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1ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Méthodes standards de reconstruction tomographique en SPECT/PET Philippe Ciuciu (CEA/SHFJ)

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1 1ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Méthodes standards de reconstruction tomographique en SPECT/PET Philippe Ciuciu (CEA/SHFJ)

2 2ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Cours préparé à partir des cours de Master de physique médicale, Univ. Paris Sud (Orsay) dIrène Buvat (CNRS, INSERM U678) Et de Claude Comtat (CEA/SHFJ)

3 3ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Plan Le problème de la reconstruction tomograhique Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées

4 4ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Problématique : images détectées par la gamma caméra Intégrale du rayonnement émis dans différentes directions

5 5ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Problématique : signaux détectés par le tomographe à EP Lignes de réponse dans toutes les directions plans droits plans croisés plans droits

6 6ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Problématique : estimer la distribution 3D du radiotraceur coupe transaxiale (ou transverse) coupe coronale coupe sagittale … à partir de mesures intégrales de cette distribution dans différentes directions

7 7ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Reconstruction tomographique : factorisation du problème volume 3D étudié détecteur en position 1 projection 2D x y z Ensemble de projections 2D reconstruction dun volume 3D Ensemble de projections 1D détecteur en position 1 projection 1D coupe axiale juxtaposition des coupes volume 3D reconstruction dune coupe 2D

8 8ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Principe de la reconstruction tomographique projection rétroprojection r

9 9ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ projection filtrée r rétroprojection filtrée Principe de la reconstruction tomographique

10 10ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Opérateurs impliqués en reconstruction tomographique u = x cos + y sin p(u, ) = f(x,y) dv - f *(x,y) = p(u, ) d 0 projectionrétroprojection x y v

11 11ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Théorème de la tranche centrale x = cos y = sin du.dv = dx.dy transformée de Fourier 1D P(, ) = f(x,y) e -i2 u du.dv = f(x,y) e -i2 (x x +y y ) dx.dy x y u = x cos + y sin v p(u, ) p(u, ) = f(x,y) dv - + P(, ) = p(u, ) e -i2 u du - +

12 12ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Plan Le problème de la reconstruction tomograhique Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées

13 13ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Rétroprojection filtrée x = cos y = sin = x 2 + y 2 d x.d y = d.d u = x cos + y sin f(x,y) = F( x, y ) e i2 (x x +y y ) d x. d y P(, ) = F( x, y ) = P(, ) e i2 (x x +y y ) d x. d y = P(, ) | |e i2 u d. d = p(u, ) d avec p (u, ) = P(, ) | |e i2 u d 0 - +

14 14ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ p(u, ) P(, )| | P(, )p(u, ) f(x,y) TF filtrageTF -1 rétroprojection projectionsimages reconstruites + f(x,y) = p(u, ) d avec p (u, ) = P(, ) | | e i2 u d 0 - Algorithme de rétroprojection filtrée

15 15ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Filtered Back-Projection FBP : 1)calculer la transformée de Fourier 1D dune projection pour un angle fixé 2)multiplier par le filtre rampe | | 3)calculer la transformée de Fourier inverse 1D de la projection filtrée 4)rétroprojeter la projection filtrée 5)répéter les étapes 1 à 4 pour chaque angle Algorithme de rétroprojection filtrée

16 16ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ p(x r, ) xrxr p(x r, )*h(x r ) xrxr Convolution par le filtre rampe h(x r ) = F -1 {|v xr |} Opération de projection effectuée par le scanner Rétroprojection Algorithme de rétroprojection filtrée

17 17ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Insuffisance du filtre rampe w filtre rampe x filtre de Hann filtre résultant | ,8 | |w 0 0, , | | w f(x,y) = p(u, ) d avec p (u, ) = P(, ) | | e i2 u d 0 -

18 18ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Rétroprojection Filtrée en Pratique Les données mesurées sont discrètes et bruitées : échantillonnage discret de pas x r fréquence maximum N = 1/2 x r ; bruit statistique apodisation du filtre rampe par un filtre passe-bas W( xr ) avec fréquence de coupure c N.

