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Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque: Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations.

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Présentation au sujet: "Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque: Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations."— Transcription de la présentation:

1 Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque: Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations effectuées dans cette présentation, nous utiliserons des portions de droites limitées dans les deux sens, cest-à-dire des segments.

2 Dans le plan cartésien, deux droites peuvent avoir, entre elles, différentes positions Elles peuvent être : - parallèles et disjointes ; - parallèles et confondues ; - sécantes ; - sécantes et perpendiculaires ;

3 Droites parallèles et distinctes A ( 5, 20 )B ( 25, 30 ) m ( A, B ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = A B C D Déterminons léquation du segment AB : y = mx + b y = 0,5x + b avec le point ( 5, 20 ) 20 = 0,5 X 5 + b 20 = 2,5 + b 17,5 = b donc y = 0,5x + 17,5

4 C ( 30, 20 )D ( 10, 10 ) m ( D, C ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = A B C D Déterminons léquation du segment DC : y = mx + b y = 0,5x + b avec le point ( 10, 10 ) 10 = 0,5 X 10 + b 10 = 5 + b 5 = b donc y = 0,5x + 5

5 A B C D y 1 = 0,5x + 17,5donc y 2 = 0,5x + 5 Équation du segment AB :Équation du segment DC : m 1 = m 2 Droites parallèles et distinctes : b 1 b 2 - les pentes sont égales; - les ordonnées à lorigine sont différentes. m 1 = m 2 b 1 b 2

6 Droites parallèles confondues Prenons les deux équations suivantes: 10x + 5y – 25 = 0 Ces deux droites représentent deux droites parallèles confondues. Pour mieux observer, écrivons les deux droites sous une même forme: 5y = -10x + 25 y 2 = -2x + 5 y = - 2x + 510x + 5y – 25 = 0et y 1 = - 2x + 5 On constate que les deux équations ont les mêmes pentes: m 1 = m 2 elles sont donc une par-dessus lautre. b 1 = b 2 et les mêmes ordonnées à lorigine:

7 A B C Déterminons léquation de AB : Pente AB :5 Pente BC : y = mx + b 5 = 5 X 10 + b 5 = 50 + b - 45 = b Équation de AB : y = 5x - 45 y = mx + b 30 = X 15 + b = + b = b 55 = b Équation de BC : y = x Droites sécantes avec A ( 10, 5 )y = 5x + b avec B ( 15, 30 ) y = x + b Déterminons léquation de BC:

8 Équation de AB :y 1 = 5x - 45 Équation de BC : y 2 = x m 1 m 2 Droites sécantes : - les pentes sont différentes; - les ordonnées à lorigine peuvent être différentes ou égales. b 1 b 2 m 1 m 2

9 Droites perpendiculaires A B C D Deux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes; nous leurs donnons un nom particulier du fait quelles se croisent selon un angle précis, cest-à-dire un angle droit ( 90 0 ). m ( A, B ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = Déterminons léquation du segment AB: A ( 5, 20 ) B ( 25, 30 ) avec le point ( 5, 20 ) y = x + b = X 5 + b = 5 + b 2 20 = 2,5 + b 17, 5 = b donc y = x + 17,5 1 2 y = mx + b

10 = = Déterminons léquation du segment DC: x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y2 - m ( D, C ) : A B C D D ( 10, 30 ) C ( 20, 10 ) - 2 y = - 2x + bavec le point ( 10, 30 ) 30 = - 2 X 10 + b 30 = b 50 = b donc y = - 2x + 50 y = mx + b

11 A B C D y 1 = x y 2 = - 2x + 50 Droites perpendiculaires - les pentes sont inverses et opposées; m 1 = - 1 m2m2 Équation du AB : Équation du DC : b 1 b 2 m 1 = - 1 m2m2 - les ordonnées à lorigine peuvent être différentes ou égales. Remarque: m 1 = - 1 m2m2 peut aussi sécrire :m 1 X m 2 = -1

12 En résumé Droites: - parallèles disjointes: m 1 = m 2 b 1 b 2 - parallèles confondues: m 1 = m 2 b 1 = b 2 - sécantes:m 1 m 2 - perpendiculaires: m 1 = - 1 m2m De ces quatre positions relatives entre des droites, deux sont particulièrement intéressantes car elle nous permettent de déterminer certaines informations: - droites parallèles entre elles; - droites perpendiculaires entre elles.

13 Problème Quelle est léquation dune droite d 2 passant par le point ( 4, 3 ) et qui est parallèle à une autre droite d 1 passant par les points ( 3, 7 ) et ( 6, 13 ) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d 1 : P 1 ( 3, 7 ) P 2 ( 6, 13 ) m ( P 1, P 2 ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = 2 Étape 2 : La droite d 2 est parallèle à la droite d 1 donc elle a la même pente. y = mx + b y = 2x + b avec le point ( 4, 3 ) 3 = 2 X 4 + b 3 = 8 + b -5 = bdonc y = 2x - 5 Déterminer léquation de la droite d 2 : Remarque:Il nest pas nécessaire de déterminer léquation de d 1.

14 Problème Quelle est léquation dune droite d 2 passant par le point ( 10, 41 ) et qui est perpendiculaire à une autre droite d 1 passant par les points ( 2, 15 ) et ( 6, 31 ) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d 1 : P 1 ( 2, 15 ) P 2 ( 6, 31 ) m ( P 1, P 2 ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = 4 Étape 2 : La droite d 2 est perpendiculaire à la droite d 1 donc sa pente est inverse et opposée: y = mx + b 41 = - 2,5 + b 43,5 = b Déterminer léquation de la droite d 2 : Remarque:Il nest pas nécessaire de déterminer léquation de d y = x + b avec le point ( 10, 41 ) = X 10 + b = 0 + b- 1 4 donc y = x + 43,5- 1 4

15 Problème Quelle est léquation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4, 6 ) et ( 10, 30 )? Pour déterminer cette équation, il faut connaître les caractéristiques dune médiatrice: « Une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le milieu dun autre segment. » Il faut donc déterminer les coordonnées du point milieu du segment AB. Il faut aussi déterminer la pente du segment AB puisque la médiatrice (perpendiculaire) aura une pente inverse et opposée à la pente du segment AB.

16 Problème Quelle est léquation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4, 6 ) et ( 10, 30 )? Pt milieu (A, B) : x2x2 +x1x1 2, y2y2 + y 1 2 P , P 14 2, 36 2 P ( 7, 18 ) Étape 1: Déterminer les coordonnées du point milieu de AB.

17 Problème Quelle est léquation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4, 6 ) et ( 10, 30 )? Étape 2 : Calculer la pente de la droite AB : P 1 ( 4, 6 ) P 2 ( 10, 30 ) m ( A, B ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = 4 Étape 3 : La médiatrice est perpendiculaire à la droite AB donc sa pente est inverse et opposée: y = mx + b 18 = - 1,75 + b 19,75 = b Déterminer léquation de la médiatrice : Remarque: y = x + b avec le point ( 7, 18 ) = X 7 + b = + b- 7 4 donc y = x + 19, Il nest pas nécessaire de déterminer léquation de AB. (point milieu de AB)


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