La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Optimisation dans les réseaux Recherche Opérationnelle GC-SIE.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Optimisation dans les réseaux Recherche Opérationnelle GC-SIE."— Transcription de la présentation:

1 Optimisation dans les réseaux Recherche Opérationnelle GC-SIE

2 Le problème de transbordement

3 TransbordementMichel Bierlaire3 Énoncé sous contraintes

4 TransbordementMichel Bierlaire4 Dualité Lagrangien Fonction duale

5 TransbordementMichel Bierlaire5 Dualité Comme L(x,p) est séparable en x, avec

6 TransbordementMichel Bierlaire6 Dualité c ij b ij x ij a ij - 0 (a ij - )x ij c ij b ij x ij (a ij - )x ij

7 TransbordementMichel Bierlaire7 Dualité Condition des écarts complémentaires (CEC) La paire (x,p) vérifie la condition des écarts complémentaires si x vérifie les contraintes de capacité et p i -p j a ij (i,j) A tel que x ij < c ij p i -p j a ij (i,j) A tel que b ij < x ij Note p i -p j a ij (i,j) A tel que b ij < x ij < c ij

8 TransbordementMichel Bierlaire8 Dualité Théorème : Un vecteur de flot admissible x* et un vecteur p* satisfont la CEC ssi x* et p* sont solutions primales et duales (resp.) et les coûts optimaux sont égaux.

9 TransbordementMichel Bierlaire9 Dualité Note : Si b ij = 0 et c ij = + La CEC p i -p j a ij (i,j) A tel que x ij < c ij p i -p j a ij (i,j) A tel que b ij < x ij sécrit p i -p j a ij (i,j) A p i -p j a ij (i,j) A tel que x ij > 0

10 TransbordementMichel Bierlaire10 Transformations Mettre les capacités inférieures à 0 b ij x ij c ij Posons z ij = x ij – b ij ou x ij = z ij + b ij Fonction objectif

11 TransbordementMichel Bierlaire11 Transformations Contraintes doffre-demande

12 TransbordementMichel Bierlaire12 Transformations Contraintes de capacité b ij x ij c ij b ij z ij +b ij c ij 0 z ij c ij -b ij On peut donc supposer b ij = 0 (i,j) A sans perte de généralité.

13 TransbordementMichel Bierlaire13 Transformations Supprimer les contraintes supérieures de capacité Idée : ajouter des variables décart x ij + z ij = c ij avec z ij 0 Fonction objectif : inchangée Contraintes de capacité : 0 x ij c ij x ij c ij z ij 0 x ij 0 et z ij 0

14 TransbordementMichel Bierlaire14 Transformations Contraintes doffre-demande

15 TransbordementMichel Bierlaire15 Transformations Interprétation : ji Flot x ij Coût a ij sisi sjsj j Flot x ij Coût a ij c ij s j - k c jk i Flot z ij s i - k c ik Coût 0 Capacité [0,c ij ] Capacité [0, [

16 TransbordementMichel Bierlaire16 Transformations Interprétation : ji Flot 50 Coût a ij j Flot 50 Coût a ij i Flot Coût 0 Capacité [0,1000] Capacité [0, [

17 TransbordementMichel Bierlaire17 Transformations Interprétation : ji Flot 50 Coût a ij j Flot 50 Coût a ij i Flot 0 0 Coût 0 Capacité [0,50] Capacité [0, [

18 TransbordementMichel Bierlaire18 Problème transformé sous contraintes

19 TransbordementMichel Bierlaire19 Problème transformé Attention : En labsence de capacités supérieures, le problème peut être non borné. Cela narrive cependant pas sil sagit dun problème transformé. Le problème est non borné ssi il possède au moins un solution admissible, et sil existe un cycle avançant de coût négatif.

20 TransbordementMichel Bierlaire20 Méthode du simplexe Idée : exploiter explicitement la structure de réseau. Élément principal : arbre maximal Définitions : Un arbre est un graphe connexe sans cycle Un arbre maximal dun graphe G est un sous-graphe qui soit un arbre et qui inclue tous les nœuds du graphe Une feuille est un nœud de degré 1 dans un arbre.