19 19ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Effet du Filtrage Sans filtrage, # = 144 Avec filtrage, # =

20 20ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ SPECT cérébral HMPAO Tc-99m Syndrome de fatigue chronique Avant traitementAprès traitementIRM anatomique

21 21ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Plan Le problème de la reconstruction tomograhique Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées

22 22ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Reconstruction analytique vs algébrique rétroprojection filtréereconstruction algébrique

23 23ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Améliorer le Compromis Résolution Bruit Modèles plus complexes : bruit statistique dispositif dacquisition analytique itérative reconstructions itératives reconstructions analytiques Modèle : Intégrale ligne

24 24ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Reconstructions Itératives en TEP Modèle « réaliste » Trop complexe pour une inversion analytique directe Approcher la solution pas à pas, en partant dune image initiale

25 25ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Plutôt que destimer la distribution 3D par une implémentation discrète dune solution analytique telle que FBP (opération directe), on lestime par une succession daffinages : meilleure modélisation du dispositif discret dacquisition des données que le modèle de lintégrale ligne incorporation dun modèle statistique de bruit dans les données Intégration durant le processus de reconstruction dinformations a priori connues sur limage. Reconstructions Itératives

26 26ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Reconstructions Algébriques et Statistiques On distingue deux classes dapproches itératives: 1)algébriques [1] –incluent un modèle discret du dispositif dacquisition 2)statistiques –incluent un modèle discret du dispositif dacquisition –incluent un modèle statistique du bruit –peuvent inclure un a priori (bayésiennes)

27 27ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Reconstructions Itératives : Caractéristiques Une reconstruction itérative est caractérisée par [Fessler98]: Un modèle paramétrique de limage, = { j | j = 1,...,n} ; un modèle des mesures, reliant les données discrètes mesurées y = {y i | i = 1,...,m} à limage : un modèle du bruit, cest-à-dire une distribution de probabilité pour y ; Un critère à minimiser et un algorithme itératif de minimisation

28 28ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Plan Le problème de la reconstruction tomograhique Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées

29 29ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Paramétrisation de lImage Voxel Blobs :fonctions à symétrie sphérique (fonctions généralisées de Kaiser-Bessel) qui se chevauchent [Lewitt90,Lewitt92] Paramétrisation non unique de limage

30 30ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Modèle dacquisition : Matrice système s i (x) probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant en x. A ij probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant dans le voxel j A peut être complexe à souhait… approche matricielle

31 31ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Matrice Système géométrique Pixel j paire de détecteurs i i) projection géométrique A ij volume dintersection entre le voxel j et la LOR i

32 32ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ ii) angle solide A ij angle solide sous lequel la paire de détecteurs i est vue depuis le voxel j Pixel j ij paire de détecteurs i ij Pixel j ij > ij Matrice Système géométrique (suite)

33 33ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ profondeur de pénétration dans le cristal Pixel j diffusions dans les cristaux non-colinéarité de la paire de photons LOR non mesurées (gaps) … Pixel j Modéliser dans la matrice système

34 34ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Matrice système peut être gigantesque (tera-octet) 1)calculer les éléments de la matrice en ligne (routine clinique, généralement uniquement géométrique) 2)techniques de factorisation [Qi98] : A = A sens. dét. A rép. dét. A attn A géom. A sens. dét. :sensibilité des détecteurs (diagonale) A rép. dét. : fonction de réponse des détecteurs A attn : atténuation (diagonale) A géom. : projection géométrique Factorisation de la matrice système

35 35ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Modèle du Bruit (TEP) Hypothèse de Poisson pour lacquisition si : le nombre datomes du traceur injecté suit une distribution de Poisson les localisations spatiales des atomes du traceur, en tout instant, sont des variables aléatoires indépendantes les instants auxquels surviennent la désintégration des atomes du traceur sont des variables aléatoires indépendantes, qui suivent une loi exponentielle de moyenne = t 1/2 /ln2 les processus de détection de chaque désintégration sont des processus aléatoires indépendants (pas de temps mort)

36 36ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Plan Le problème de la reconstruction tomograhique Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées

37 37ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Données pré-traitées : ré-échantillonage, correction de lefficacité de détection, de latténuation, des coïncidences fortuites et diffusées, du temps mort,… Données pas Poisson Données Poisson : corrections dans la matrice système Pour satisfaire un modèle de Poisson, il faut inclure TOUTES les corrections dans la matrice système et ne reconstruire que des données brutes. Souvent, non réalisable. Modèle du Bruit (suite)

