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Mathématiques SN La fonction RACINE CARRÉE. Définition Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - La racine carrée dun nombre x détermine le nombre.

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1 Mathématiques SN La fonction RACINE CARRÉE

2 Définition Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - La racine carrée dun nombre x détermine le nombre dont le carré donne x. Exemples : car 3 x 3 = 9 ou (3) 2 = 9 On note la racine carrée de x. car 7 x 7 = 49 ou (7) 2 = 49 Propriétés : Attention ! - 5 = Ø - 5 = Ø Attention ! - 5 = Ø - 5 = Ø

3 Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - Rationalisation du dénominateur Lorsquune fraction comporte un nombre irrationnel au dénominateur, la rationalisation consiste à le rendre rationnel. Exemple #1 : 12 Rationnaliser. 12 =12 x22 =2 ( 2 ) 2 =22 Irrationnel Rationnel

4 Exemple #2 : Rationnaliser =6 x 4 – 7 6 x ( 4 – 7 ) ( ) x ( 4 – 7 ) = 24 – – – ( 7 ) 2 = 24 – – 7 = 24 – = 8 – = Irrationnel Rationnel

5 Exemple #3 : Rationnaliser – 7 11 – 7 10 =10 x x ( ) ( 11 – 7 ) x ( ) = ( 11 ) – 11 7 – ( 7 ) 2 = Irrationnel ( 11 ) 2 – ( 7 ) 2 = – 7 = = = Rationnel

6 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - Les paramètres a, b, h, k influencent louverture (dilatation ou contraction), lorientation du graphique ainsi que la position du sommet (h, k). Exemple : a bhk a = - 2 b = 3 h = 1 k = 4 f(x) = x (forme générale de BASE) f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = a x – h + k f(x) = -2 3 ( x – 1 ) + 4 f(x) = a - ( x – h ) + k (formes CANONIQUES)

7 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - xf(x) , Ø f(x) = x (forme générale de BASE) car f(0) = 0 = 0 car f(1) = 1 = 1 car f(2) = 2 = 1,41 car f(4) = 4 = 2 car f(9) = 9 = 3 car f(16) = 16 = 4 car f(-1) = -1 = Impossible

8 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - xf(x) Sommet f(x) = x (forme générale de BASE) Sommet (0, 0) 1 1

9 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - xf(x) Sommet f(x) = - x (forme générale TRANSFORMÉE où a = -1) Sommet (0, 0) 1 1

10 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - xf(x) Sommet f(x) = -x (forme générale TRANSFORMÉE où b = -1) Sommet (0, 0) 1 1

11 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - xf(x) 0Ø1Ø 2Ø Sommet f(x) = - 2 x – Sommet (3, 4) 1 1

12 1 1 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - Sommet (h, k) (h, k) = sommet f(x) = a b ( x – h ) + k (forme générale TRANSFORMÉE) a : + b : +a : + b : – a : – b : – a : – b : +

13 Forme canonique générale Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - Exemple #1 : Écrire léquation f(x) = - 3 4x + 8 – 2 sous la forme canonique. f(x) = - 3 4x + 8 – 2 f(x) = (x + 2) – 2 f(x) = x + 2 – 2 f(x) = - 3 (2) x + 2 – 2 f(x) = -6 x + 2 – 2 Sommet (-2, -2) 1 1

14 Exemple #2 : Écrire léquation f(x) = 12 – 4x + 6 sous la forme canonique. f(x) = 12 – 4x + 6 f(x) = - 4x f(x) = 4 - (x – 3) + 6 f(x) = - 4 (x – 3) + 6 f(x) = 2 - (x – 3) + 6 Sommet (3, 6) 1 1

15 Exemple #3 : Écrire léquation f(x) = – 5x + 3 sous la forme canonique. f(x) = x f(x) = (x – 2) + 3 f(x) = (x – 2) + 3 Sommet (2, 3) 1 1 f(x) = - 13,4 - (x – 2) + 3

16 Recherche de léquation Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver léquation de cette fonction. S(8, -5) Esquisse du graphique 2 2 P(-1, 7)

