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Présentation dans le cadre du congrès mathématique Dédra-MATH-isons Le 22 avril 2009 Travail réalisé par Thomas Van Himbeek, Son, Nicéphore Bayekula, Thomas.

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1 Présentation dans le cadre du congrès mathématique Dédra-MATH-isons Le 22 avril 2009 Travail réalisé par Thomas Van Himbeek, Son, Nicéphore Bayekula, Thomas Vande Casteele et Nathan Louagie Avec laide de M. Bolly Collège Saint-Michel Présentation dans le cadre du congrès mathématique Dédra-MATH-isons Le 22 avril 2009 Travail réalisé par Thomas Van Himbeek, Son, Nicéphore Bayekula, Thomas Vande Casteele et Nathan Louagie Avec laide de M. Bolly Collège Saint-Michel

2 Les Triplets Pythagoriciens

3 Plan de lexposé 1. Introduction 2. Approche algébrique 3. Approche géométrique 4. Quelques propriétés remarquables

4 1. Introduction 1.1. La corde à nœuds Cet instrument de mesure permet de vérifier quun angle est droit. La corde à nœuds est une application directe des triplets pythagoriciens. Elle peut former un triangle (3,4,5) tel quillustré à droite.

5 1.2. Définitions Un triplet pythagoricien est une combinaison de naturels vérifiant la formule a²=b²+c². Un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont entiers

6 Un triplet est dit primitif si a, b et c sont premiers entre eux deux à deux. – Cas particulier: le seul triangle primitif dont les côtés ont pour mesure des naturels consécutifs est le triangle (3,4,5). – Exemples de triangles primitifs: ABC

7 Plan de lexposé 1. Introduction 2. Approche algébrique 3. Approche géométrique 4. Quelques propriétés remarquables

8 Comment pourrions- nous trouver des triplets pythagoriciens de manière algébrique?

9 2. Approche algébrique 2.1. a et b tels que ab=x² Nous devons trouver la mesure des côtés a et b du rectangle afin que son aire égale celle du carré (1)z+y=a (2) z-y =b (1)+(2): 2z=a+b x² ab

10 z= (a+b)/2 y=a-(a+b):2=(a-b)/2 x²= z²-y²=((a+b)/2)²-((a-b)/2)² x= S=(, (a-b)/2, (a+b)/2)

11 2.2. Est-il possible de trouver (x, y, z) tels que z - y= y - x = n ? Prenons dabord le cas où x, y et z sont consécutifs : z - y= y - x= 1 Par résolution dune équation du second degré, on a prouvé que lunique solution était le triplet (3, 4, 5). Partant de ce triplet primitif, on peut trouver pour chaque n (n étant naturel) un unique triplet tel que: z – y= y – x= n

12 Démonstration par récurrence: Vrai pour n=1 (3, 4, 5) x 1 = (3, 4, 5) 5 – 4= 4 – 3 = 1 On suppose que cest vrai pour n et on démontre pour n + 1 (3, 4, 5) x (n+1) = (3n+3, 4n+4, 5n+5) On a bien que z – y= y – x = n+1 Pour obtenir un triplet où les différences entre z et y et entre y et x sont égales à un même naturel, il suffit de multiplier les membres du triplet (3, 4, 5) par ce naturel.

13 Quelle est lhistoire de formules notables permettant de générer des triplets?

14 2.2 Un petit bout dHistoire des mathématiques Les formules de la Grèce Antique a) Platon « Pour tout entier naturel n, le triplet (2n ; n² 1 ; n² +1) est pythagoricien. » b) Pythagore « Pour tout entier naturel n, le triplet (2n +1 ; 2n² +2n ; 2n² +2n +1) est pythagoricien. »

15 c) Euclide « Soient a, b et c trois entiers premiers entre eux deux à deux. Alors a²+ b² = c² si et seulement sil existe deux entiers naturels non nuls premiers entre eux n et m tel que : a =2nm; b= n²m² et c² =n² +m² » Démonstration: Si x = 2nm, y = n²-m² et z² = n²+m², alors (x, y, z) est un triplet pythagoricien Réciproquement, soit (x, y, z) irréductible, alors x et y ne sont pas de même parité Si x et y pairs, ce nest pas un triplet primitif car les membres du triplet ont alors 2 comme facteur commun.

16 Si x et y étaient tous les deux impairs, on pourrait écrire x = 2p+1 ( p naturel) et y= 2q+1 Doù x²+y²= (2p+1)²+(2q+1)²= 4p²+ 4p+4q²+4q+2 = 4 (p²+p+q²+q)+2 Or ceci signifierait que z² serait pair et non divisible par 4. IMPOSSIBLE ( (2n)²= 4.n²). Tout nombre pair élevé au carré donne un multiple de 4! x et y doivent être de parité opposée x = 2nm est le terme pair y est impair et forcément z lest aussi.