38 38ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Choix dun modèle statistique de bruit Aucun : y = A· Bruit blanc gaussien : Bruit gaussien corrélé/coloré Bruit poissonnien Avec bruit : y = A· b

39 39ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Distributions de Poisson et de Gauss Distribution de Poisson : variable entière positive un seul paramètre (moyenne = variance) Distribution de Gauss : variable réelle deux paramètres (moyenne et variance)

40 40ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Fonction de Coût/Critère (y,A ) terme dattache de limage aux données de projection mesurées y, ie vraisemblance des observations U( ) terme dattache de à un modèle a priori de limage ie terme de régularisation Contrainte (non négativité, …)

41 41ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Attache aux données :vraisemblance Bruit poissonnien : distance de Kullback-Leibler [Titterington87] Mesure la distance entre les mesures et le modèle Bruit blanc gaussien : terme de moindres-carrés Bruit gaussien corrélé : moindres-carrés pondérés (WLS) [Fessler94]

42 42ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Maximum de vraisemblance Approche statistique : terme dattache aux données maximum de vraisemblance Modèle de bruit poissonnien : Maximum de vraisemblance (ML), sans a priori

43 43ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Maximum a Posteriori Approche statistique : modèle a priori règle de Bayes Maximum a posteriori (MAP) [Hebert89] Typiquement :

44 44ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Exemple dA Priori : Champ de Markov Champ de Markov : modèle de corrélations spatiales locales N 3D [Geman84]

45 45ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Incorporation Information Anatomique Modèle simple : désactiver ( jk = 0 ) les corrélations locales si deux voxels j et k appartiennent à deux structures anatomiques différentes Image anatomique obtenue par : IRM ou Rayons X (CT)

46 46ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Maximisation itérative du critère Une fois définis : un modèle de limage (voxels, blobs) un modèle de lacquisition (matrice A) un modèle statistique du bruit (Poisson, Gauss) un critère (Moindres-Carrés, ML, MAP) Il nous reste à choisir un algorithme permettant de le maximiser Algorithme le plus classique : EM-ML et variations (OSEM, RAMLA, …)

47 47ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Algorithme Expectation Maximization (EM) [Dempster77] Critère : fonction de vraisemblance (ML) Algorithme EM : recherche du maximum de vraisemblance A) Absence de maxima locaux 2 L : semi-définie négative car T · 2 L· L( ) est concave : maximisation locale converge vers un maximum global

48 48ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Espace incomplet y : pas de maximisation analytique car p(y i | ) dépend de { j | j = 1,...,n} Espace complet x (y+données manquantes) : contribution du voxel j à la mesure i {x ij | j = 1,...,n; i = 1,...,m; y i = j x j } p(x ij | j ) ne dépend que de j EM-ML (2)

49 49ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Maximisation analytique désormais possible Mais x inconnu !!! Principe de lalgorithme EM [Dempster77] Plutôt que de maximiser log p(x | ), on maximise lespérance sur x de log p(x | ), en utilisant une estimation (p) de pour estimer x EM-ML (3)

50 50ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ EM-ML (4) Deux étapes dans EM : 1) calcul de lespérance (E-step) 2) maximisation de lespérance (M-step) On montre que L( (p+1) ) L( (p) )

51 51ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ E-step : M-step : EM-ML (5)

52 52ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Exemple dapplication de EM-ML itérations : itérations :

53 53ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ EM-ML : inconvénients convergence trop lente pour cette application –EM version accélérée : OSEM –autre algorithme de maximisation : RAMLA amplification du bruit avec les itérations –régularisation de MV : MAP (=MVP) –arrêter avant convergence –lisser limage reconstruite

54 54ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ EM-ML : Convergence Lente L( ), Q( (p) ) L( ) Q( (p) ), approximation de L( )

55 55ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ OSEM : Accélération de EM-ML Ordered-Subset Expectation Maximization [Hudson94] 1 itération M subsets M EM iterations Sous-itération : utiliser quun sous- ensemble de projections (subset)

56 56ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ RAMLA : Alternative à EM-ML Row Action Maximum Likelihood Algorithm [Browne96] Row Action : uniquement 1 mesure y i est considérée par sous-itération (1 ligne i de A ij ) s : paramètre de relaxation i s : choix de lordre des mesures important pour accélérer convergence

57 57ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ EM/ML : amplification du bruit Arrêter après 12 itérations ?

