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Ensembles de nombres Q R Q Z N et langage. Lêtre humain crée les outils dont il a besoin. Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de.

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1 Ensembles de nombres Q R Q Z N et langage

2 Lêtre humain crée les outils dont il a besoin. Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de haute précision, tous ces objectifs nécessitent lutilisation de différentes sortes de nombres. Lhomme a donc créé différents ensembles ( différentes familles ) de nombres; chaque ensemble a ses propres caractéristiques et traduit des situations différentes. N : les nombres entiers naturels Z : les nombres entiers relatifs Q : les nombres rationnels Q : les nombres irrationnels R : les nombres réels Les nombres ont donc évolué; au début, ils étaient assez simples mais avec les besoins de plus en plus complexes de lhomme, ils se sont développés et spécialisés.

3 Avant de décrire les nombres et leurs ensembles, il faut savoir que ces différents nombres sont écrits avec des chiffres. Il existe 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ces chiffres représentent lalphabet des nombres. Avec eux, on peut écrire les nombres. Ainsi 145 est un nombre, composé de 3 chiffres soit le 1, le 4 et le 5. 6 est aussi un nombre, composé dun seul chiffre soit le 6.

4 N : Ces nombres servent à compter des objets entiers. 2 pommes5 chaises500 personnes étoiles9 planètes Il débute à 0 et ne se termine jamais; après un nombre, il y en a toujours un de plus. Ce sont, dans lhistoire, les premiers nombres à être utilisés. Les hommes de lépoque comptaient ce quils possédaient. 3 enfants, 25 chèvres, 56 arbres, etc. Ils sétendent jusquà linfini sans jamais latteindre. Remarque:Les hommes ont inventé un symbole pour décrire linfini; ce symbole est le suivant : Ils sont tous des nombres entiers et positifs. les nombres entiers naturels. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … N :

5 Sur une droite numérique, on ne peut représenter cet ensemble quavec des points. Les nombres entiers négatifs, les fractions et les nombres décimaux ne font pas parti de cette famille … + N Ce dessin symbolise lensemble des entiers naturels. Tous les nombres entiers naturels se retrouvent à lintérieur de ce cercle.

6 Prenons un exemple: Un magasin de jouets vend des yoyos au prix de 10,00 $ chacun. On sintéresse au revenu des ventes ($) en fonction du nombre de yoyos. Voici la règle et le graphique représentant cette situation Yoyos vendus Vente de yoyos Revenus ($) f(x) = 10x Ici, on représente des nombres entiers. On ne peut pas utiliser une courbe pleine. On doit donc tracer la courbe ainsi. Une courbe pleine ne serait pas significative. Elle signifierait que lon peut vendre un demi-yoyo pour 5,00 $. Peu de personnes achèteraient un demi-yoyo même pour 5,00 $.

7 Z : les nombres entiers relatifs. Un jour, les hommes ont eu besoin de représenter de nouvelles situations: la température: C et C ne représentent pas le même degré de chaleur. les dettes: quand tu reçois un salaire de 100 $, tu possèdes $ mais si tu tachètes un mp3 de 150 $, il te manque 50 $; tu es donc à - 50$. Lensemble des entiers relatifs ne comporte que des nombres entiers ( pas de fractions ni de décimaux); il regroupe les nombres entiers naturels et les nombres entiers négatifs. La famille sagrandit ! Z : …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Remarque: On note Z lensemble des entiers relatifs car cest un allemand appelé Zahl qui en a parlé le premier. Z N Exemples:

8 Ils permettent de construire une droite numérique à gauche du … + Ils ne se terminent jamais sen allant comme pour les nombres naturels vers linfini mais linfini négatif. - Comme pour lensemble des nombres naturels, on ne peut représenter lensemble des entiers relatifs sur une droite numérique que par des points …

9 Q : les nombres rationnels. Comment faire pour représenter : la moitié dune pomme,3 centièmes de seconde,le quart dune tarte,5,75 $ Pour ce faire, nous avons besoin dun nouvel ensemble; cet ensemble regroupe toutes les fractions et les nombres décimaux périodiques. Q : …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2, …, 7,238, … Il existe une définition formelle pour décrire cet ensemble: On utilise la lettre Q pour signifier un quotient. Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b 0. a b Voyons ce que cela veut dire.

