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Mathématiques SN MODULE 9 La fonction TANGENTE Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN MODULE 9 La fonction TANGENTE Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Équations et graphiques Mathématiques SN - La fonction TANGENTE - f(x) = tan x (forme générale de BASE) f(x) = a tan [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Les paramètres a, b, h, k influencent louverture (dilatation ou contraction), lorientation du graphique ainsi que la position du sommet. Exemple : f(x) = - 2 tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 a bhk a = - 2 b = 3 h = 1 k = 4 x = ( h + ) + Pn où n (Équation des ASYMPTOTES) P2

3 - 5 5 f(x) = tan x (forme générale de BASE) xf(x)0 0 1 4 -4 -2 2 32 2 52 3 72 -2 - -3 -3 2 -2 -2 -5 -5 2 -3 -3 -7 -7 2 Langle « x » nest pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » 2 2,41 38 -2,41 - 3 - 3 8

4 f(x) = tan x La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. PÉRIODE : Longueur dun CYCLE. Il ny a pas dAMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales Il ny a pas dAMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales.) Période P = | b | - 5 52 32 2 52 3 72 -2 - -3 -3 2 -2 -2 -5 -5 2 -3 -3 -7 -7 2

5 f(x) = tan x Période - 5 52 32 2 52 3 72 -2 - -3 -3 2 -2 -2 -5 -5 2 -3 -3 -7 -7 2 (h, k) x = h + P2 P2 Asymptote-P2 x = h – P2 Asymptote Les équations des asymptotes sont donc : Les équations des asymptotes sont donc : x = ( h + ) + Pn où n x = ( h + ) + Pn où n P2

6 Exemple : Représenter graphiquement f(x) = - 2 tan [ ( x + ) ] + 3. Période = 4 Période = 4 - 5 5 3 5 - -4 -4 -6 -6 2 14 P = | b | = | 1/4 | = 4 = 4 (h, k) = (- /2, 3) -3 -3 -5 -5 -2 -2 -7 -7 2 4 7 6 + 2 + 2 - 2 - 2 Période = 4 Période = 4

7 Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions déquations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4

8 1 1yx RAPPEL sin sin cos cos tan = On sait que : Donc : yx tan = P( ) = (, ) cos cos sin sin x y 1

9 Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions déquations 0 = - tan 2 (x – ) + 1 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4 4 -1 = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 Quel est langle dont la valeur est « 1 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (1) = 2 (x – ) 4

10 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

11 0 = - tan 2 (x – ) + 1 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4 4 -1 = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 Quel est langle dont la valeur est « 1 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (1) = 2 (x – ) 4 = 2 (x – ) 4 4 et 4 54 = x – 4 8 4 58 = x 1 38 = x 2 78 P = | b | | 2 | P = Période Réponse : x + n où n x + n où n =2 2 38

12 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0 REMARQUE… 14 + + 24

13 En RÉSUMÉ… 2 = – 1 2 = – 1 Avec SIN : 2 = 2 – 1 2 = 2 – 1 Avec COS : 2 = + 1 2 = + 1 Avec TAN :

14 0 = -3 tan (x – ) + 3 Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 12 = tan (x – ) 12 Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 ( ) = (x – ) 12 12 33 33 33

15 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0 12 32 ÷ =12 2 3 x =1 3 Il faut rationnaliser ! EXPLICATION : 3 3

16 0 = -3 tan (x – ) + 3 Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 12 = tan (x – ) 12 Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? Quel est langle dont la valeur est « » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 ( ) = (x – ) 12 12 33 33 33 = (x – ) 12 6 et 12 76 = x – = x – 26 = x 1 43 = x – = x – 14 14 6 = x 2 10 10 3 P = | b | | 1/2 | P = Période Réponse : x + 2 n où n x + 2 n où n = 2 = 2 43

17 Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions dinéquations Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 1 8 - 5 52 32 -2 - -3 -3 2 8 P = /2 y = 1

18 Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 1 8 -1,1071 2 (x + ) 8 et + -1,1071 2 (x + ) + -1,1071 2 (x + )8 -0,55355 x + 8 -0,94625 x 1 2,0344 2 (x + ) 8 1,01722 x + 8 0,6245 x 2 1 - tan 2 (x + ) – 1 8 2 - tan 2 (x + ) 8 -2 tan 2 (x + ) 8 Quel est langle dont la valeur est « -2 » lorsquon effectue « y / x » ? tan -1 (-2) 2 (x + ) 8 Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

19 - 5 52 32 -2 - -3 -3 2 8 y = 1 -0,94625 P = | b | | 2 | P = Période Réponse : x ] + n, -0,94625 + n ] où n x ] + n, -0,94625 + n ] où n = -3 -3 8 2 22


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