58 58ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Régulariser ML Approche de type MAP (aussi appelée PML pour Penalized ML) –inclure dans la fonction un a priori de lissage (terme de régularisation) –maximisation plus complexe, dépendant du terme de régularisation : De Pierro MAP-EM modifié (valable avec OSMAP) [1], Gradient conjugé pré-conditionné [2], Space-alterning generalized EM (SAGE) [3], … Arrêt avant convergence et/ou post-filtrage Corrélations locales introduites par la paramétrisation de limage (blobs)

59 59ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Régularisation : résolution vs bruit Poids de la régularisation, paramètre (PML/PWLS) largeur filtre de lissage (après OSEM ) largeur blobs fréquence coupure( FBP ), fixe le rapport signal-sur- bruit. Compromis bruit- contraste dépend du critère et du modèle de bruit.

60 60ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ FORE+OSEM : modèle de bruit incorrect Implémentation classique de EM-ML en milieu clinique : acquisition en mode 3D pour sensibilité OSEM 2D pour rapiditéS pre-correct 3D data Post-filtration Gauss FORE OSEM A = A géom. FORE exige des projections consistantes, corrigées pour les fortuits, lattenuation, les diffusés, etc. Données corrigées ne sont plus distribuées selon Poisson. ML (OSEM) sattend à des données distribuées selon Poisson

61 61ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Modèle de bruit incorrect artéfacts Images moyennes de 50 simulations, 1 à 10 itérations FORE+AWOSEM FORE+OSEM FORE+AWOSEM FORE+OSEM

62 62ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Attenuation-Weighted OSEM (AWOSEM) Solution simple à mettre en œuvre Hypothèse Correction de latténuation responsable de la plus grande partie de la déviation à une distribution de Poisson en corps-entier Inclure la correction de latténuation dans la matrice système pre-correct 3D data Post-filtration Gauss FORE OSEM A = A attn A géom. de-correct 2D attn.

63 63ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Application à données corps-entier FDG 3DRP FORE+OSEM FORE+AWOSEM shfj

64 64ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Conclusion Reconstructions itératives : grandes potentialités, MAIS attention à la manière dont elles sont mises en œuvres : une mauvaise modélisation (acquisition, bruit, a priori) peut induire des erreurs de quantification importantes (biais) ; prendre garde à la vitesse non-uniforme de convergence (AWOSEM plus lent que OSEM) bien valider leur emploi par rapport à leurs conditions dutilisation

65 65ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Etude de la perfusion myocardique en TEMP Tl 201 (T 1/2 =72,5 h, E=69-83 keV, 135 keV et 167 keV) analogue du potassium fixation régionale proportionnelle au flux sanguin 100 MBq Tc 99m sestamibi ou Tc 99m tetrofosmine (T 1/2 =6 h, E=140 keV) fixation régionale proportionnelle au flux sanguin MBq normalischémieinfarctus repos effort

66 66ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Principe des méthodes de reconstruction algébrique r 11 r 14 r 41 r 44 p1p2p3p4p1p2p3p4 f1f2f3f4f1f2f3f4 p1p1 p2p2 pipi projection fkfk f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 p3p3 p4p4 p 1 = r 11 f 1 + r 12 f 2 + r 13 f 3 + r 14 f 4 p 2 = r 21 f 1 + r 22 f 2 + r 23 f 3 + r 24 f 4 p 3 = r 31 f 1 + r 32 f 2 + r 33 f 3 + r 34 f 4 p 4 = r 41 f 1 + r 42 f 2 + r 43 f 3 + r 44 f 4 = p = R f

67 67ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Résolution du problème inverse p = R f f0f0 p p vs pf1f1 p = R f correctioncomparaison EM Gradient Conjugué

68 68ESIEA – Reconstruction tomographiqueCEA/SHFJ Algorithmes de reconstruction itérative EM (Expectation Maximization) Gradient Conjugué f n+1 = f n R t R f n p f n+1 = f n + n d n || p - R f || 2 solution positive convergence lente


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