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Les figures semblables ~ ~. Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures dangles homologues; - rapports.

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1 Les figures semblables ~ ~

2 Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures dangles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Les figures semblables sont créées par des similitudes donc une ( des ) transformation(s) utilisant toujours une homothétie. Le rapport de similitude joue donc un rôle important dans ce type de figures. Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces trois conditions.

3 Voici quelques exemples: Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse. elles nont pas la même forme. oui,mêmes formes, mêmes angles homologues congrus et côtés homologues proportionnels. non, oui,les figures isométriques sont des figures semblables avec K = = mêmes formes, mêmes angles homologues congrus mais côtés homologues non proportionnels.

4 Ces deux figures sont elles semblables ? Non, elles nont pas la même forme.

5 Les triangles suivants sont-ils semblables ? Vérifie sils ont les mêmes mesures dangles et le même rapport de similitude k; A B C D EF m BAC = 70 0 m EFD = cm 5,8 cm 6,1 cm 4 cm 11,6 cm 12,2 cm m BCA = 20 0 les angles aigus dun triangle rectangle sont complémentaires; m FDE = 70 0 les angles aigus dun triangle rectangle sont complémentaires; donc tous les angles homologues sont isométriques. Ils ont la même forme.

6 m AB m DE = m BC m EF = m AC m DF A B C D EF m BAC = 70 0 m EFD = cm 5,8 cm 6,1 cm 4 cm 11,6 cm 12,2 cm 2 4 = 5,8 11,6 = 6,1 12,2 Les rapports des mesures des côtés homologues sont proportionnels. Les deux triangles sont donc semblables et K = 1 2 ou 2 1 Remarque: Pour bien comparer, il faut toujours simplifier les rapports. Le rapport unitaire ( dénominateur = à 1 ) est ici intéressant. 2 ÷ 4 = 0,5 5,8 ÷ 11,6 = 0,56,1 ÷ 12,2 = 0,5

7 On applique une homothétie de centre A sur le triangle ABD pour obtenir le triangle ACE. A B D Les 2 triangles ont la même forme. 36 CE 4 8 Les angles homologues sont isométriques: A A, ~ = il est commun aux deux triangles. Sachant que lhomothétie conserve le parallélisme des segments, on peut déduire que: B C ~ = et D E ~ = car ce sont des angles correspondants. Les rapports des segments homologues sont proportionnels ; m AB m AC m AD m AE = = donc ABD ~ ACE. Les deux triangles sont-ils semblables ?

8 Les deux rectangles ci-contre sont semblables; Quelle est la mesure du segment GH ? A B C D E F G H ? Sachant que les rectangles sont semblables, on sait que les rapports des mesures des côtés homologues sont proportionnels. En utilisant le rapport de similitude, on pourra construire une proportion pour trouver la mesure du segment GH. K = m AC m EG = 3 4 m AC m EG = m CD m GH x = 3 x = 4 X 9 3 x = 36 m GH = 12 x = 12

9 Les deux rectangles ci-contre sont semblables; Quelle est la mesure du segment CD ? A B C D E F G H 3,2 15,6 6,4 ? K = m AC m EG = 3,2 6,4 m AC m EG = m CD m GH 3,2 6,4 x 15,6 = 3,2 X 15,6 = 6,4 x 49,92 = 6,4 x m CD = 7,8 7,8 = x

10 AB CD EF 3 cm 12 cm Les rectangles ABCD et CDEF suivants sont semblables. Quelle est la mesure du segment CD ? x AB CD 3 cm x C D F E 12 cm x m AC m CD = m CE 3 x x 12 = x 2 = 36 x = ± 6m EF = 6 cm Remarque:Il nest pas toujours facile de détecter les côtés homologues, alors prends le temps de bien observer les figures.

11 Dans les triangles semblables, il est plus facile de repérer les côtés homologues. C A B D E AChomologue àED ABhomologue à CBhomologue àDB Il suffit dassocier les angles homologues et les côtés opposés à ces angles. EB ABC ~ EBD

12 A B C D ABhomologue àCD ADhomologue à CBhomologue àBD AChomologue àBC ABhomologue à DChomologue àBC BD ABD ~ CBD A B D C ABC ~ BDC

13 Dans les figures semblables 2D ou 3D, tous les segments homologues sont proportionnels. On peut donc profiter des uns pour en déduire dautres. ~ 2 cm 3 cm Dans ces deux triangles semblables, quel est le rapport des hauteurs ? Le rapport des bases est de 3 : 2 donc le rapport des hauteurs est de 3 : 2. Remarque: Dans cette situation, on ne sait pas quel triangle est limage de lautre. Le rapport de similitude peut être alors de 2 : 3 ou de 3 : 2.

14 4 8 Ces deux pyramides à base carrée sont semblables. Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ? rapport des hauteurs : 8 4 = 2 rapport des apothèmes : 8 4 = 2 2 cm 12 cm 9 cm Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est la mesure du rayon du petit cylindre ? = x 12 x = 18 x = 1,5 cm rapport des côtés : 8 4 = 2 HAUTEUR hauteur = RAYON rayon

15 Sachant que les deux rectangles sont semblables, que vaut la variable x ? A B C D 19 x + 5 E F G H m CB m GF = m CD m GH (x + 5) = 35 (x + 5) = 19 X 38 35x = x = 547 x 15,6


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