21 TransbordementMichel Bierlaire21 Méthode du simplexe Graphe :

22 TransbordementMichel Bierlaire22 Méthode du simplexe Arbre maximal : i = feuilles

23 TransbordementMichel Bierlaire23 Méthode du simplexe Arbre maximal : i = feuilles

24 TransbordementMichel Bierlaire24 Méthode du simplexe Propriétés : Soit T le sous-graphe dun graphe à N nœuds. 1. Si T est sans cycle et possède au moins un arc, alors il a au moins une feuille. 2. T est un arbre maximal ssi T est connexe et contient N nœuds et N-1 arcs. 3. Si T est un arbre, il y a un chemin unique reliant deux nœuds i et j de cet arbre. 4. Soit e T un arc dont les extrémités sont dans T. Le graphe T {e} contient un cycle simple unique, dont e est un arc avançant. 5. Si T est un arbre contenant (i,j), et si (i,j) est supprimé, les arcs restant forment deux arbres disjoints, lun contenant i lautre j.

25 TransbordementMichel Bierlaire25 Méthode du simplexe La base en programmation linéaire « générale » peut être représentée ici grâce aux arbres maximaux. Pour chaque arbre maximal T, il existe un vecteur de flots unique x tel que – x vérifie les contraintes de conservation des flots – x i = 0 si i T

26 TransbordementMichel Bierlaire26 Méthode du simplexe Procédure : Soit R=T, x=0, w i =s i i. Pas 1 : – choisir une feuille i de R. – si (i,j) est lunique arc incident à i x ij =w i et w j =w j +w i – si (j,i) est lunique arc incident à i x ij =-w i et w j =w j +w i Pas 2 : supprimer i et son arc incident de R. Si R na plus que 1 nœud, STOP. Sinon retour au pas 1.

27 TransbordementMichel Bierlaire27 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : coût Sur chaque nœud : offre

28 TransbordementMichel Bierlaire28 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : - Sur chaque nœud : offre (w i ) 1 (1) 2 (2) -2 (-2) 0 (0) -1 (-1)

29 TransbordementMichel Bierlaire29 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) 1 1 (1) 2 (3) -2 (-2) 0 (0) -1 (-1)

30 TransbordementMichel Bierlaire30 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) (1) 2 (1) -2 (-2) 0 (0) -1 (-1)

31 TransbordementMichel Bierlaire31 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) (1) 2 (1) -2 (-2) 0 (0) -1 (-1)

32 TransbordementMichel Bierlaire32 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) (1) 2 (1) -2 (-2) 0 (0) -1 (0)

33 TransbordementMichel Bierlaire33 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) 1 (1) 2 (2) -2 (-2) 0 (0) -1 (-1)

34 TransbordementMichel Bierlaire34 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) 1 1 (1) 2 (2) -2 (-1) 0 (0) -1 (-1)

35 TransbordementMichel Bierlaire35 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) (1) 2 (2) -2 (1) 0 (0) -1 (-1)

36 TransbordementMichel Bierlaire36 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) (1) 2 (2) -2 (1) 0 (-1) -1 (-1)

37 TransbordementMichel Bierlaire37 Méthode du simplexe Problème : Sur chaque arc : flot Sur chaque nœud : offre (w i ) (1) 2 (2) -2 (0) 0 (-1) -1 (-1)

38 TransbordementMichel Bierlaire38 Méthode du simplexe Ce vecteur de flots est appelé une solution de base Si, de plus, le vecteur de flots vérifie les contraintes de capacité x ij 0, il est appelé une solution de base admissible. Un arbre maximal sera dit admissible si le vecteur de flots correspondant est une solution de base admissible.

39 TransbordementMichel Bierlaire39 Méthode du simplexe Aperçu de la méthode Soit un arbre maximal admissible initial. Chaque itération (pivotage) génère un autre arbre admissible dont le coût nest pas plus élevé que le précédent. Chaque itération est composée de trois opérations principales 1. Ajout dun arc à larbre afin de former un cycle à coût négatif 2. Envoyer le plus de flot possible le long de ce cycle, sans violer les contraintes 3. Supprimer un arc du cycle pour obtenir à nouveau un arbre.

