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Mathématiques CST MODULE 3 Transformations GÉOMÉTRIQUES dans le plan cartésien.

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1 Mathématiques CST MODULE 3 Transformations GÉOMÉTRIQUES dans le plan cartésien

2 Mathématiques CST - Transformations géométriques - Translation On note t (a, b) la translation qui applique un déplacement de : a unités horizontalement b unités verticalement Donc pour chaque point P (x, y), limage devient P (x + a, y + b) pour une translation t (a, b). t (a, b) : P (x, y) P (x + a, y + b)

3 Exemple #1 : t (2. 5) 2 unités horizontalement (vers la droite) 5 unités verticalement (vers le haut) A (-5, -2) + 5 A (-3, 3) + 2 O (0, 0) + 5 O (2, 5) O est limage de O. O (0, 0) O (0 + 2, 0 + 5) O (2, 5) A est limage de A. A (-5, -2) A (-5 + 2, ) A (-3, 3)

4 1 1 Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation t (-3, 2) ? A (-2, 4) A (-2 – 3, 4 + 2) A (-5, 6) t (-3, 2) : A (-2, 4) B (-2, -2) C (3, -2) B (-2, -2) B (-2 – 3, ) B (-5, 0) C (3, -2) C (3 – 3, ) C (0, 0) A (-5, 6) B (-5, 0) C (0, 0)

5 Exemple #3 : Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui applique une translation t (7, -5). A (3, 5) A (3 + 7, 5 – 5) A (10, 0) t (7, -5) : A (3, 5) D (-2, -2) C (3, -4) B (4, 2) B (4 + 7, 2 – 5) B (11, -3) C (3, -4) C (3 + 7, 4 – 5) C (10, -9) A (10, 0) B (11, -3) C (10, -9) B (4, 2) D (-2, -2) D (-2 + 7, -2 – 5) D (5, -7) D (5, -7)

6 1 1 Exemple #4 : Le triangle ABC a subi une translation t (-3, -2). Quelles étaient les coordonnées du triangle ABC ? A (-5, 2) A (-5 + 3, 2 + 2) A (-2, 4) t -1 (3, 2) : A (-5, 2) B (-5, -4) C (0, -4) B (-5, -4) B (-5 + 3, ) B (-2, -2) C (0, -4) C (0 + 3, ) C (3, -2) A (-2, 4) B (-2, -2) C (3, -2)

7 Mathématiques CST - Transformations géométriques - Réflexion (ou symétrie) On note s x la réflexion par rapport à laxe des abscisses (ou « x »). Pour chaque point P (x, y), limage par s x devient P (x, - y). s x : P (x, y) P (x, - y)

8 1 1 Exemple : sxsxsxsx A (2, 3) A (2, -3) s x : A (2, 3) A (2, -3)

9 On note s y la réflexion par rapport à laxe des ordonnées (ou « y »). Pour chaque point P (x, y), limage par s y devient P (- x, y). s y : P (x, y) P (- x, y) 1 1 Exemple : sysysysy A (2, 3) A (-2, 3) s y : A (2, 3) A (-2, 3)

10 Exemple : Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui applique une réflexion s y. 1 1 A (-2, 6) A (2, 6) s y : A B D C B B (2, 9) B (-2, 9) C (6, 4) C (-6, 4) D (5, 1) D (-5, 1) A C D

11 Mathématiques CST - Transformations géométriques - Homothétie On note h (O, k) lhomothétie de centrée à lorigine O et de rapport k. Pour chaque point P (x, y), limage par h (O, k) devient P (kx, ky). h (O, k) : P (x, y) P (kx, ky)

12 1 1 Exemple #1 : A (2, 1) A (2 x 2, 2 x 1) A (4, 2) h (O, 2) : B (2, 5) B (2 x 2, 2 x 5) B (4, 10) C (4, 1) C (2 x 4, 2 x 1) C (8, 2) Trouver limage du triangle ABC si on lui applique une homothétie h (O, 2). A B C A B C

13 1 1 Exemple #2 : A (-8, -2) A (½ x -8, ½ x -2) A (-4, -1) h (O, ½) : B (-2, 10) B (½ x -2, ½ x 10) B (-1, 5) C (6, -6) C (½ x 6, ½ x -6) C (3, -3) Trouver limage du triangle ABC si on lui applique une homothétie h (O, ½). A B C A B C