10 Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b 0. a b a et b sont des nombres entiers: est un nombre entier 5 est un nombre entier donc est une fraction donc un nombre rationnel ,5 3 est un nombre entier 4,5 nest pas un nombre entier mais un nombre rationnel donc nest pas une fraction, cest un rapport. 3 4,5 b 0 :en mathématique, la division par 0 nest pas définie. Exemple: Un dénominateur ne doit jamais être égal à zéro. Posons x = 5 0 et effectuons le produit croisé :0 x = 5 Cette expression signifie quelle valeur doit-on donner à x, pour que multipliée par 0, lexpression soit égale à 5 ? ????????????????????????

11 Voyons maintenant les implications de cette définition. Les nombres décimaux périodiques étant une autre forme décriture des fractions, ils font donc aussi parti de lensemble des rationnels. 1 2 = 0,5 7 4 = 1, = - 1,6 1 3 = 0, Les nombres périodiques sont ceux que l'on peut indéfiniment diviser et dont les décimales reproduisent périodiquement une même série de chiffres. Ainsi, si on effectue la division de, on obtient ceci: , Si on continuait la division, elle ne sarrêterait jamais et le chiffre 3 se répéterait indéfiniment. 3 est donc la période.

12 Certaines fractions ont une forme décimale comportant une période très longue. Exemples: 2 7 = 0, … 1 17 = 0, … Pour indiquer cette période, on place au-dessus de la période un trait. Ce trait indique que la période se répète indéfiniment. 2 7 = 0, … 1 17 = 0, … 1 3 = 0, … = 0, = 0, = 0, 3 Attention: 1 3 = 0, 3 et non = 0, 33 La période est 3 et non 33.

13 Les nombres entiers et les nombres décimaux sont considérés comme des nombres rationnels car, on pourrait dire quils ont une période de 0. Exemples: Bien entendu, on ne lécrit pas mais il faut sen souvenir. 7 = 7, = - 125, 034,8 = 34,8 0 La famille sagrandit encore ! Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres. Q Z N Les entiers font parti de lensemble des rationnels parce quils sont des fractions entières. Exemples: 8 4 = = - 3

14 Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres … … La figure, ci-dessus, veut montrer quil y a beaucoup de nombres mais il y en a beaucoup plus que cela. Prenons comme exemple, les nombres que lon pourrait placer entre 1 et Agrandissons cette distance: 1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,02,0 Plaçons les dixièmes:

15 1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,02,0 1,11,0 Maintenant, agrandissons la distance entre 1,0 et 1,1 et plaçons les centièmes: 1,09 1,011,021,031,041,051,061,071,081,0 1,1 On pourrait faire la même démarche pour placer les millièmes, puis les dix-millièmes, etc. On pourrait répéter la même démarche jusquà linfini; il y aurait toujours de la place pour des nombres dont la partie décimale est de plus en plus petite. Il existe donc une infinité de nombres entre deux nombres. 0 0

16 Q : les nombres irrationnels De nouvelles réalités ont forcé lhomme à créer un nouvel ensemble de nombres. Q : 235 ~ ,,,,, …, Exemple:Voici un triangle rectangle de 1 unité de côté. 1 1 Lhypoténuse de ce triangle se calcule avec la relation de Pythagore comme suit: a 2 + b 2 c = donc c = c = 2 Les nombres irrationnels forment un ensemble particulier. Lorsquon étudie les côtés dun triangle, la circonférence dun cercle ou encore en calculant des intérêts bancaires, nous devons travaillé avec des nombres particuliers. Ce sont les irrationnels.

17 Si on extrait la racine carrée de 2, on obtient le nombre suivant: 2 1, … Ce nombre est un nombre décimal non-périodique; la partie décimale est infinie et on ne retrouve aucune période. Le même problème se pose avec : ~ ~ 3, … Pourtant ces nombres sont utiles dans beaucoup de situations. Les nombres irrationnels sont donc des nombres décimaux dont la partie décimale est infinie et non-périodique. Avec ces nombres, la droite numérique est pleine.

18 Prenons lexemple de la racine carrée de 2: Cette valeur devrait se positionner entre 1,41 et 1,42 2 1, … 2,1 et 1, … Cette valeur devrait se positionner entre 1,44 et 1,45 Ainsi, en calculant les racines des différents nombres, on obtient encore une infinité de nouveaux nombres, ce qui remplit la droite numérique … … - Attention:Ce ne sont pas tous les nombres avec des racines qui sont irrationnels. 2 4 = donc un nombre entier.

