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2.1.7 Modèle Géométrique Direct Forward Kinematics Coordonnées opérationelles (pos. & orientation de la main ou de l'outil) en fonction des variables robot.

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1 2.1.7 Modèle Géométrique Direct Forward Kinematics Coordonnées opérationelles (pos. & orientation de la main ou de l'outil) en fonction des variables robot { x,y,z, } F q 1, q 2, … q i, …. q n

2 Position & orientation dun outil x = L 1 c 1 + L 2 c 12 + L 4 c 124 y = L 1 s 1 + L 2 s 12 + L 4 s 124 z = 3 = MGD complet « à la main » 1 2 L4L4 y x TCP 4

3 MGD dun robot à 6 ddl? La même démarche pour un robot à 6 ddl devient très difficile utiliser les matrices homogènes! Exercice 9 !

4 Ex. 9b 1.Rot. de 4 de autour de [ L 1 + L 2, 0 ] T 2.Rot. de 2 de autour de [ L 1, 0 ] T 3.Rot. de 1 de autour de [ 0, 0 ] T 1.)

5 Ex. 9b 1.Rot. de 4 de autour de [ L 1 + L 2, 0 ] T avec les définitions versine( ) = 1– cos donc v 4 = – cos 4 et L 1 2 = L 1 + L 2

6 Ex. 9b MGD complet: =

7 Ex. 9b MGD complet: =

8 Ex. 10 Application du MGD L1L1 L2L2 y x L4L4 1 2 L4L4 y x TCP x = L 1 c 1 + L 2 c 12 + L 4 c 124 y = L 1 s 1 + L 2 s 12 + L 4 s 124

9 1.Définir les variables robots 2.Définir leurs positions de référence 3.Définir les paramètres du robot 4.Enchainer les mouvements successifs (multiplication de matrices homogènes) L1L1 L2L2 y x L4L4 Etablissement du MGD:

10 MGD dun robot 6ddl 1.Variables robot Convention: Partir de la base vers la main

11 2. Positions de référence i Les flèches indiquent le sens de rotation positif The arrows indicate positive rotation Le référentiel (x,y,z) est fixe (coordonnées opérationelles) Fixed coordinate frame! y z x 1

12 Généralisation de la paramétrisation: Paramètres Denavit-Hartenberg 2 Les axes successifs sont reliés par les perpendiculaires communes, définissant ainsi des points de repère P i 3 1 P1P1 P2P2 P2'P2' P3P3 L2L2 L1L1 Passage de l'axe 1 à l'axe 2: Déplacement de L 1, rotation de 1 autour de L 1 L i : Link length i : Twist angle Distance de P i à P i ': Joint offset D i Joint prismatique: D i devient variable, i fixe

13 3. Paramètres du robot y z x Les axes 1 et 2 se croisent => L 1 =0 L2L2 Les axes 3 et 4 se croisent => L 3 =0 Les axes 4 et 5 se croisent => L 4 =0 Les axes 3 et 5 sont décalés sur l'axe 4 d'une distance D 4 D4D4 Les axes 1 et 4 sont décalés sur l'axe 3 d'une distance D 3 Distance between 1 and 4 along 3 : D 3 Les axes 2 et 3 sont parallèles, dist. L 2 D3D3 cross each other 1

14 4. Enchainement des mouvements y z x 1.Rot. de 6 autour de l'axe z, décalée de p = [D 3,0,0]' L2L2 D4D4 D3D3

15 2. Rot. de 5 autour de l'axe x, décalé de p = [0,0, L 2 +D 4 ]' y z x L2L2 D4D4 D3D3 et ainsi de suite pour K 4,K 3, K 2, K 1

16 MGD du robot 6ddl P( i ) = ( K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) P P0P0 P( i )

17 2.1.8 Représentation de lorientation: Angles d'Euler L'orientation est exprimée 1)en quaternions (angle/axe) 2)en matrice de cosinus directeurs 3)en angles autour de trois axes fixés au corps en mouvement. (Figures p ) Historiquement ce sont précession, nutation, rotation propre (axes z,x,z liés au corps) Généralisation: On trouve 12 jeux d'angles possibles Orientation is often expressed as angles around body-fixed axes. Historically, these were first defined by Euler as precession, nutation and proper rotation of a gyroscope (top, Kreisel)

18 Orientation: Poignet à 3 axes concurrents Fig 10 Wrist with three axes through a common intersection

19 Poignet à 3 axes: Angles dEuler Gruber p. 209 Fig 10) p. 12 Précession nutation rotation propre y x 6 z axes z,x,z (liés au corps) body-fixed

