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Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE.

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1 Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE

2 Géométrie de la programmation linéaire

3 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire3 Polyèdres Définitions : n Un polyèdre est un ensemble qui peut être décrit comme P={x IR n | Ax b} où A est une matrice m x n et b un vecteur de IR m. n Note : lensemble admissible dun programme linéaire est un polyèdre.

4 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire4 Polyèdres Définitions : n Un ensemble de la forme P={x IR n | Ax b, x 0} est un polyèdre en forme standard. Un polyèdre P est dit borné si il existe une constante c telle que ¦¦x¦¦ c pour tout x P.

5 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire5 Polyèdres Borné Non borné

6 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire6 Polyèdres Définitions : n Soient a un vecteur non nul de IR n et b un scalaire. n Lensemble {x IR n | a T x=b} est appelé un hyperplan. n Lensemble {x IR n | a T x b} est appelé un demi-espace.

7 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire7 a Polyèdres Notes : n Un hyperplan est la frontière du demi-espace correspondant. n Le vecteur a est perpendiculaire à lhyperplan quil définit. H a a T x > b a T x < b a T x > b a T x = b

8 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire8 Ensembles convexes Définition : Un ensemble S IR n est convexe si pour tout x,y S, et tout [0,1], on a x + (1- )y S xy x y

9 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire9 Ensembles convexes Définitions : Soient x 1,…x k des vecteurs de IR n, et soient 1,…, k des scalaires non négatifs tels que i=1,…k i = 1 Le vecteur y = i=1,…k i x i est une combinaison convexe des vecteurs x 1,…x k,

10 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire10 Ensembles convexes x4x4 x6x6 x8x8 x3x3 x5x5 x2x2 x1x1 x7x7

11 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire11 Points extrêmes et sommets n Concepts géométriques : – Point extrême – Sommet n Concept algébrique : – Solution de base admissible n Soit P un polyèdre, et soit x* P. Alors, x* est un point extrême ssi x* est un sommet ssi x* est une solution de base admissible

12 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire12 Points extrêmes et sommets Définition : Soit P un polyèdre. Un vecteur x P est un point extrême de P si on ne peut pas trouver deux vecteurs y et z dans P, différents de x, et un scalaire [0,1] tels que x = y + (1- ) z n Soit P un polyèdre. Un vecteur x P est un point extrême de P si on ne peut pas lexprimer comme combinaison convexe de deux autres points de P.

13 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire13 Points extrêmes et sommets x y z x point extrême x+x+ z+z+ y+y+ x + pas un point extrême

14 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire14 Points extrêmes et sommets Définition : n Soit P un polyèdre. Un vecteur x P est un sommet de P sil existe c tel que c T x < c T y pour tout y dans P différent de x. n Note : x est un sommet de P ssi il existe un hyperplan H={y ¦ c T y = c T x} qui rencontre P seulement en x tel que P soit entièrement dun côté de H.

15 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire15 Points extrêmes et sommets x x+x+ {y¦c T y=c T x} c {y¦c + T y=c + T x + } c+c+ x + pas un sommet x sommet

16 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire16 Points extrêmes et sommets Définition : n Considérons un polyèdre de IR n défini par les contraintes suivantes : – a i T x b i i M 1 – a i T x b i i M 2 – a i T x b i i M 3 où M 1, M 2 et M 3 sont des ensembles finis dindices, chaque a i est un vecteur de IR n et chaque b i un scalaire. Si un vecteur x* de IR n vérifie a i T x* b i on dit que la contrainte i est active en x*.

17 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire17 Points extrêmes et sommets Définition : n Considérons un polyèdre P défini par des contraintes dégalité et dinégalité, et soit x* un vecteur de IR n. x* est une solution de base si 1) toutes les contraintes dégalité sont actives, 2) parmi les contraintes actives en x*, il y en a n qui soient linéairement indépendantes. x* est une solution de base admissible si x* est une solution de base qui vérifie toutes les contraintes.

