation Je possède 4 chefs-dœuvre que je désire vendre. 4 acheteurs se présentent, et me font les propositions suivantes (en milliers de $) Van GoghRenoirMonetBierlaire Christies Drouot COOP Metropolitan

34 Graphes et flotsMichel Bierlaire34 Problème daffectation Je désire vendre exactement une peinture à chaque acheteur. Quelle peinture dois-je vendre à quel acheteur pour gagner un maximum ? On peut le voir comme un problème de transbordement. Représentation en réseau.

35 Graphes et flotsMichel Bierlaire35 Problème daffectation Christies Drouot COOP Metro Van Gogh Renoir Monet Bierlaire

36 Graphes et flotsMichel Bierlaire36 Problème daffectation Données : coefficients de coût : -a ij a ij = prix proposé par acheteur j pour peinture i. capacités inférieures : 0 capacités supérieures : 1 divergences : – s i = 1 si i représente une peinture (offre) – s i = -1si i représente un acheteur (demande)

37 Graphes et flotsMichel Bierlaire37 Problème de flot maximal Une société pétrolière désire envoyer un maximum de pétrole via un réseau de pipelines entre un lieu et un lieu. Combien de litres par heure pourra-t-elle faire passer par le réseau ? Les capacités des pipelines (en kilolitres/heure) sont indiquées sur les arcs.

38 Graphes et flotsMichel Bierlaire38 Problème de flot maximal

39 Graphes et flotsMichel Bierlaire39 Problème de flot maximal On peut le voir comme un problème de transbordement. Il faut ajouter un arc artificiel. Idée : chaque unité de flot qui a réussi à passer à travers le réseau est ramenée artificiellement à, en rapportant des bénéfices (coût négatif).

40 Graphes et flotsMichel Bierlaire40 Problème de flot maximal

41 Graphes et flotsMichel Bierlaire41 Problème de flot maximal Données : coefficients de coût : – 0 pour les arcs « réels » – -1 pour larc artificiel capacités inférieures : b ij (souvent 0) capacités supérieures : c ij divergences : – s i = 0 pour tout i – on désire une circulation

42 Graphes et flotsMichel Bierlaire42 Problème de transport Une société électrique possède trois générateurs pour fournir 4 villes en électricité. Les générateurs produisent resp. 35, 50 et 40 MKWh. Les villes consomment resp. 45, 20, 30 et 30 MKWh. Les coûts de transport dun MKWh dun générateur à une ville sont repris dans le tableau suivant.

43 Graphes et flotsMichel Bierlaire43 Problème de transport Comment approvisionner les villes à moindre coût ? Représentation en réseau Gén Gén Gén. 1 Ville 4Ville 3Ville 2Ville 1

44 Graphes et flotsMichel Bierlaire44 Problème de transport Ville 1 Ville 2 Ville 3 Ville 4 Gén. 1 Gén. 2 Gén. 3

45 Graphes et flotsMichel Bierlaire45 Problème de transport Données : coefficients de coût : a ij a ij = prix entre gén. i et ville j capacités inférieures : 0 capacités supérieures : + divergences : – s i = capacité de production si i = générateur – s i = -demande si i = ville


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