La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Mathématiques CST Géométrie des FIGURES PLANES Réalisé par : Sébastien Lachance.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Mathématiques CST Géométrie des FIGURES PLANES Réalisé par : Sébastien Lachance."— Transcription de la présentation:

1 Mathématiques CST Géométrie des FIGURES PLANES Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - Révision des principales formules Révision des principales formules A) Aires de triangles

3 Formule de Héron (où p est le ½-périmètre du triangle)

4 B) Aires de quadrilatères Rectangle Carré A carré c 2

5 B) Aires de quadrilatères Parallélogramme A parallélogramme b h Trapèze A trapèze

6 B) Aires de quadrilatères Losange Cerf-volant

7 C) Aires de polygones (à n côtés) A polygone régulier D) Aires de disques

8 E) Relation de Pythagore Les triangles rectangle se retrouvent aussi à lintérieur des pyramides ou des cônes… !

9 F) Relations métriques (dans les triangles rectangles) Hauteur relative à lhypothénuse

10 F) Relations métriques (dans les triangles rectangles) Mesure des cathètes

11 G) Rapports trigonométriques (dans les triangles rectangles) mesure du côté opposé à A mesure de lhypoténuse mesure du côté adjacent à A mesure de lhypoténuse mesure du côté opposé à A mesure du côté adjacent à A

12 H) Loi des sinus (dans tous les triangles) AB Ca b c

13 2 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - Figures planes équivalentes Figures planes équivalentes Deux figures planes sont équivalentes si elles ont la même aire. Ex. : 3 cm 4 cm 3 cm 2 cm A = b x h 2 A = 3 x 4 A = 6 cm 2 A = b x h A = 3 x 2 A = 6 cm 2 A BC A B C D Donc le triangle ABC et le rectangle ABCD sont équivalents.

14 Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est équivalent au cerf-volant EFGH ? A B C D E F G H 8 cm 13 cm 4 cm 15 cm ? Figures équivalentes A losange = A cerf-volant A cerf-volant A EFG + A FGH A cerf-volant = A EFG = p (p – a) (p – b) (p – c) (formule de Héron où p est le ½-périmètre) A EFG = 16 (16 – 4) (16 – 13) (16 – 15) A EFG = 16 (12) (3) (1) A EFG = 24 cm 2 A EFG = A FGH, Comme A FGH = 24 cm 2 alors Donc A EFG + A FGH A cerf-volant = A cerf-volant = = 48 cm 2

15 Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci est équivalent au cerf-volant EFGH ? A B C D E F G H 8 cm 13 cm 4 cm 15 cm ? Figures équivalentes A losange = A cerf-volant D losange D x d A losange = 2 D x 8 48 = 2 D x 8 96 = D 12 = La grande diagonale mesure 12 cm. Réponse :

16 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - Propriétés des figures planes équivalentes Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones équivalents à n côtés, cest le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. Ex. #1 : Parmi ces triangles équivalents, cest le triangle équilatéral qui a le plus petit périmètre.

17 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - Propriétés des figures planes équivalentes Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones équivalents à n côtés, cest le polygone régulier qui a le plus petit périmètre. Ex. #2 : Parmi ces quadrilatères équivalents, cest le carré qui a le plus petit périmètre.

18 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - Propriétés des figures planes équivalentes Propriétés des figures planes équivalentes De tous les polygones réguliers équivalents, cest le polygone qui a le plus petit côté qui a le plus petit périmètre. À la limite, cest le disque équivalent qui a le plus petit périmètre. Ex. : Parmi ces polygones réguliers équivalents, cest lhexagone qui a le plus petit périmètre.