17 Posons x = 2u z+y = 2v z-y = 2w u, v et w sont premiers entre eux (puisque x, y et z le sont) x² = z²- y² (z+y)(z-y) = 4vw x² = (2u)² = 4u² u² = x²/4 u² = vw Mais v et w étant premiers entre eux, ce sont nécessairement des carrés parfaits car u²= vw

18 Nous pouvons donc écrire v= n² et w= m² (n et m sont premiers entre eux) x²= 4m²n² x= 2mn y = v - w = n²-m² z = v +w = n²+m² x²= 4m²n² x= 2mn y = v - w = n²-m² z = v +w = n²+m²

19 Plan de lexposé 1. Introduction 2. Approche algébrique 3. Approche géométrique 4. Quelques propriétés remarquables

20 Cherchons des formules génératrices des triplets par la géométrie!

21 3. Approche géométrique 3.1. Génération géométrique des triplets pythagoriciens La construction : Un cercle est inscrit dans un carré de côté unité dont lun des sommets est P. Soit A lune des intersections entre le cercle et le carré. La droite (AP) coupe le cercle en A. Le rapport entre les côtés du rectangle AA1A2A3 inscrit dans le cercle est 4/3. Joignant à nouveau P aux sommets des rectangles inscrits on obtient dautres intersections et de triplets ainsi de suite.

22 3.2. Interprétation géométrique de la formule euclidienne Si a²+b²=c² alors (a/c)²+ (b/c)²=1 Cette équation représente le cercle de rayon 1 dans un repère orthonormé. Tout point de ce cercle est donc solution de léquation pythagoricienne. Nous cherchons à laide de la géométrie, les solutions entières Considérons le point P(0,1), le point P(m/n,0) et le point dintersection P entre le cercle et la droite PP

23 Nous recherchons une formule pour trouver les coordonnés du point P Le cercle a pour équation y² + x² = 1 La droite PP a pour équation y = (m/n)x – 1 Nous remplaçons y dans léquation du cercle pour trouver les coordonnés du point dintersection P: (m²/n²)x² – 2(m/n)x x² = 1 Nous obtenons ainsi la formule dEuclide: x = [2(m/n)] / [(m²/n²) + 1] = (2mn) / (m² + n²) y = (-2m² + m² + n²) / (m² + n²) = (n² - m²) / (m² + n²) x = [2(m/n)] / [(m²/n²) + 1] = (2mn) / (m² + n²) y = (-2m² + m² + n²) / (m² + n²) = (n² - m²) / (m² + n²)

24 Plan de lexposé 1. Introduction 2. Approche algébrique 3. Approche géométrique 4. Quelques propriétés remarquables

25 Explicitons et démontrons certaines propriétés des triplets pythagoriciens!

26 4. Quelques propriétés remarquables Si a est le côté pair alors b et c sont impairs (cf. propriété de parité des triplets) En remplaçant a, b et c dans la formule des triplets nous obtenons: a = 2u (u, v, w, y Є N) b = 2v+1 c = 2w+1 a² = c² - b² 4u² = 4w² + 4w + 1 – 4v² - 4v - 1 4u² = 4 (w² + w - v² - v)0 u² = w² + w - v² - v u² = w (w+1) - v(v +1) 4.1 La divisibilité dun des termes dun triplet par 4

27 Nous savons que w (w+1) et v(v +1) sont impairs tandis que u² est pair. Si u² est pair, u est pair Nous avons posé a = 2u u² = impair - impair u² = pair u = pair = 2y a = 2u = 2.2y = 4y a est divisible par 4

28 4.2. (x, y, z) tels que y et z sont consécutifs a) x²+y²=(y+1)² x²+y²=y²+2y+1 y=(x²-1)/2 (x, (x²-1)/2, (x²+1)/2) Remarque: x doit être impair pour que y et z soient des naturels b) y et z diffèrent de 2 unités x²+y²= (y+2)² x² = 4y+4 y = (x²-4)/4 (x, (x²-4)/4, (x²+4)/4) X² doit être un multiple de 4 et donc x doit être pair

29 c) Généralisons: y et z diffèrent de n unités x²+y²= (y+n)² x²+y²= y²+ 2ny+n² 2ny= x²-n² y= (x²-n²)/2n alors z= (x²+n²)/2n (x, (x²-n²)/2n, (x²+n²)/2n)

30 4.3. Génération de triplets par les complexes Théorème : A chaque nombre complexe, défini par c = a+bi, correspond un triplet pythagoricien noté (a²-b², 2ab, a²+b²). A condition que a et b soient des entiers strictement positifs, a< b Démonstration : 1. c² = a²- b² + i2ab = x + iy 2. x²+y²= (a²- b²)² + (2ab)²= a+ 2a²b²+ b+ 4a²b² = (a²+ b²)² = z²

31 4.4 Le dernier théorème de Fermat Léquation générale Conjecture de Fermat: Il ny a pas de nombres entiers non nuls a, b et c tels que a n + b n = c n où n est un entier strictement supérieur à 2 Démonstration de Andrew Wiles: 1.Démontrer que toute courbe elliptique est paramétrée par des fonctions modulaires. (conjecture de Shimura- Taniyama-Weil) 2.Associer aux solutions de l'équation de Fermat une courbe elliptique. 3.Démontrer que cette courbe ne peut être paramétrée par des fonctions modulaires.

32 Cas où n=2 a²+b²=c² Dans un repère orthonormé par laxe horizontal a et par laxe vertical b, les couples (a, b) de cette équation sont représentés par le graphique suivant:

33 b a


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