40 TransbordementMichel Bierlaire40 Méthode du simplexe Arbre maximal initial : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) 1 2 (1) -2 0

41 TransbordementMichel Bierlaire41 Méthode du simplexe Formation dun cycle. Coût = Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre 2 3(0) (2) 2 (1) 2 5 (1) 1 2 (1) -2 0

42 TransbordementMichel Bierlaire42 Méthode du simplexe Envoi dune unité de flot Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre 2 3 (0) (1) 2 (1) 5 (0) 1 2 (1) -2 0

43 TransbordementMichel Bierlaire43 Méthode du simplexe Suppression dun arc du cycle Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre 2 3 (0) (1) 2 (1)

44 TransbordementMichel Bierlaire44 Méthode du simplexe Questions : Comment choisir larc entrant ? Comment choisir larc sortant ? Comment gérer les cas de dégénérescence ?

45 TransbordementMichel Bierlaire45 Choix de larc entrant Idée : utiliser la condition des écarts complémentaires p i -p j a ij (i,j) A p i -p j a ij (i,j) A tel que x ij > 0 Nous allons affecter des prix p i aux nœuds tels que p i -p j a ij (i,j) T

46 TransbordementMichel Bierlaire46 Choix de larc entrant Procédure récursive : Soit un nœud r arbitraire (racine). p r est initialisé à une valeur quelconque. p i = +, i r CalculeVoisins(r) ;

47 TransbordementMichel Bierlaire47 Choix de larc entrant CalculVoisins(i) Pour tout j adjacent à i t.q. p j = + Si (i,j) T, alors p j = p i -a ij Si (j,i) T, alors p j = p i +a ij CalculVoisins(j)

48 TransbordementMichel Bierlaire48 Choix de larc entrant Arbre maximal : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : offre [pi] 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1)

49 TransbordementMichel Bierlaire49 Choix de larc entrant Calcul des prix : 0 Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

50 TransbordementMichel Bierlaire50 Choix de larc entrant Arbre maximal : -5 0 Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

51 TransbordementMichel Bierlaire51 Choix de larc entrant Arbre maximal : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

52 TransbordementMichel Bierlaire52 Choix de larc entrant Arbre maximal : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

53 TransbordementMichel Bierlaire53 Choix de larc entrant Arbre maximal : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

54 TransbordementMichel Bierlaire54 Choix de larc entrant Calcul des prix (autre racine) : 23 Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

55 TransbordementMichel Bierlaire55 Choix de larc entrant Calcul des prix (autre racine) : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

56 TransbordementMichel Bierlaire56 Choix de larc entrant Calcul des prix (autre racine) : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

57 TransbordementMichel Bierlaire57 Choix de larc entrant Calcul des prix (autre racine) : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

58 TransbordementMichel Bierlaire58 Choix de larc entrant Calcul des prix (autre racine) : Sur chaque arc : coût (flot) Sur chaque nœud : prix 2 3 (0) (2) 2 (1) 2 5 (1) racine

59 TransbordementMichel Bierlaire59 Choix de larc entrant Notes : Les prix dépendent – du choix de la racine – du prix de la racine La différence de prix entre deux nœuds quelconques est indépendantes des décisions liées à la racine. Notamment, la quantité r ij = a ij + p j – p i dépend uniquement de larbre maximal T

60 TransbordementMichel Bierlaire60 Choix de larc entrant Par définition des prix, r ij = a ij + p j – p i = 0 si (i,j) T Si, de plus, r ij 0 (i,j) A, la CEC est vérifiée – p i -p j a ij (i,j) A – p i -p j a ij (i,j) A tel que x ij > 0 Dans ce cas, x est une solution optimale du primal, et p du dual. r ij est appelé le coût réduit de (i,j)

61 TransbordementMichel Bierlaire61 Choix de larc entrant Dans le cas contraire, il existe (k,l) tel que – (k,l) A, – (k,l) T – r kl = a kl + p l - p k < 0 Si lon rajoute (k,l) à larbre, on crée un cycle. Par convention, (k,l) doit être avançant dans le cycle.

62 TransbordementMichel Bierlaire62 Choix de larc entrant Coût du cycle formé : Cycle à coût négatif

63 TransbordementMichel Bierlaire63 Choix de larc entrant Solution de base admissible : Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (2) 2 (1) 2 [-9] 5 (1) racine

64 TransbordementMichel Bierlaire64 Cycle Soit C le cycle formé par T et (k,l) Si C est vide, tous les arcs sont orientés comme (k,l) C est donc un cycle à coût négatif, le long duquel le flot peut être augmenté arbitrairement. Le problème est donc non-borné.