19 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - Transformations dans le plan cartésien Transformations dans le plan cartésien On note t (a, b) la translation qui applique un déplacement de : a unités horizontalement b unités verticalement Donc pour chaque point P (x, y), limage devient P (x + a, y + b) pour une translation t (a, b). t (a, b) : P (x, y) P (x + a, y + b) A) Translation

20 Exemple #1 : t (2. 5) 2 unités horizontalement (vers la droite) 5 unités verticalement (vers le haut) A (-5, -2) + 5 A (-3, 3) + 2 O (0, 0) + 5 O (2, 5) O est limage de O. O (0, 0) O (0 + 2, 0 + 5) O (2, 5) A est limage de A. A (-5, -2) A (-5 + 2, ) A (-3, 3)

21 1 1 Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation t (-3, 2) ? A (-2, 4) A (-2 – 3, 4 + 2) A (-5, 6) t (-3, 2) : A (-2, 4) B (-2, -2) C (3, -2) B (-2, -2) B (-2 – 3, ) B (-5, 0) C (3, -2) C (3 – 3, ) C (0, 0) A (-5, 6) B (-5, 0) C (0, 0)

22 Exemple #3 : Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui applique une translation t (7, -5). A (3, 5) A (3 + 7, 5 – 5) A (10, 0) t (7, -5) : A (3, 5) D (-2, -2) C (3, -4) B (4, 2) B (4 + 7, 2 – 5) B (11, -3) C (3, -4) C (3 + 7, 4 – 5) C (10, -9) A (10, 0) B (11, -3) C (10, -9) B (4, 2) D (-2, -2) D (-2 + 7, -2 – 5) D (5, -7) D (5, -7)

23 1 1 Exemple #4 : Le triangle ABC a subi une translation t (-3, -2). Quelles étaient les coordonnées du triangle ABC ? A (-5, 2) A (-5 + 3, 2 + 2) A (-2, 4) t -1 (3, 2) : A (-5, 2) B (-5, -4) C (0, -4) B (-5, -4) B (-5 + 3, ) B (-2, -2) C (0, -4) C (0 + 3, ) C (3, -2) A (-2, 4) B (-2, -2) C (3, -2)

24 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - B) Réflexion (ou symétrie) On note s x la réflexion par rapport à laxe des abscisses (ou « x »). Pour chaque point P (x, y), limage par s x devient P (x, - y). s x : P (x, y) P (x, - y)

25 1 1 Exemple : sxsxsxsx A (2, 3) A (2, -3) s x : A (2, 3) A (2, -3)

26 On note s y la réflexion par rapport à laxe des ordonnées (ou « y »). Pour chaque point P (x, y), limage par s y devient P (- x, y). s y : P (x, y) P (- x, y) 1 1 Exemple : sysysysy A (2, 3) A (-2, 3) s y : A (2, 3) A (-2, 3)

27 Exemple : Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui applique une réflexion s y. 1 1 A (-2, 6) A (2, 6) s y : A B D C B B (2, 9) B (-2, 9) C (6, 4) C (-6, 4) D (5, 1) D (-5, 1) A C D

28 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - C) Homothétie On note h (O, k) lhomothétie de centrée à lorigine O et de rapport k. Pour chaque point P (x, y), limage par h (O, k) devient P (kx, ky). h (O, k) : P (x, y) P (kx, ky)

29 1 1 Exemple #1 : A (2, 1) A (2 x 2, 2 x 1) A (4, 2) h (O, 2) : B (2, 5) B (2 x 2, 2 x 5) B (4, 10) C (4, 1) C (2 x 4, 2 x 1) C (8, 2) Trouver limage du triangle ABC si on lui applique une homothétie h (O, 2). A B C A B C

30 1 1 Exemple #2 : A (-8, -2) A (½ x -8, ½ x -2) A (-4, -1) h (O, ½) : B (-2, 10) B (½ x -2, ½ x 10) B (-1, 5) C (6, -6) C (½ x 6, ½ x -6) C (3, -3) Trouver limage du triangle ABC si on lui applique une homothétie h (O, ½). A B C A B C

31 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - D) Rotations (autour de lorigine O) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 90 o ) devient P (- y, x). r (O, 90 o ) : P (x, y) P (- y, x) Rotation de 90 o Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 180 o ) devient P (- x, - y). r (O, 180 o ) : P (x, y) P (- x, - y) Rotation de 180 o Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 270 o ) devient P (y, - x). r (O, 270 o ) : P (x, y) P (y, - x) Rotation de 270 o

