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Figures semblables et rapport de similitude. Les figures semblables ~ ~

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Présentation au sujet: "Figures semblables et rapport de similitude. Les figures semblables ~ ~"— Transcription de la présentation:

1 Figures semblables et rapport de similitude

2 Les figures semblables ~ ~

3 Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures dangles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Les figures semblables sont créées par des similitudes donc une ( des ) transformation(s) utilisant toujours une homothétie. Le rapport de similitude (K) joue donc un rôle important dans ce type de figures. Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces trois conditions.

4 Voici quelques exemples: Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse. elles nont pas la même forme. oui,mêmes formes, mêmes angles homologues congrus et côtés homologues proportionnels. non, 1 3 6 2 1 3 7 2 1 2 3 7 2 5 2 5 oui,les figures isométriques sont des figures semblables avec K = 1. 1 2 3 6 = mêmes formes, mêmes angles homologues congrus mais côtés homologues non proportionnels.

5 Le rapport de similitude Exemple : 4 6 A B C 12 8 A B C m AC K : m A C = 12 6 = ou 8 4 = = m hauteur ABC Il sétablit comme suit: mesure dun segment dune des figures mesure du segment homologue de lautre figure est le rapport des segments homologues, 2 2 noté K. Remarque: Tu pourrais aussi poser ce rapport: m A C K : m AC = 6 12 = 1 2 Limportant est de garder le même rapport tout au long du problème.

6 4 8 Ces deux pyramides à base carrée sont semblables. Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ? rapport des hauteurs : 2 rapport des apothèmes : 2 2 cm 12 cm 9 cm Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est la mesure du rayon du petit cylindre ? = 12 9 2 x 12 x = 18 x = 1,5 cm rapport des côtés : 8 4 = 2 HAUTEUR hauteur = RAYON rayon Le rapport de similitude ( K ) est le même pour tous les segments homologues.

7 K : K2 :K2 :K2 :K2 : :K3 : :K3 : le rapport de similitude le rapport des périmètres ( R p ) le rapport des aires ( R a ) le rapport des volumes ( R v ) À partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesures, en créant dautres rapports : Examinons ce quil en est.

8 Un carré de 3 unités de côtés Si on double ses dimensions, Le rapport de similitude est le rapport entre les côtés homologues. 3 6 Ici, K = = 2 on obtient un carré de 6 unités de côtés. 6 3 On lappelle K.

9 Si on double ses dimensions, on obtient un carré de 6 unités de côtés. 3 6 Un carré de 3 unités de côtés K = 6 3 = 2 Quen est-il du rapport des périmètres ? Carré 1: 4c = 4 X 3 = 12 Carré 2: 4c = 4 X 6 = 24 Rapport des périmètres: 24 12 = 2 Le rapport de similitude = le rapport des périmètres.

10 Un carré Si on double ses dimensions : on obtient un nouveau carré dont l aire est plus grande. 4 fois K = 2, K 2 = 4 Si on triple ses dimensions : K = 3, on obtient un nouveau carré dont l aire est plus grande. 9 fois K 2 = 9 Si les dimensions dune figure sont multipliées par un nombre K alors son aire est multipliée par K². Le nombre k sappelle le rapport de similitude. Le nombre k 2 sappelle le rapport des aires.

11 Si on double ses dimensions : on obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 8 fois Un cube K = 2, K 3 = 8

12 Un cube Si on triple ses dimensions : on obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand. 27 fois K = 3, K 3 = 27 Ainsi de suite… Si les dimensions dune figure sont multipliées par un nombre K alors son volume est multiplié par K 3. Le nombre k sappelle le rapport de similitude. Le nombre k 3 sappelle le rapport des volumes.

13 Rapport des périmètres Le rapport des périmètres = le rapport de similitude A B C D 3 cm 5 cm A B C D 6 cm 10 cm K = m AB = 3 6 = 1 2 K p = Périmètre ABCD = 16 32 = 1 2 Exemple:

14 A B C D 3 cm 5 cm A B C D 6 cm 10 cm Rapport des aires Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré R aire = K 2 K = 1 2 R a = 15 60 = 1 4 soit 1 2 2Exemple: Aire ABCD = = K 2

15 Rapport des volumes Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube R v = K 3 3 cm 5 cm 2 cm Prisme 2 10 cm 6 cm 4 cm Prisme 1 K = 1 2 R v = Volume du prisme 2 Volume du prisme 1 = 1 8 240 30 = soit 1 2 3Exemple: = K 3

16 K : le rapport de similitude K2 :K2 :K2 :K2 : le rapport des aires (Ra) K : le rapport des périmètres (Rp) K3 :K3 :K3 :K3 : le rapport des volumes (Rv) Ces 4 rapports permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions. abcd =