65 TransbordementMichel Bierlaire65 Cycle Si C nest pas vide, notons = min (i,j) C x ij le plus petit flot sur les arcs reculant. Il nest pas possible denvoyer plus que unités de flots sans violer les contraintes de non négativité.

66 TransbordementMichel Bierlaire66 Cycle Flot maximum le long du cycle : Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (2) 2 (1) 2 [-9] 5 (1) racine =1

67 TransbordementMichel Bierlaire67 Cycle Flot maximum le long du cycle : Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (2) 2 (1) 2 [-9] 5 (1) racine =0

68 TransbordementMichel Bierlaire68 Choix de larc sortant Le nouveau vecteur de flot sera Tout arc (i,j) du cycle tel que x ij + = 0 est candidat pour sortir.

69 TransbordementMichel Bierlaire69 Choix de larc sortant Avant denvoyer le flot : Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (2) 2 (1) 2 [-9] 5 (1) racine =1

70 TransbordementMichel Bierlaire70 Choix de larc sortant Après avoir envoyé le flot : Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (1) 2 (1) 2 (1) [-9] 5 (0) racine =1

71 TransbordementMichel Bierlaire71 Choix de larc sortant Nouvelle solution de base admissible : Sur chaque arc : coût (flot) 2 3(0) (1) 2 (1) racine =1

72 TransbordementMichel Bierlaire72 Mise à jour des prix Soit (k,l) larc entrant Soit e larc sortant Soit T + =T+(k,l)-e larbre correspondant à la nouvelle base. Considérons le sous-graphe T-e. Il est composé de deux arbres : – T k contient le nœud k – T l contient le nœud l

73 TransbordementMichel Bierlaire73 Mise à jour des prix Sur chaque arc : coût (flot) 2 3(0) (1) 2 (1) arc entrant (k,l) arc sortant TkTk TlTl

74 TransbordementMichel Bierlaire74 Mise à jour des prix Méthode 1 p i + = p i si i T k p i + = p i -r kl si i T l Méthode K p i + = p i + K si i T k p i + = p i -r kl + K si i T l Méthode 2 [K=r kl ] p i + = p i +r kl si i T k p i + = p i si i T l

75 TransbordementMichel Bierlaire75 Dégénérescence Impossible denvoyer du flot Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (2) 2 (1) 2 [-9] 5 (1) racine =0

76 TransbordementMichel Bierlaire76 Dégénérescence On change de base mais la fonction objectif ne change pas. Risque que lalgorithme cycle. Pour garantir labsence de cyclage, on introduit la notion de base fortement admissible.

77 TransbordementMichel Bierlaire77 Dégénérescence Définition Soit T un arbre admissible. Soit r la racine de larbre. On dit que (i,j) T sécarte de la racine si le seul chemin entre r et j passe par i. Un arbre admissible T est fortement admissible si tous les arcs (i,j) tels que x ij = 0 sécartent de la racine.

78 TransbordementMichel Bierlaire78 Dégénérescence Arbre admissible, mais pas fortement Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (2) 2 (1) 2 [-9] 5 (1) racine

79 TransbordementMichel Bierlaire79 Dégénérescence Arbre fortement admissible Sur chaque arc : coût (flot) [r ij ] Sur chaque nœud : prix 2 [-5] 3(0) 0 [3] -2 [-1] 3 [9] 6 (2) 2 (1) 2 [-9] 5 (1) racine

80 TransbordementMichel Bierlaire80 Dégénérescence Théorème Si les arbres admissibles générés par la méthode du simplexe sont tous fortement admissibles, alors tous ces arbres sont distincts. Dans ce cas, lalgorithme effectuera un nombre fini ditérations.

81 TransbordementMichel Bierlaire81 Dégénérescence Supposons que lon dispose au début dun arbre fortement admissible. Il faut sarranger pour que le nouvel arbre produit soit aussi fortement admissible. Il faut choisir larc sortant de manière appropriée.

82 TransbordementMichel Bierlaire82 Dégénérescence Procédure de choix de larc sortant Soit T un arbre fortement admissible Soit (k,l) larc entrant Soit C le cycle formé par T et (k,l) Supposons que C est non vide. Soit = min (i,j) C x ij Soit C*={(i,j) C ¦x ij = } lensemble des candidats à sortir.

