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Mathématiques CST - GRAPHES - Composantes et types.

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1 Mathématiques CST - GRAPHES - Composantes et types

2 Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types - Définitions Les graphes sont des représentations mathématiques qui servent à illustrer des situations qui ont une certaine organisation. Ex. : Organisation du système de santé. Elles permettent souvent de faire des choix dorganisation optimaux. Ex. : Le facteur qui distribue le courrier de manière à minimiser ses déplacements. déplacements.

3 Les graphes sont constitués densemble de points, appelés « sommets » et de liens, appelés « arêtes » reliant ses sommets. A EBD C Sommets Arêtes Boucle Boucle : Arête qui débute et se termine au même sommet. Note : La forme de larête na pas dimportance (ligne droite ou courbe)

4 Les graphes illustrent les relations qui existent entre les sommets. A E C DB Ex. : Voici la représentation dun mini-réseau Facebook de 5 personnes. On constate donc, entre autres, que A est « ami » avec B. Cependant, A nest pas « ami » avec C.

5 Voici un graphe quelconque : A EBD C Degré dun sommet : Nombre darêtes qui touchent au sommet. SommetsDegrésA B C D E

6 Voici un graphe quelconque : A EBD C Chaîne : Suite darêtes consécutives. Ex. : ADBE

7 Voici un graphe quelconque : A EBD C Chaîne : Suite darêtes consécutives. Ex. : ADBE Cycle : Chaîne qui commence et se termine au même sommet. Ex. : BECDB

8 Voici un graphe quelconque : A EBD C Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête. Ex. : ADBE est une chaîne simple.

9 Voici un graphe quelconque : A EBD C Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête. Ex. : ADBE est une chaîne simple. Ex. : ADBECDB nest pas une chaîne simple. Cycle simple : Cycle qui ne passe pas deux fois par la même arête.

10 Voici un graphe quelconque : A EBD C Longueur dune chaîne : Nombre darêtes dans la chaîne ou le cycle. Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3.

11 Voici un graphe quelconque : A EBD C Longueur dune chaîne : Nombre darêtes dans la chaîne ou le cycle. Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3. Distance entre 2 sommets : Longueur de la chaîne la plus courte entre ces 2 sommets. ces 2 sommets. Ex. : La distance entre E et C est de 1.

12 Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types - Types de graphes A) Graphe CONNEXE Graphe où il existe une chaîne pour aller à nimporte quel des sommets du graphe. A E C DBCONNEXE A E C DBNON-CONNEXE

13 B) Graphe ORIENTÉ Graphe où chacune des arêtes est orientée (flèche). A E C DBORIENTÉ NON-ORIENTÉ A E C DB Terminologie des graphes orientés : Arcs = Arêtes Chemins = Chaînes Circuits = Cycles

14 C) Graphe VALUÉ Graphe où chacune des arêtes a une valeur numérique. VALUÉ NON-VALUÉ A E C DB A E C DB Poids de larête : Valeur attribuée à larête Poids dune chaîne : Somme des valeurs attribuées à chaque arête de la chaîne. arête de la chaîne. Poids du graphe : Somme des valeurs attribuées à chaque arête du graphe. arête du graphe. Ex. : Le poids du graphe ABCDE est de 34.

15 D) ARBRE Graphe, connexe et non-orienté, qui ne comporte aucun cycle simple. ARBRE ARBRE A E C DB A E C DB PAS UN ARBRE A E C DB Cycle simple !

16 Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types - Chaîne et cycle EULÉRIENS A) Chaîne EULÉRIENNE Chaîne qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe. Conditions pour avoir une chaîne eulérienne dans un graphe : Avoir exactement 2 sommets* de degré impair. * Ces 2 sommets sont le début et la fin de la chaîne eulérienne.

17 Exemple #1 : A E C DBImpair Impair La chaîne BADEC est une chaîne eulérienne. La chaîne CEDAB est aussi une chaîne eulérienne.

18 Exemple #2 : Il ny a pas de chaîne eulérienne, car il ny a pas seulement 2 sommets de degré impair. Impair Impair Impair Impair A E C DB

19 B) Cycle EULÉRIEN Cycle qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe. Conditions pour avoir un cycle eulérien dans un graphe : Avoir tous les sommets de degré pair.

20 Exemple #1 : A E C DBPair Pair Pair Pair Pair Le cycle BCEDAB est un cycle eulérien.

21 Exemple #2 : Il ny a pas de cycle eulérien, car tous les sommets ne sont pas de degré pair. A E C DBImpair Pair Pair Impair Pair

22 Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types - Chaîne et cycle HAMILTONIENS A) Chaîne HAMILTONIENNE Chaîne qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe. Pour savoir si un graphe contient ou non une chaîne hamiltonienne, il faut procéder par essai-erreur.

23 Exemple #1 : B C E DFA G La chaîne ABCDEFG est une chaîne hamiltonienne.

24 Exemple #2 : Ce graphe ne contient pas de chaîne hamiltonienne. A E C DB

25 B) Cycle HAMILTONIEN Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe. Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur. Exemple #1 : Le cycle EFADCBE est un cycle hamiltonien. B C E DFA

26 B) Cycle HAMILTONIEN Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe. Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut procéder par essai-erreur. Exemple #2 : Ce graphe ne contient aucun cycle hamiltonien. B C E DFA

27 Mathématiques CST - GRAPHES : Composantes et types - Nombre CHROMATIQUE Cest le plus petit nombre de couleurs quil est possible dutiliser pour colorier les sommets dun graphe sans que deux sommets adjacents soient de même couleur. On utilise le nombre chromatique avec des graphes dont les arêtes illustrent une situation dincompatibilité ou de conflit. MÉTHODE : 1. Placer les sommets en ordre décroissant de degré. 2. Attribuer une 1 re couleur au sommet de plus grand degré. 3. Attribuer cette même 1 re couleur au sommet suivant sil ne lui est pas relié, sinon utiliser une 2 e couleur. 4. Répéter létape 3 jusquà ce que tous les sommets soient coloriés.

28 Exemple #1 : Trouver le nombre chromatique du graphe suivant : B F DAC E Sommets (en ordre décroissant de degré) : A (3) E (3) B (2) F (2) C (1) D (1) A (3) E (3) B (2) F (2) C (1) D (1) Le nombre chromatique du graphe est 3. Réponse :

29 Exemple #2 : Sébastien veut envoyer un message à tous ses amis par Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits entre eux et se bloquent laccès, donc ils ne peuvent voir le message envoyé à lautre personne. Le graphe ci-dessous illustre les conflits entre les amis de Sébastien. Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ? B C E DFA Sommets (en ordre décroissant de degré) : D (4) F (3) A (2) C (2) E (2) B (1) D (4) F (3) A (2) C (2) E (2) B (1)

30 Exemple #2 : Sébastien veux envoyer un message à tous ses amis par Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits entre eux et se bloquent laccès, donc il ne peuvent voir le message envoyé à lautre personne. Le graphe ci-dessous illustre les conflits entre les amis de Sébastien. Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre tous ses amis ? B C E DFA Le nombre chromatique du graphe est 3. Réponse : 3 messages.


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