20 Poignet cardanique: Fig. 13 P 14 Angles d'Euler (x,y,z), axes fixes Roulis (roll) aut. axe z, direction d'approche = 6 tangage (pitch) aut. axe y = 4 lacet (yaw) aut. axe x = 5 Cardanic wrist y x z

21 Angles dEuler: Blocage de cardan y x z 6 Alignement de deux axes, perte dun ddl (Gimbal lock)

22 MGD: Comment trouver les angles ( ) par rapport à des axes fixes x,y,z? P( i ) = ( K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) P 0 R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 R 6 R tot R tot R z R y R x

23 Solution: Atan2(±r 21,±r 11 ) Atan2(±r 32,±r 33 ) Signes négatifs pour /2 < < 3 /2 (Sciavicco, Siciliano, p32,33)

24 2.1.9 MGI Tâche pratique: Quelles variables pour i un P donné? On cherche i (P), donc la fonction inverse du MGD P( i ) P( i ) x y z

25 Modèle Géométrique Inverse (indirect) Inverse Kinematics, rückwärts Kinematik Problème mathématiquement difficile! Exemple très simple: L2L2 1 2 x L1L1 x = L 1 c 1 + L 2 c 12 y = L 1 s 1 + L 2 s 12 MGD Donnés x & y, quels sont 1 et 2 ?

26 1. Remplacer cos( 1 2 ) par cos 1 et cos 2 x = L 1 c 1 + L 2 c 12 = L 1 c 1 + L 2 c 1 c 2 – L 2 s 1 s 2 y = L 1 s 1 + L 2 s 12 = L 1 c 1 + L 2 s 1 c 2 + L 2 c 1 s 2 2. L'introduction des sinus nécessite d'ajouter les relations entre sinus et cosinus s c 1 2 = 1 s c 2 2 = 1 4 équations, 4 inconnues mais des équations quadratiques!

27 Nous constatons donc que le MGI est beaucoup plus complexe que le MGD! 1.Les équations sont non-linéaires 2.Des solutions analytiques générales comme dans le cas d'équ. linéaires sont inconnues 3.Solutions multiples possibles! 4.Infinité de solutions possible (redondance)

28 Robot redondant: Plus de ddl que nécessaires au positionement Raison: Accessabilité Applications typiques: Soudure, peinture sur des éléments complexes (carosserie d'auto)

29 Solution des 4 équations: (x 2 + y 2 ) = L L L 1 L 2 c 2 Cela donne cos( 2 ) et donc deux angles 2 Exercice: Trouvez 1

30 Robot à 6 ddl Position: On peut trouver le MGI en combinant deux fois l'exemple planaire qui vient d'être fait. Nous avons donc déjà 2x2=4 postures possibles

31 Lefty, up Lefty, down righty, down righty, up

32 MGI du robot à 6 ddl Orientation: Les angles sont des angles d'Euler par rapport à l'orientation du troisième membre. R(consigne) = R(base) R( donc R( R(base) –1 R(consigne) Postures? (nombre de solutions?)

33 Postures du poignet

34 Récapitulation MGD et MGI Le MGD se trouve de façon systématique. (Paramètres Denavit Hartenberg, matrices homogènes) Il y a toujours une solution dans le domaine de travail Le MGI ne peut pas se calculer systématiquement dans tous les cas (besoin d'astuces) Solutions multiples (postures) possible Nombre de solutions inconnu en général! Méthodes numériques ne donnent pas toutes les solutions

35 Robots parallèles? q1q1 q2q2 q3q3 MGD: Données q 1, q 2, q 3, Quels sont (x, y, ) ? (x, y)

36 Solutions:

37 Constat: Pour les robots parallèles, c'est le modèle géométrique direct MGD qui aura plusieurs solutions. On les appelle les "contorsions"

38 MGI? q1q1 q2q2 q3q3 MGI: Données (x, y, ), Quels sont q 1, q 2, q 3 ? (x, y)

39 MGI (x, y) A l'évidence, il n'y a qu'une seule solution.

40 Fin section 2.1 "Cinématique" Le MGI n'a qu'une solution, souvent facile à trouver Le MGD a des solutions multiples! (Les contorsions) Robots hybrides: Difficile dans les deux cas Ces questions sont objet de recherche en robotique. (publications, conférences...) Robots parallèles, c'est juste l'inverse: Le MGI a des solutions multiples! (Les postures) Le MGD a une seule solution; méthode "infaillible" existe Robots sériels:


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