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Passage entre quaternions et matrice des cosinus directeurs Transition from Quaternions to Direction Cosine Matrices.

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1 Passage entre quaternions et matrice des cosinus directeurs Transition from Quaternions to Direction Cosine Matrices

2 2.1.6 Matrices homogènes 3D Homogenous Matrices in 3D Une rotation autour d'un axe ne passant pas par l'origine se compose de la même façon que dans le cas 2D: A rotation around an axis NOT through the origin is done as in 2D: (12) (13) avec le vecteur p de l'origine O à un point quelconque sur l'axe de rotation with vector p from origin O to any point on the rotation axis.

3 Rappel: Mouvement général 3D: Vis (screw, Schraube) Recall from earlier lecture: The most general motion in 3D is a screw Différence avec le cas 2D: Le mouvement général en 3D est équivalent à une rotation autour d'un axe plus une translation en direction de cet axe. Exercice 8b: Trouver matrice de transformation menant les points A=[1 0 0] T, B=[0 0 0] T et C=[0 1 0] T vers A'=[1 0 1] T, B'=[1 –1 1] T et C=[0 –1 1] T Axe, l'angle de rotation, la translation en direction de l'axe? A screw is a rotation around an axis plus a translation along this axis.

4 2.1.7 Variables robot – Joint Variables Tout robot est controlé par des consignes angulaires ou linéaires envoyées aux actionneurs (moteurs). A robot is controlled by sending desired joint variables to the actuators. The number of joint variables is the number of degrees of freedom of the robot. Symbols q i or i are used for these variables. Ces angles ou positions sont les variables robots. Leur nombre n est le nombre de ddl du robot. (joint variables) Nous utilisons { q 1, q 2, … q i, …. q n } ou { 1, 2, … i, …. n }.

5 Variables opérationnelles – Operational (Task-specific) variables La tâche du robot se décrit dans dautres termes: Position et orientation de loutil, de lobjet à manipuler. Pour un corps rigide, il sera nécessaire de spécifier six paramètres indépendants, correspondants aux six ddl dun solide dans lespace. { x,y,z, Q } ou { x,y,z, } The robot task is described in other variables, task specific: The position and orientation of the object to be handled, i.e. the six independant values { x,y,z, Q } or { x,y,z, }

6 Modèle Géométrique Direct MGD Forward Kinematics Le MGD donne les coordonnées opérationelles en fonction des variables articulaires Forward kinematics is the mathematical expression of the task variables as function of the joint variables. { x,y,z, Q } F q 1, q 2, … q i, …. q n

7 Exemple: MGD du SCARA 1.Définition des variables articulaires i 1st step: Definition of the joint variables 2.définir les positions de référence i 2nd step Definition of reference position (of the zero) 3.définir les paramètres du robot L i 3rd step Definition of the robot parameters Fig L1L1 L2L2 y x

8 Position de référence x = … ? y = … ? z = 3 = L1L1 L2L2 i y x L1L1 L2L2 y x Le MGD donne orientation et position de la main The forward kinematics will give position & orientation of the hand

9 Position du centre de la main (tool center point TCP) & orientation de la main x = L 1 cos 1 + L 2 cos( ) = L 1 c 1 + L 2 c 12 y = L 1 sin 1 + L 2 sin( ) = L 1 s 1 + L 2 s 12 z = 3 = L1L1 L2L2 y x TCP

10 Position & orientation dun outil x = L 1 c 1 + L 2 c 12 + L 4 c 124 y = L 1 s 1 + L 2 s 12 + L 4 s 124 z = 3 = L4L4 y x TCP Position & orientation of a tool

11 MGD dun robot à 6 ddl? La même démarche pour un robot à 6 ddl devient très difficile utiliser les matrices homogènes! Exercice 9 ! For a 6 d.o.f. robot, the same task becomes very hard by hand. It becomes straight forward with the use of homogenous matrices.

12 Ex. 9b 1.Rot. de 4 de autour de [ L 1 + L 2, 0 ] T 2.Rot. de 2 de autour de [ L 1, 0 ] T 3.Rot. de 1 de autour de [ 0, 0 ] T 1.)

13 Ex. 9b 1 1.Rot. de 4 de autour de [ L 1 + L 2, 0 ] T avec les définitions versine( ) = 1– cos donc v 4 = – cos 4 et L 1 2 = L 1 + L 2

14 Ex. 9b MGD complet: =

15 Ex. 9b MGD complet: =


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