19 Tous ces ensembles de nombres forment la grande famille des nombres réels: R R Q Q Z N à son tour est inclus dans lensemble des nombres réels. On pourrait aussi écrire ce même paragraphe à laide du langage mathématique. en mathématique, ce symbole signifie « est inclus dans ». donc N Z Q R Lensemble des nombres irrationnels est à part mais il est inclus dans lensemble des nombres réels. Lensemble des nombres entiers naturels est inclus dans lensemble des nombres entiers relatifs qui lui est inclus dans lensemble des nombres rationnels qui,

20 R Q Q Z N Un autre symbole mathématique nous permet de tout écrire. Ce symbole est celui qui sert à décrire lunion entre 2 ou plusieurs ensembles: donc R = Q Q Les mathématiciens ont inventé des codes mathématiques pour pouvoir décrire des phénomènes qui, en français, seraient trop longs à écrire. Apprendre ce langage est, au début, difficile mais essentiel si tu désires continuer ton cheminement en mathématique.

21 Il existe un dernier ensemble de nombre qui nest pas étudié au secondaire. Il sappelle lensemble des nombres complexes : C Ces nombres ont des propriétés liées à la trigonométrie, et qui sont très utiles en Sciences Physiques pour létude des réseaux électriques, ainsi que pour les travaux concernant les courants alternatifs. Exemple: - 4 En effet, on ne peut pas extraire la racine carrée dun nombre négatif. En utilisant les lois sur les radicaux, les mathématiciens ont décomposé cette racine en deux. - 1 X 4 = Dans lensemble des nombres réels, nexiste pas. - 4 = 4 X Ils ont symbolisé par i. - 1 Ainsi = 2 i - 4 Ils peuvent donc effectuer des calculs complexes.

22 Nombres et langage Voyons, maintenant, comment on peut décrire tous ces différents nombres. Il faut apprendre quelques symboles; ceux-ci nous permettent de décrire de très grandes quantités de nombres. x représente : Lorsquon parle des ensembles de nombres, « tous les nombres qui nous intéressent » < signifie : > signifie : signifie : plus petit que … plus grand que … plus petit ou égal à … plus grand ou égal à … signifie :union ( quand on veut réunir des ensembles )

23 Remarques importantes sur les 4 symboles: <> En utilisant lensemble des entiers naturels ( N ), regardons des détails importants sur ces symboles. < la pointe signifie plus petit que ainsi x < 5 se lit x est plus petit que 5; louverture signifie plus grand que et x > 5 se lit x est plus grand que 5.

24 < signifie : > signifie : signifie : plus petit que … plus grand que … plus petit ou égal à … plus grand ou égal à … ce qui exclut le nombre. Exemple:x < 4 signifie 0, 1, 2, 3, ce qui inclut le nombre. Exemple:x 4 signifie 0, 1, 2, 3, 4 ce qui exclut le nombre. Exemple:x > 6 signifie 7, 8, 9, 10, 11, … ce qui inclut le nombre. Exemple:x 6 signifie 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

25 Prenons un exemple: Dans la famille des entiers naturels ( N ), représente x 5. 5, 6, 7, 8, 9, … On place des accolades. Elles servent à énumérer les réponses. La liste débute à 5 car x 5. Les points veulent dire que la liste continue toujours. Dans la famille des entiers naturels ( N ), représente x > 5. 6, 7, 8, 9, … Ici, la liste débute à 6 car x > 5.

26 x

27 Dans la famille des rationnels ( Q ), représente x 2. …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2 Comme la liste est très longue, on place de temps en temps des points pour indiquer quentre les nombres écrits, on en retrouve dautres. Énumérer des listes de nombres peut devenir assez fastidieux, car plus les familles de nombres sont grandes et plus il y a de nombres. Avec la famille des réels ( R ), les mathématiciens ont trouvé des manières pour écrire une suite de nombres.

28 R : les nombres réels Lensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q. Il est lensemble de nombres le plus utilisé en mathématique. Les mathématiciens ont donc trouvé des manières pour décrire les nombres réels: la droite numérique: les intervalles: … …,,,,

29 La droite numérique: On sait que lensemble des nombres réels remplit la droite numérique; on peut donc illustrer un ensemble particulier à laide de celle-ci … … Ce trait plein symbolise tous les nombres réels entre 1 et 6. Exemple:On voudrait représenter tous les nombres réels compris entre 1 inclus et 6 inclus.