83 TransbordementMichel Bierlaire83 Dégénérescence Procédure de choix de larc sortant (suite) Le joint de C est le premier nœud du cycle sur le chemin entre r et k. Choisir comme arc sortant le premier arc de C* rencontré lorsque lon parcourt le cycle en partant du joint. Dans ce cas, le nouvel arbre sera également fortement admissible.

84 TransbordementMichel Bierlaire84 Dégénérescence joint kl r Flot = 1 Flot = 0 Flot = 3 Flot = 1 Flot = 2 Flot = 0 arc sortant

85 TransbordementMichel Bierlaire85 Initialisation Comment trouver un premier arbre fortement admissible ? Idée : – ajouter un nœud artificiel 0 avec s 0 =0 – ajouter un arc entre 0 et chaque nœud i Arc (i,0) si s i > 0 Arc (0,i) si s i 0 – coût des arcs artificiels : M > 0, très grand

86 TransbordementMichel Bierlaire86 Initialisation M M M M M

87 TransbordementMichel Bierlaire87 Initialisation Arbre initial : Uniquement les arcs artificiels. Racine : nœud 0 Par construction, les arcs transportant un flot nul séloignent de la racine Il sagit donc bien dun arbre fortement admissible

88 TransbordementMichel Bierlaire88 Initialisation M(1) M(2) M(0) M (1) Coûts (Flots)

89 TransbordementMichel Bierlaire89 Calcul des prix -M M M M(1) M(2) M(0) M (1) Coûts (Flots)

90 TransbordementMichel Bierlaire90 Coûts réduits -M M M [-2M+2] 5 0 M(1) M(2) M(0) M (1) Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

91 TransbordementMichel Bierlaire91 Mise à jour des flots -M M M (1) 5 0 M(0) M(2) M(1) M(0) M (1) Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

92 TransbordementMichel Bierlaire92 Mise à jour des prix -M M M (1) 5 0 M(0) M(2) M(1) M(0) M (1) Coûts (Flots) [coûts réduits] TkTk TlTl r kl = - 2M+2

93 TransbordementMichel Bierlaire93 Nouvel arbre -M M -M+2 -M (1) 5 0 M M(2) M(1) M(0) M (1) Coûts (Flots) [coûts réduits]

94 TransbordementMichel Bierlaire94 Coûts réduits -M M -M+2 -M [-2M+2] 2(1) 5 0 M M(2) M(1) M(0) M (1) Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

95 TransbordementMichel Bierlaire95 Mise à jour des flots -M M -M+2 -M (1) 5 0 M M(1) M(0) Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

96 TransbordementMichel Bierlaire96 Mise à jour des prix -M M -M+2 -M (1) 5 0 M M(1) M(0) Coûts (Flots) [coûts réduits] TkTk TlTl r kl = - 2M+2

97 TransbordementMichel Bierlaire97 Nouvel arbre -3M+2 -M+2 -3M+4 -3M+2 -M (1) 5 -2M+2 M M(1) M(0) M Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

98 TransbordementMichel Bierlaire98 Coûts réduits -3M+2 -M+2 -3M+4 -3M+2 -M 2 3 0[-2M+2] (1) 5 -2M+2 M M(1) M(0) M Coûts (Flots) [coûts réduits] =0

99 TransbordementMichel Bierlaire99 Mise à jour des prix -5M+4 -3M+4 -5M+6 -3M (0) (1) 5 -4M+4 M M(1) M(0) M Coûts (Flots) [coûts réduits] TkTk TlTl r kl = - 2M+2

100 TransbordementMichel Bierlaire100 Nouvel arbre -5M+4 -3M+4 -5M+6 -3M (0) (1) 5 -4M+4 M M(1) M M Coûts (Flots) [coûts réduits]

101 TransbordementMichel Bierlaire101 Coûts réduits -5M+4 -3M+4 -5M+6 -3M (0) [-2M+6] 2 (1) 5 -4M+4 M M(1) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

102 TransbordementMichel Bierlaire102 Mise à jour des flots -5M+4 -3M+4 -5M+6 -3M (0) (1) 2 (1) 5 -4M+4 M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

103 TransbordementMichel Bierlaire103 Choix de larc sortant -5M+4 -3M+4 -5M+6 -3M (0) (1) 2 (1) 5 -4M+4 M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] racine=joint arc sortant