17 Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK. ABCD E 20 403014 GHIK L 34 K = m GI m AC = 2034 = 1017 m GH : =30 x 1017 x = 30 X 17 10 x = 51 m IH : =40 x 1017 x = 40 X 17 10 x = 68 m LH : =14 x 1017 x = 14 X 17 10 x = 23,8

18 Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK. ABCD E 20 403014 GHIK L 34 K = m AC m GI = 2034 = 1017 Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100 =100x1017 x = 100 X 17 10 x = 170 Le rapport des périmètres = le rapport de similitude Périmètre ABCD Périmètre GHIK :

19 Problème 3 : Détermine laire du parallélogramme GHIK. ABCD E 20 403014 GHIK L 34 K = 1017 Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420 Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires 10 172= 100289 =420x 100289 x = 420 X 289 100 x1213,8 Aire GHIK Aire ABCD : K2 =K2 =K2 =K2 = 10 2 17 2 =

20 Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes Sachant que laire de la base du petit cylindre est de 50 cm 2, détermine le volume du gros cylindre. Problème 4 : Volume du petit cylindre : Aire de la base X hauteur 50 X 4 = 200 cm 3 K = 4 9 4 93= 64729 =200x 64729 x = 200 X 729 64 x x 2278,1 cm 3 Volume du grand Volume du petit : K3 =K3 =K3 =K3 = 43434343 93939393 = 4 9

21 Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ? Rapport des périmètres : 23 Périmètre du petit Périmètre du grand : 23 =x54 x = 54 X 2 3 x = 36 cm

22 Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm 2 et de 45 cm 2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ? Linformation fournie est le rapport des aires. R a : 2045 20 ÷ 5 45 ÷ 5 = 94 donc K : 9 4 = 32 Petite hauteur Grande hauteur : =16x23 x = 3 X 16 2 x = 24 cm 9 4 = On demande la mesure dun segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ).

23 Problème 7 : Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm 3 et 3125 cm 3. Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ? Rv :Rv :Rv :Rv :16003125 1600 ÷ 25 3125 ÷ 25 =64125 K = 125 643= 54 R a : K 2 = 5 4 2= 1625 125 6433 = 552552 42424242=

24 Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données. 6 2 4 Aire totale : 88 cm 2 Aire totale : 126,72 cm 2 Volume du petit prisme : Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes. L X l X H = 6 X 2 X 4 = 48 cm 3 Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

25 alors K : Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 si 88126,72 = 88 126,72 9,380811,257 4 chiffres après la virgule pour de la précision. K 3 9,3808 3 11,257 3 9,3808 11,257 3 825,504 9 1 426,487 6 K3 =K3 =K3 =K3 = Volume du petit prisme Volume du gros prisme = 825,5049 1 426,487 6 = 48 cm 3 x 82,94 cm 3 82,94 cm 3 x 48 cm 3 X 1 426,487 6 825,5049

26 alors K : 88 126,72 ou 126,7288 et K 3 : 126,72 883= 8832 3 2 126,72 88 1 2 1 2 126,723= Volume du petit prisme Volume du grand prisme : =48x 8832 3 2 126,72 Avec la calculatrice: 48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 ) Ra :Ra :Ra :Ra :88126,72 si 82,94 cm 3 82,94 cm 3 48 X 126,72 48 X 126,7232 3 2 88 x = Tu pourrais aussi procéder comme suit :

27 Echelle 1/2 Echelle 3/2 Problème 11 : Il faut 160 mg dargent pour fabriquer ce bijou. Calcule la masse d argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles. K = 12 18 K 3 = K = 32 278 K 3 = Masse de la figure réduite Masse de la figure :18 = x 160 x = 20 mg Masse de la figure agrandie Masse de la figure : 27 8 = x160 x = 540 mg Deux autres modèles sont fabriqués. Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.

28 Echelle 1/2 Echelle 3/2 Problème 12 : Il faut 4 mg dor pour recouvrir ce bijou. Calcule la masse dor nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles. Masse de la figure réduite Masse de la figure : x = 1 mg Masse de la figure agrandie Masse de la figure : x = 9 mg Deux autres modèles sont fabriqués. Cette masse est proportionnelle à laire du bijou. K = 12 14 K 2 = K = 32 94 K 2 = 14 = x4 9 4 = x4

29 Remarques: 1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin: - pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K - pour trouver des mesures daires : K 2 - pour trouver des mesures de volumes : K 3 2) Prends le temps décrire correctement la proportion. 3) Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène dabord ces rapports au rapport de similitude.


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