18 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire18 x2x2 pas sol. de base (1)(3) sol. de base adm. (1)(3)(4) sol. de base adm. (1)(2)(4) sol. de base adm. (1)(2)(3) pas sol. de base Points extrêmes et sommets x1x1 x3x3 B A C D E P={(x 1,x 2,x 3 ) ¦ x 1 +x 2 +x 3 1 (1) x 1 0 (2) x 2 0 (3) x 3 0 (4) }

19 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire19 Points extrêmes et sommets n LPLab2D LPLab2D

20 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire20 Polyèdres en forme standard n But : simplification de la définition de solution de base Polyèdre P = {x IR n ¦ Ax = b, x 0} n A IR m x n n m : nombre de contraintes dégalité n n : nombre de variables n Hypothèse : A est de rang plein, c-à-d m lignes de A sont linéairement indépendantes.

21 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire21 Polyèdres en forme standard n Par définition, toute solution de base vérifie Ax = b. n Cela donne m contraintes actives. n Pour avoir une solution de base, c-à- d n contraintes actives, il faut donc que n-m variables x i = 0. n Attention : le choix de ces variables nest pas arbitraires.

22 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire22 Polyèdres en forme standard Théorème : Soit un polyèdre P = {x ¦ Ax = b, x 0}. n A IR m x n est de rang plein. n x* est solution de base ssi – Ax* = b – Il existe m indices B(1),…,B(m) tels que n Les colonnes A B(1),…,A B(m) sont lin. indép. n Si i B(1),…,B(m), alors x i * = 0.

23 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire23 Polyèdres en forme standard Comment obtenir une solution de base ? n Choisir m colonnes de A lin. indép. n Soient B=[A B(1),…,A B(m) ] la matrice composée de ces colonnes. n B est appelée matrice de base n Imposer x i = 0 pour tout i B(1),…,B(m) n Résoudre le système Bx=b pour les inconnues x B(1),…,x B(m). n Note : B est inversible

24 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire24 Polyèdres en forme standard Ax=b B(1)=4B(2)=5B(3)=6B(4)=7 x 1 = 0x 2 = 0x 3 = 0

25 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire25 Polyèdres en forme standard Résoudre : x 4 = 8x 5 = 12x 6 = 4x 7 = 6 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 8, x 5 = 12, x 6 = 4, x 7 = 6 Solution de base admissible

26 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire26 Polyèdres en forme standard Ax=b B(1)=3B(2)=5B(3)=6B(4)=7 x 1 = 0x 2 = 0x 4 = 0

27 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire27 Polyèdres en forme standard Résoudre : x 3 = 4x 5 = -12x 6 = 4x 7 = 6 x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 4, x 4 = 0, x 5 = -12, x 6 = 4, x 7 = 6 Solution de base (non admissible)

28 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire28 Polyèdres en forme standard n Résumé : solution de base admissible = sommet = point extrême choix dun sommet = choix de n colonnes linéairement indépendantes de A

29 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire29 Optimalité Théorème : n Considérons le programme linéaire min c T x sous contraintes x P où P est un polyèdre. n Si P possède au moins un point extrême n Alors – soit il existe un point extrême optimal – soit le coût optimal est -

30 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire30 Optimalité n Théorème : – Tout polyèdre non vide et borné, ainsi que tout polyèdre en forme standard non vide possède au moins une solution de base admissible n Corollaire : – Considérons le programme linéaire min c T x sous contraintes x P où P est un polyèdre non vide. – Alors n soit il existe un point extrême optimal n soit le coût optimal est -

31 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire31 Dégénérescence Rappel : solution de base n Considérons un polyèdre P défini par des contraintes dégalité et dinégalité, et soit x* un vecteur de IR n. x* est une solution de base si 1) toutes les contraintes dégalité sont actives, 2) parmi les contraintes actives en x*, il y en a n qui soient linéairement indépendantes. n Que se passe-t-il sil y a plus de n contraintes actives ?

32 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire32 Dégénérescence Définitions : n Une solution de base x IR n est dite dégénérée si plus de n contraintes sont actives en x. Soit P={x IR n ¦ Ax = b,x 0} un polyèdre en forme standard, avec A IR m x n Une solution de base x est dégénérée si plus de n-m de ses composantes sont nulles.

33 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire33 Dégénérescence Ax=b B(1)=1B(2)=2B(3)=3B(4)=7 x 4 = 0x 5 = 0x 6 = 0

34 Géométrie de la program. linéaireMichel Bierlaire34 Dégénérescence Résoudre : x 1 = 4x 2 = 0x 3 = 2x 7 = 6 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 0, x 5 = 0, x 6 = 0, x 7 = 6 Solution de base admissible dégénérée n-m=7-4=34 composantes nulles


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