17 Exemple : Soit une fonction racine carrée ayant comme sommet S(8, -5) et un point P(-1, 7) appartenant à la fonction. Trouver léquation de cette fonction. S(8, -5) Esquisse du graphique 2 2 P(-1, 7) 7 = a - (-1 – 8 ) – 5 f(x) = a x – h + k f(x) = a - ( x – h ) + k (formes CANONIQUES) 7 = a - (-9) – 5 7 = a 9 – 5 7 = a (3) – 5 12 = 3a 4 = a Réponse : f(x) = 4 - ( x – 8 ) – 5 a : + b : –

18 Résolutions déquations Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - Exemple #1 : Réponse : x { 7 } Esquisse du graphique Trouver les zéros de f(x) = 2 x – 3 – 4. 0 = 2 x – 3 – 4 4 = 2 x – 3 2 = x – 3 (2) 2 = ( x – 3 ) 2 4 = x – 3 7 = x 1 1 Sommet (3, -4) Il faut que x – 3 0 Alors que x 3 VALIDATON 0 = 2 (7) – 3 – 4 0 = 2 4 – 4 0 = 4 – 4 0 = 0

19 Exemple #2 : Réponse : x { - 2 } Résoudre 4 5 – 2x = – 2x = 3 5 – 2x = 3 x = - 2 Il faut que 5 – 2x 0 Alors que x 5/2 ( 5 – 2x ) 2 = (3) 2 5 – 2x = 9 - 2x = 4 Esquisse du graphique 1 1 Sommet (5/2, 0) - 2x + 5 = 3 - 2x + 5 = (x – 5/2) = (x – 5/2) = 3 y = 3 VALIDATON 4 5 – 2(-2) = – -4 = = 12 4 (3) = = 12

20 Exemple #3 : Réponse : x { } Résoudre 2 x + 4 = 0. 2 x = - 4 Il faut que x 0 ( x ) 2 = (- 2) 2 x = 4 Esquisse du graphique 1 1 Sommet (0, 4) x = - 2 x = - 2 Lorsque x = nombre négatif, il ny a pas de solution ! À rejeter VALIDATON = 0 2 (2) + 4 = = 0 8 0

21 Résolutions dinéquations Mathématiques SN - La fonction RACINE CARRÉE - Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x Esquisse du graphique 1 1 Sommet (-1, 0)

22 Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x x + 1 = 2x x + 1 = 2x Il faut que x Alors que x -1 ( x + 1 ) 2 = (2x) 2 x + 1 = 4x 2 0 = 4x 2 – x – 1 f(x) = g(x) f(x) = g(x) Esquisse du graphique 1 1 Sommet (-1, 0) x = -b b 2 – 4ac 2a x = -1 (-1) 2 – 4(4)(-1) 2(4) x = x 1 -0,39 et x 2 0,64

23 Exemple #1 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x x + 1 = 2x x + 1 = 2x -0,39 x 1 Il faut que x Alors que x -1 ( x + 1 ) 2 = (2x) 2 x + 1 = 4x 2 0 = 4x 2 – x – 1 f(x) = g(x) f(x) = g(x) 0,64 x 2 À rejeter Réponse : x ] 0,64, + x ] 0,64, + Esquisse du graphique 1 1 Sommet (-1, 0) VALIDATON de x 1 (-0,39) + 1 = 2(-0,39) (-0,39) + 1 = 2(-0,39) 0,61 = -0,78 0,61 = -0,78 0,78 -0,78 0,78 -0,78 VALIDATON de x 2 (0,64) + 1 = 2(0,64) (0,64) + 1 = 2(0,64) 1,64 = 1,28 1,64 = 1,28 1,28 = 1,28 1,28 = 1,28

24 Exemple #2 : Résoudre f(x) g(x) si f(x) = x + 1 et g(x) = 2x Esquisse du graphique 1 1 Sommet (-1, 0) Réponse : x [ -1 ; 0,64 ] x + 1 = 2x x + 1 = 2x -0,39 x 1 Il faut que x Alors que x -1 ( x + 1 ) 2 = (2x) 2 x + 1 = 4x 2 0 = 4x 2 – x – 1 f(x) = g(x) f(x) = g(x) 0,64 x 2 À rejeter


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