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Probabilités géométriques. Probabilité géométrique La probabilité géométrique est liée à la réalisation dun résultat dune expérience aléatoire dans un.

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1 Probabilités géométriques

2 Probabilité géométrique La probabilité géométrique est liée à la réalisation dun résultat dune expérience aléatoire dans un contexte géométrique. On retrouve 3 probabilités géométriques : - probabilité géométrique à une dimension; - probabilité géométrique à deux dimensions; - probabilité géométrique à trois dimensions.

3 Variables aléatoires discrètes et continues Une variable est dite discrète si on peut en dénombrer les résultats. Exemple: On lance un dé, on sintéresse aux résultats pairs. X : (obtenir un résultat pair) : { 2, 4, 6 } X : (obtenir un résultat pair) est une variable discrète car on peut en dénombrer les résultats. On peut en calculer la probabilité : P(X) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles 6 3 = 2 1 =

4 Variables aléatoires discrètes et continues Une variable est dite continue si on ne peut pas en dénombrer les résultats. Exemple: est une variable continue car elle prend une infinité non dénombrable de valeurs. Les probabilités géométriques le permettent. On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous. Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ? ABCDEF Ici, on ne peut pas dénombrer le nombre de cas favorables car il y a une infinité de positions possibles pour un point sur le segment BC. X : (un point sur BC) : Comment calculer cette probabilité ?

5 Probabilité géométrique à une dimension Ce calcul de probabilités utilise les mesures de longueurs. Exemple : On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous. Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ? ABCDEF 4 cm5 cm2 cm3 cm P(point sur BC) = m BC m AF = cm 17 cm = Il sagit simplement de donner des mesures aux différents segments. On reporte alors les mesures. 17 cm 0,294 29,4 %

6 Exemple : On choisit au hasard un point sur les côtés du rectangle ABCD ci-dessous. A D B C 8 cm 5 cm Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le côté AD ? P(point sur AD) = périmètre ABCD = m AD 1) Calculer la mesure du périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( ) = 26 cm. 2) Calculer la probabilité que le point se situe sur le côté AD : cm 26 cm = 0,192 19,2 %

7 Exemple 1: La formule : P = Aire du cercle Aire de la surface totale 1) Calculer laire du cercle: A = π r 2 = π X ,5664 cm 2 2) Calculer laire du carré: Dans la figure suivante, quelle est la probabilité datteindre le cercle ? 8 cm 2 cm 8 cm A = C 2 = 8 2 = 64 cm 2 3) Poser le rapport: 64 cm 2 12,5664 cm 2 0,196 La probabilité datteindre le cercle est donc denviron 19,6 %. 19,6 % Probabilité géométrique à deux dimensions Ce calcul de probabilités utilise les mesures de superficies. = P = Aire du cercle Aire de la surface totale

8 Exemple 2: 12 cm 6 cm Quelle est la probabilité datteindre un des carrés rouges ? 1) Calculer laire dun carré: A = C 2 = 3 2 = 9 cm 2 2) Calculer laire du rectangle: A = L X l = 12 X 6 = 72 cm 2 3) Poser le rapport: P = Aire des cibles Aire de la surface totale = 9 cm cm 2 72 cm 2 = 18 cm 2 72 cm 2 = 0,25 = 25 % La probabilité datteindre un des carrés rouges est de 25 %. 4 1 = Quelle est la probabilité datteindre un des carrés jaunes ?

9 Exemple 2: 12 cm 6 cm 1) Calculer laire dun carré: A = C 2 = 3 2 = 9 cm 2 2) Calculer laire du rectangle: A = L X l = 12 X 6 = 72 cm 2 3) Poser le rapport: P = Aire des cibles Aire de la surface totale = 6 X 9 cm 2 72 cm 2 = 54 cm 2 72 cm 2 = 0,75 = 75 % La probabilité datteindre un des carrés jaunes est de 75 %. 4 3 = Quelle est la probabilité datteindre un des carrés jaunes ?

10 Remarque : 12 cm 6 cm La probabilité datteindre un carré rouge est de 0,25. La probabilité datteindre un carré jaune ( soit le reste ) est de 0,75. Les probabilités des deux évènements donnent une somme de 1. Ce sont donc des évènements complémentaires. Évènements complémentaires Lorsque la somme des probabilités de deux évènements est égale à 1, ces deux évènements sont appelés complémentaires. Dans lexemple des carrés rouges et jaunes, sachant que la probabilité datteindre un carré rouge est de 0,25, on pourrait calculer la probabilité datteindre un carré jaune en effectuant le calcul suivant : P( jaune ) =1 – P( rouge ) =1 – 0,25 =0,75 ou 75 %.

11 Probabilité géométrique à trois dimensions Ce calcul de probabilités utilise les mesures despaces. Exemple : 8 cm 6 cm 5 cm 2 cm On choisit au hasard un point dans le prisme droit ci-contre. Quelle est la probabilité que ce point se situe dans le prisme rouge ? La formule : Volume du prisme rouge Volume du gros prisme P = 1) Calculer le volume du prisme rouge : L x l X h = 8 X 5 X 2 = 80 cm 3 2) Calculer le volume du gros prisme : L x l X h = 8 X 5 X 6 = 240 cm 3 3) Poser le rapport : Volume du prisme rouge Volume du gros prisme P = = 60 cm cm 3 = 1 3 = 0,3 33,3 % La probabilité que le point se situe dans le prisme rouge est denviron 33,3 %.


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