14 Mathématiques CST - Transformations géométriques - Compositions de transformations On utilise le symbole, qui se lit « rond », pour lier une série de transformations consécutives. On lit les transformations de DROITE à GAUCHE. Ex. : s x h (O, 2) t (2, -5) À lobjet initial, on applique : t (2, -5) t (2, -5) h (O, 2) h (O, 2) s x s x

15 2 2 A C Exemple : Trouver limage du triangle ABC suite à la composition de transformations suivante : B h (O, ) s y t (4, -7) A (-10, 16) A ( , 16 – 7) A (-6, 9) t (4, -7) : B (-7, 22) B (-7 + 4, 22 – 7) B (-3, 15) C (-4, 19) C (-4 + 4, 19 – 7) C (0, 12) A (-6, 9) A (6, 9) s y : B (-3, 15) B (3, 15) C (0, 12) A (6, 9) A( x 6, x 9) A (2, 3) h (O, ) : B (3, 15) B ( x 3, x 15) B (1, 5) C (0, 12) C ( x 0, x 12) C (0, 4) A C B A CB A CB

16 Mathématiques CST - Transformations géométriques - Dilatation ou contraction Dilatation : Figure étirée horizontalement ou verticalement. Pour chaque point P (x, y), limage par une contraction ou une dilatation devient P (ax, by). P (x, y) P (ax, by) Contraction : Figure rétrécie horizontalement ou verticalement. où a 0 et b 0. Si a = b, alors on a une homothétie.

17 Exemple #1 : Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui applique la règle de transformation suivante : 1 1 A B D C B A C D (x, y) (x, 2y) A (-4, 1) A (-4, 2 x 1) A (-4, 2) B (0, 4) B (0, 2 x 4) B (0, 8) C (4, -1) C (4, 2 x -1) C (4, -2) D (3, -4) D (3, 2 x -4) D (3, -8) Cest une dilatation verticale !

18 1 1 A (-8, -2) A (½ x -8, -2) A (-4, -2) B (-2, 10) B (½ x -2, 10) B (-1, 10) C (6, -6) C (½ x 6, -6) C (3, -6) A C A B C Exemple #2 : Trouver limage du triangle ABC si on lui applique la règle de transformation suivante : (x, y) (½ x, y) B Cest une contraction horizontale !

19 Mathématiques CST - Transformations géométriques - (autour de lorigine O) Rotations (autour de lorigine O) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 90 o ) devient P (- y, x). r (O, 90 o ) : P (x, y) P (- y, x) Rotation de 90 o Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 180 o ) devient P (- x, - y). r (O, 180 o ) : P (x, y) P (- x, - y) Rotation de 180 o Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 270 o ) devient P (y, - x). r (O, 270 o ) : P (x, y) P (y, - x) Rotation de 270 o

20 1 1 Exemple : A B C A A (3, 2) A (-2, 3) B (3, 10) B (-10, 3) C (7, 2) C (-2, 7) r (O, 90 o ) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 90 o ) devient P (- y, x). r (O, 90 o ) : P (x, y) P (- y, x) Rotation de 90 o r (O, 90 o ) : B C 90 o

21 A 1 1 Exemple : A B C r (O, 180 o ) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 180 o ) devient P (- x, - y). r (O, 180 o ) : P (x, y) P (- x, - y) Rotation de 180 o B C A (3, 2) A (-3, -2) B (3, 10) B (-3, -10) C (7, 2) C (-7, -2) r (O, 180 o ) : A C B 180 o

22 A 1 1 Exemple : A B C r (O, 270 o ) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 270 o ) devient P (y, - x). r (O, 270 o ) : P (x, y) P (y, - x) Rotation de 270 o B C A (3, 2) A (2, -3) B (3, 10) B (10, -3) C (7, 2) C (2, -7) r (O, 270 o ) : A C B 270 o A C B

23 Mathématiques CST - Transformations géométriques - Isométries et similitudes ISOMÉTRIES Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles et segments). Translations, réflexions, rotations. SIMILITUDES La figure change de dimension. Seulement les angles restent inchangés. Homothéties


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