30 … … Voici quelques exemples: … … Lensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 jusquà 5. Lensemble de nombres commence à -2 jusquà 5. 2 exclu 5 inclus Représenter tous les nombres entre -2 inclus et 5 inclus. Représenter tous les nombres entre -2 exclu et 5 inclus. Remarque: signifie que le nombre nest pas compris. signifie que le nombre est compris. Par exemple, de – 1, … jusquà x 5 -2 < x 5

31 … … Lensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 et se termine juste à gauche de … … Lensemble de nombres commence à -2 et se termine juste à gauche de 5. Représenter tous les nombres entre -2 exclu et 5 exclu. Représenter tous les nombres entre -2 inclus et 5 exclu. -2 < x < 5 -2 x < 5

32 Sur la droite numérique, représente: … … On prolonge le trait au-delà de la droite numérique pour indiquer que lensemble se dirige vers … … Remarque: Sur la droite numérique, le déplacement se fait toujours de la gauche vers la droite. Tous les nombres plus grands ou égaux à 1 soit x 1. Tous les nombres plus petits que -2 soit x < -2.

33 Les intervalles Les intervalles sont représentés par des crochets:, Ces symboles ne sont utilisés quavec les nombres réels ( R ). Ils représentent, comme le trait plein sur la droite numérique, tous les nombres en question. Exemple: … … En intervalles, on écrit: 1, 6 Soit tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6; ou encore, tous les nombres entre 1 inclus et 6 inclus. On place une virgule pour séparer les nombres.

34 Les crochets peuvent être ouverts ou fermés,, selon la situation à représenter … … Exemples: sécrit en intervalles … … Lensemble de nombres commence à -2 inclus jusquà 5 inclus. sécrit en intervalles -2, 5 Lensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 jusquà 5 inclus. 2 exclu5 inclus -2, 5.

35 … … Lensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 et se termine juste à gauche de … … Lensemble de nombres commence à -2 et se termine juste à gauche de 5. sécrit en intervalles -2, 5 sécrit en intervalles -2, 5

36 … … sécrit en intervalles 1, + Remarque:Certains auteurs utilisent des crochets ouverts avec linfini, dautres nen mettent pas. 1, + 1, + les deux manières sont bonnes; mais il ne faut jamais mettre des crochets fermés sur linfini. Cela voudrait dire que lon a atteint linfini ce qui est impossible. 1, + ou

37 Remarque:Comme sur la droite numérique, les nombres se suivent du plus petits vers le plus grand (de la gauche vers la droite), on doit respecter le même ordre avec les intervalles … … sécrit en intervalles, -1 - et non -1, - Attention: les symboles suivants ne signifient pas la même chose:, sont des crochets pour parler dintervalles; sont des accolades pour énumérer une ou des réponses; (, ) sont des parenthèses pour représenter un couple de coordonnées dans le plan cartésien.

38 On peut donc représenter un ensemble de nombres dans lensemble des nombres réels de quatre manières différentes. Exemple: En compréhension : Sur la droite numérique: En intervalles: … … -3, 3 En français:Tous les nombres compris entre -3 inclus et 3 exclu. -3 x < 3 Remarque: Cette forme décriture est utilisée en algèbre. Elle signifie: « Tous les nombres compris entre -3 inclus et 3 exclu. »

39 Exercice 1 En utilisant la droite numérique et lécriture en intervalles, décris les phrases suivantes. Tous les réels plus petits que 3: , 3 - Tous les réels supérieurs à 100 inclus: , + Tous les réels compris entre 5 inclus et 30 exclu: , 30 Droite numériqueEn intervalles

40 Tous les nombres réels: 0 - +, ouR Tous les nombres réels positifs: 0 0, + Tous les nombres négatifs sauf 0: 0 -, 0 Droite numériqueEn intervalles Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu 05 5, 15

41 Exercice 2 Écris en intervalles les représentations numériques suivantes: Droite numériqueEn intervalles , , ,, ce symbole sert à unir les deux ensembles de nombres.

42 Droite numérique En intervalles : … … [ -6, -4 ] [ 1, 5 [ [ -5, -3 [ [ 2, 6 ]] -4, -2 [ ] 0, 2 [

43 0 0, + -, 0 Droite numériqueEn intervalles , ,, 1 - +

44 Droite numériqueEn intervalles -4, Dans le plan cartésien, on associe la droite numérique horizontale aux valeurs de x et la droite numérique verticale aux valeurs de y ; donc tout ce que nous venons de voir concernant les différentes façons de représenter les nombres et leurs ensembles est vrai aussi pour y. Toujours les plus petites valeurs en premier. x y

45 Cette présentation a illustré les différents ensembles de nombres et la manière de les décrire. Le langage mathématique est une langue de communication comme la langue française. Un nouveau langage est, au début, un peu difficile à apprendre mais il devient avec le temps comme un réflexe, si on fournit leffort nécessaire. Tous les symboles et les phrases énumérés(es) sont les premiers codages du langage mathématique. Bien entendu, ce langage est beaucoup plus vaste.


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