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Figures semblables et rapport de similitude. Les figures semblables ~ ~

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Présentation au sujet: "Figures semblables et rapport de similitude. Les figures semblables ~ ~"— Transcription de la présentation:

1 Figures semblables et rapport de similitude

2 Les figures semblables ~ ~

3 Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures dangles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Les figures semblables sont créées par des similitudes donc une ( des ) transformation(s) utilisant toujours une homothétie. Le rapport de similitude (K) joue donc un rôle important dans ce type de figures. Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces trois conditions.

4 Voici quelques exemples: Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse. elles nont pas la même forme. oui,mêmes formes, mêmes angles homologues congrus et côtés homologues proportionnels. non, oui,les figures isométriques sont des figures semblables avec K = = mêmes formes, mêmes angles homologues congrus mais côtés homologues non proportionnels.

5 Le rapport de similitude Exemple : 4 6 A B C 12 8 A B C m AC K : m A C = 12 6 = ou 8 4 = = m hauteur ABC Il sétablit comme suit: mesure dun segment dune des figures mesure du segment homologue de lautre figure est le rapport des segments homologues, 2 2 noté K. Remarque: Tu pourrais aussi poser ce rapport: m A C K : m AC = 6 12 = 1 2 Limportant est de garder le même rapport tout au long du problème.

6 4 8 Ces deux pyramides à base carrée sont semblables. Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ? rapport des hauteurs : 2 rapport des apothèmes : 2 2 cm 12 cm 9 cm Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est la mesure du rayon du petit cylindre ? = x 12 x = 18 x = 1,5 cm rapport des côtés : 8 4 = 2 HAUTEUR hauteur = RAYON rayon Le rapport de similitude ( K ) est le même pour tous les segments homologues.

7 K : K2 :K2 :K2 :K2 : :K3 : :K3 : le rapport de similitude le rapport des périmètres ( R p ) le rapport des aires ( R a ) le rapport des volumes ( R v ) À partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesures, en créant dautres rapports : Examinons ce quil en est.

8 Un carré de 3 unités de côtés Si on double ses dimensions, Le rapport de similitude est le rapport entre les côtés homologues. 3 6 Ici, K = = 2 on obtient un carré de 6 unités de côtés. 6 3 On lappelle K.

9 Si on double ses dimensions, on obtient un carré de 6 unités de côtés. 3 6 Un carré de 3 unités de côtés K = 6 3 = 2 Quen est-il du rapport des périmètres ? Carré 1: 4c = 4 X 3 = 12 Carré 2: 4c = 4 X 6 = 24 Rapport des périmètres: = 2 Le rapport de similitude = le rapport des périmètres.

10 Un carré Si on double ses dimensions : on obtient un nouveau carré dont l aire est plus grande. 4 fois K = 2, K 2 = 4 Si on triple ses dimensions : K = 3, on obtient un nouveau carré dont l aire est plus grande. 9 fois K 2 = 9 Si les dimensions dune figure sont multipliées par un nombre K alors son aire est multipliée par K². Le nombre k sappelle le rapport de similitude. Le nombre k 2 sappelle le rapport des aires.

11 Si on double ses dimensions : on obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 8 fois Un cube K = 2, K 3 = 8

12 Un cube Si on triple ses dimensions : on obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 27 fois K = 3, K 3 = 27 Ainsi de suite… Si les dimensions dune figure sont multipliées par un nombre K alors son volume est multiplié par K 3. Le nombre k sappelle le rapport de similitude. Le nombre k 3 sappelle le rapport des volumes.

13 Rapport des périmètres Le rapport des périmètres = le rapport de similitude A B C D 3 cm 5 cm A B C D 6 cm 10 cm K = m AB = 3 6 = 1 2 K p = Périmètre ABCD = = 1 2 Exemple:

14 A B C D 3 cm 5 cm A B C D 6 cm 10 cm Rapport des aires Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré R aire = K 2 K = 1 2 R a = = 1 4 soit 1 2 2Exemple: Aire ABCD = = K 2

15 Rapport des volumes Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube R v = K 3 3 cm 5 cm 2 cm Prisme 2 10 cm 6 cm 4 cm Prisme 1 K = 1 2 R v = Volume du prisme 2 Volume du prisme 1 = = soit 1 2 3Exemple: = K 3