104 TransbordementMichel Bierlaire104 Mise à jour des prix -5M+4 -5M+10 -5M+6 -5M (0) (1) 2 (1) 5 -4M+4 M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] racine=joint arc sortant TkTk TlTl r kl = - 2M+6

105 TransbordementMichel Bierlaire105 Nouvel arbre -5M+4 -5M+10 -5M+6 -5M (0) (1) 2 (1) 5 -4M+4 M MM(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits]

106 TransbordementMichel Bierlaire106 Coûts réduits -5M+4 -5M+10 -5M+6 -5M (0) -2[-4] 3 6(1) 2 (1) 5 -4M+4 M MM(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] =0

107 TransbordementMichel Bierlaire107 Mise à jour des prix -5M+4 -5M+10 -5M+6 -5M (0) -2(0) 3 6(1) 2 (1) 5 -4M+4 M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] TkTk TlTl r kl = - 4

108 TransbordementMichel Bierlaire108 Nouvel arbre -5M -5M+6 -5M+2 -5M+8 -5M (0) 3 6(1) 2 (1) 5 -4M M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits]

109 TransbordementMichel Bierlaire109 Coûts réduits -5M -5M+6 -5M+2 -5M+8 -5M+4 2[-6] (0) 3 6(1) 2 (1) 5 -4M M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

110 TransbordementMichel Bierlaire110 Mise à jour des flots -5M -5M+6 -5M+2 -5M+8 -5M+4 2(1) (1) 3 6(0) 2 (1) 5 -4M M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

111 TransbordementMichel Bierlaire111 Mise à jour des prix -5M -5M+6 -5M+2 -5M+8 -5M+4 2(1) (1) 3 6(0) 2 (1) 5 -4M M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] TkTk TlTl r kl = - 6

112 TransbordementMichel Bierlaire112 Nouvel arbre -5M -5M+2 -5M-2 2(1) (1) (1) 5 -4M M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits]

113 TransbordementMichel Bierlaire113 Coûts réduits -5M -5M+2 -5M-2 2(1) 3[-1] 0 -2(1) (1) 5 -4M M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

114 TransbordementMichel Bierlaire114 Mise à jour des flots -5M -5M+2 -5M-2 2(1) 3(1) 0 -2(2) (0) 2(1) 5 -4M M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] =1

115 TransbordementMichel Bierlaire115 Mise à jour des prix -5M -5M+2 -5M-2 2(1) 3(1) 0 -2(2) (0) 2(1) 5 -4M MM M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits] TkTk TlTl r kl = - 1

116 TransbordementMichel Bierlaire116 Nouvel arbre -5M-1 -5M+1 -5M-2 2(1) 3(1) 0 -2(2) (1) 5 -4M-1 M M M(0) M M Coûts (Flots) [coûts réduits]

117 TransbordementMichel Bierlaire117 Coûts réduits -5M-1 -5M+1 -5M-2 2(1) 3(1) 0 -2(2) (1) 5 -4M-1 M M M(0) M M[-1] Coûts (Flots) [coûts réduits] =0

118 TransbordementMichel Bierlaire118 Mise à jour des prix -5M-1 -5M+1 -5M-2 2(1) 3(1) 0 -2(2) (1) 5 -4M-1 M M M M M(0) Coûts (Flots) [coûts réduits] =0 TkTk TlTl r kl = - 1

119 TransbordementMichel Bierlaire119 Nouvel arbre -5M-1 -5M+1 -5M-2 2(1) 3(1) 0 -2(2) (1) 5 -4M-2 M M M M M(0) Coûts (Flots) [coûts réduits]

120 TransbordementMichel Bierlaire120 Coûts réduits : optimum -5M-1 -5M+1 -5M-2 2(1) 3(1) 0[3] -2(2) 3[6] 6[6] 2[1] 2(1) 5[3] -4M-2 M[2M-3] M[2M-1] M[1] M[3] M(0) Coûts (Flots) [coûts réduits]

121 TransbordementMichel Bierlaire121 Propriété dintégralité Si les s i sont tous entiers, alors la solution optimale primale sera aussi entière. De plus, si le prix arbitraire initial de la racine est entier, et que tous les coefficients de coût sont entiers, alors la solution optimale duale sera aussi entière.


Télécharger ppt "Optimisation dans les réseaux Recherche Opérationnelle GC-SIE."

Présentations similaires


Annonces Google