32 1 1 Exemple : A B C A A (3, 2) A (-2, 3) B (3, 10) B (-10, 3) C (7, 2) C (-2, 7) r (O, 90 o ) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 90 o ) devient P (- y, x). r (O, 90 o ) : P (x, y) P (- y, x) Rotation de 90 o r (O, 90 o ) : B C 90 o

33 A 1 1 Exemple : A B C r (O, 180 o ) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 180 o ) devient P (- x, - y). r (O, 180 o ) : P (x, y) P (- x, - y) Rotation de 180 o B C A (3, 2) A (-3, -2) B (3, 10) B (-3, -10) C (7, 2) C (-7, -2) r (O, 180 o ) : A C B 180 o

34 A 1 1 Exemple : A B C r (O, 270 o ) Pour chaque point P (x, y), limage par r (O, 270 o ) devient P (y, - x). r (O, 270 o ) : P (x, y) P (y, - x) Rotation de 270 o B C A (3, 2) A (2, -3) B (3, 10) B (10, -3) C (7, 2) C (2, -7) r (O, 270 o ) : A C B 270 o A C B

35 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - E) Dilatation ou contraction Dilatation : Figure étirée horizontalement ou verticalement. Pour chaque point P (x, y), limage par une contraction ou une dilatation devient P (ax, by). P (x, y) P (ax, by) Contraction : Figure rétrécie horizontalement ou verticalement. où a 0 et b 0. Si a = b, alors on a une homothétie.

36 Exemple #1 : Trouver limage du quadrilatère ABCD si on lui applique la règle de transformation suivante : 1 1 A B D C B A C D (x, y) (x, 2y) A (-4, 1) A (-4, 2 x 1) A (-4, 2) B (0, 4) B (0, 2 x 4) B (0, 8) C (4, -1) C (4, 2 x -1) C (4, -2) D (3, -4) D (3, 2 x -4) D (3, -8) Cest une dilatation verticale !

37 1 1 A (-8, -2) A (½ x -8, -2) A (-4, -2) B (-2, 10) B (½ x -2, 10) B (-1, 10) C (6, -6) C (½ x 6, -6) C (3, -6) A C A B C Exemple #2 : Trouver limage du triangle ABC si on lui applique la règle de transformation suivante : (x, y) (½ x, y) B Cest une contraction horizontale !

38 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - F) Compositions de transformations On utilise le symbole, qui se lit « rond », pour lier une série de transformations consécutives. On lit les transformations de DROITE à GAUCHE. Ex. : s x h (O, 2) t (2, -5) À lobjet initial, on applique : t (2, -5) t (2, -5) h (O, 2) h (O, 2) s x s x

39 2 2 A C Exemple : Trouver limage du triangle ABC suite à la composition de transformations suivante : B h (O, ) s y t (4, -7) A (-10, 16) A ( , 16 – 7) A (-6, 9) t (4, -7) : B (-7, 22) B (-7 + 4, 22 – 7) B (-3, 15) C (-4, 19) C (-4 + 4, 19 – 7) C (0, 12) A (-6, 9) A (6, 9) s y : B (-3, 15) B (3, 15) C (0, 12) A (6, 9) A( x 6, x 9) A (2, 3) h (O, ) : B (3, 15) B ( x 3, x 15) B (1, 5) C (0, 12) C ( x 0, x 12) C (0, 4) A C B A CB A CB

40 Mathématiques CST - Géométrie des figures planes - G) Isométries et similitudes ISOMÉTRIES Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles et segments). Translations, réflexions, rotations. SIMILITUDES La figure change de dimension. Seulement les angles restent inchangés. Homothéties


Télécharger ppt "Mathématiques CST Géométrie des FIGURES PLANES Réalisé par : Sébastien Lachance."

Présentations similaires


Annonces Google