16 K : le rapport de similitude K2 :K2 :K2 :K2 : le rapport des aires (Ra) K : le rapport des périmètres (Rp) K3 :K3 :K3 :K3 : le rapport des volumes (Rv) Ces 4 rapports permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions. abcd =

17 Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK. ABCD E GHIK L 34 K = m GI m AC = 2034 = 1017 m GH : =30 x 1017 x = 30 X x = 51 m IH : =40 x 1017 x = 40 X x = 68 m LH : =14 x 1017 x = 14 X x = 23,8

18 Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK. ABCD E GHIK L 34 K = m AC m GI = 2034 = 1017 Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( ) = 100 =100x1017 x = 100 X x = 170 Le rapport des périmètres = le rapport de similitude Périmètre ABCD Périmètre GHIK :

19 Problème 3 : Détermine laire du parallélogramme GHIK. ABCD E GHIK L 34 K = 1017 Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420 Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires = =420x x = 420 X x1213,8 Aire GHIK Aire ABCD : K2 =K2 =K2 =K2 = =

20 Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes Sachant que laire de la base du petit cylindre est de 50 cm 2, détermine le volume du gros cylindre. Problème 4 : Volume du petit cylindre : Aire de la base X hauteur 50 X 4 = 200 cm 3 K = = =200x x = 200 X x x 2278,1 cm 3 Volume du grand Volume du petit : K3 =K3 =K3 =K3 = = 4 9

21 Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ? Rapport des périmètres : 23 Périmètre du petit Périmètre du grand : 23 =x54 x = 54 X 2 3 x = 36 cm

22 Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm 2 et de 45 cm 2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ? Linformation fournie est le rapport des aires. R a : ÷ 5 45 ÷ 5 = 94 donc K : 9 4 = 32 Petite hauteur Grande hauteur : =16x23 x = 3 X 16 2 x = 24 cm 9 4 = On demande la mesure dun segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ).

23 Problème 7 : Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm 3 et 3125 cm 3. Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ? Rv :Rv :Rv :Rv : ÷ ÷ 25 =64125 K = = 54 R a : K 2 = 5 4 2= = =

24 Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données Aire totale : 88 cm 2 Aire totale : 126,72 cm 2 Volume du petit prisme : Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes. L X l X H = 6 X 2 X 4 = 48 cm 3 Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

25 alors K : Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 si 88126,72 = ,72 9,380811,257 4 chiffres après la virgule pour de la précision. K 3 9, , , , , ,487 6 K3 =K3 =K3 =K3 = Volume du petit prisme Volume du gros prisme = 825, ,487 6 = 48 cm 3 x 82,94 cm 3 82,94 cm 3 x 48 cm 3 X 1 426, ,5049

26 alors K : ,72 ou 126,7288 et K 3 : 126,72 883= , ,723= Volume du petit prisme Volume du grand prisme : =48x ,72 Avec la calculatrice: 48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 ) Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 si 82,94 cm 3 82,94 cm 3 48 X 126,72 48 X 126, x = Tu pourrais aussi procéder comme suit :

27 Echelle 1/2 Echelle 3/2 Problème 11 : Il faut 160 mg dargent pour fabriquer ce bijou. Calcule la masse d argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles. K = K 3 = K = K 3 = Masse de la figure réduite Masse de la figure :18 = x 160 x = 20 mg Masse de la figure agrandie Masse de la figure : 27 8 = x160 x = 540 mg Deux autres modèles sont fabriqués. Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.

28 Echelle 1/2 Echelle 3/2 Problème 12 : Il faut 4 mg dor pour recouvrir ce bijou. Calcule la masse dor nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles. Masse de la figure réduite Masse de la figure : x = 1 mg Masse de la figure agrandie Masse de la figure : x = 9 mg Deux autres modèles sont fabriqués. Cette masse est proportionnelle à laire du bijou. K = K 2 = K = K 2 = 14 = x4 9 4 = x4

29 Remarques: 1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin: - pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K - pour trouver des mesures daires : K 2 - pour trouver des mesures de volumes : K 3 2) Prends le temps décrire correctement la proportion. 3) Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène dabord ces rapports au rapport de similitude.


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