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Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain

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Présentation au sujet: "Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain"— Transcription de la présentation:

1 Approches primale et duale pour la conception optimale de réseaux de transport en commun
Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain Julien Antunes Mendes 28 juin 2010

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6 Modélisation, données et objectif
Modélisation d’un réseau à l’aide d’un graphe orienté Nœuds = arrêts de bus Arêtes = routes entre 2 nœuds

7 Modélisation, données et objectif
Modélisation d’un réseau à l’aide d’un graphe orienté Nœuds = arrêts de bus Arêtes = routes entre 2 nœuds Données : Demandes entre les paires origine-destination (par exemple, demande de A à B : 30 personnes/heure) Capacités des bus Temps de parcours des arêtes Variables : Flux sur les arêtes Flux sur les routes Objectif : Recherche d’un équilibre en régime stationnaire

8 Recherche d’un équilibre
Les passagers choisissent une route plutôt qu’une autre pour 2 raisons Ils veulent une route rapide (temps de parcours petit) Ils veulent un faible flux sur la route pour éviter l’encombrement dans le bus, pour ne pas être trop serrés Désutilité : inconfort, mécontentement

9 Présentation du problème Passage au dual Problème design
Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

10 Présentation du problème Passage au dual Problème design
Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

11 Fonction de désutilité par unité de temps
Le volume du moyen de locomotion doit être supérieur à la somme des volumes des personnes

12 Fonction de désutilité par unité de temps

13 Problème de minimisation Notations
Données Variables

14 Problème de minimisation
Minimiser somme des désutilités sur les arêtes : équilibre social Minimiser somme des intégrales des désutilités : équilibre égoïste

15 Problème de minimisation

16 Conditions d’optimalité
Désutilité sur la kème route entre r et s

17 Conditions d’optimalité
Désutilité sur la kème route entre r et s Désutilité minimale sur les routes utilisées Désutilité supérieure sur les routes non utilisées

18 Résolution du problème primal via SDPT3 (Matlab)
SDPT3 permet de résoudre des problèmes de minimisation convexe où apparaissent des logarithmes de variables dans l’objectif Les nombres sur le dessin représentent les capacités Les temps de parcours sont unitaires Les demandes sont les suivantes : AB : 3 AD : 4 BA : 2 CB : 5 DC : 1

19 Résolution du problème primal via SDPT3 (Matlab)
SDPT3 permet de résoudre des problèmes de minimisation convexe où apparaissent des logarithmes de variables dans l’objectif Les nombres sur le dessin représentent les capacités Les temps de parcours sont unitaires Les demandes sont les suivantes : AB : 3 AD : 4 BA : 2 CB : 5 DC : 1

20 Présentation du problème Passage au dual Problème design
Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

21 Pourquoi passer au dual ?
Temps de calcul augmente : Nombre de chemins Nombre de paires origine-destination

22 Un réseau de bus # nœuds : 25 # arêtes : 80

23 Un réseau de bus Nombre de chemins sans boucle entre le nœud supérieur
gauche et le nœud inférieur droit : 8512 Avec 600 paires origine-destination, environ de chemins

24 Passage au dual

25 Application dans notre cas :
Passage au dual Application dans notre cas :

26 Passage au dual

27 Passage au dual

28 Plus court chemin et choix des chemins
On va prendre les chemins de taille minimale en termes de nombre d’arêtes ou avec un certain écart par rapport à cette taille Ecart=0 Ecart=2

29 Résultats pour un réseau de bus, obtenus via SDPT3
Augmentation du nombre de chemins

30 Méthodes de résolution du problème dual
SDPT3 (problèmes de mémoire vive avec un réseau de bus 8x8 : 4032 paires OD et 224 arêtes) Plus forte pente Méthode «  moyenne des itérés » Méthode de l’ellipsoïde Obtention d’un sous-gradient

31 Obtention d’un sous-gradient
A partir d’une solution optimale du problème de plus court chemin, on en trouve son gradient : Mais il peut y avoir plusieurs plus courts chemins et la fonction n’est alors pas différentiable. On prend un sous-gradient.

32 Méthode « moyenne des itérés »
y est solution d’une équation du second degré Justification + pénalité par rapport à l’itéré initial pour que le problème soit borné

33 Comparaison des résultats
La méthode «  moyenne des itérés » donne les meilleurs résultats

34 Présentation du problème Passage au dual Problème design
Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

35 Données et objectif Données :
Demandes entre les paires origine-destination (par exemple, demande de A à B : 30 personnes/heure) Capacités des bus Temps de parcours des arêtes Variables : Flux sur les arêtes Flux sur les routes Capacités (+coût) Objectif : Recherche d’un équilibre

36 Présentation du problème design, conjointement convexe en les flux et les capacités
1) Chaque arête est considérée de manière indépendante 2) Un réseau est constitué de lignes et la capacité va être égale sur une ligne car un véhicule va suivre exclusivement celle-ci

37 Passage au dual Pour plus de concision
m* vaut soit zéro soit moins l’infini. On contraint les variables duales à appartenir au domaine effectif de la fonction.

38 La dernière contrainte impose que m*(y)=0
Passage au dual La dernière contrainte impose que m*(y)=0

39 Capacités fixes et capacités variables
Flux optimaux En annulant la dérivée partielle de p(x,f) par rapport à x Capacités fixes et capacités variables

40 Résultats Réseau de bus Autre réseau

41 Données et objectif Données :
Demandes entre les paires origine-destination (par exemple, demande de A à B : 30 personnes/heure) Temps de parcours des arêtes Lignes Variables : Flux sur les arêtes Flux sur les routes Capacités # chauffeurs sur les lignes Objectif : Recherche d’un équilibre

42 Flux égaux pour les lignes
Ajout contrainte : capacité sur une arête = somme des capacités des lignes traversant cette arête s : nombre de chauffeurs sur les lignes F(a,l) : capacité supplémentaire sur l’arête a par l’ajout d’un chauffeur sur la ligne l

43 Passage au dual Si F=I, même problème que précédemment
où chaque arête était considérée de manière indépendante

44 Le nombre optimal de chauffeurs de bus sur chaque ligne est :
Résultats On considère un réseau de bus avec 5 lignes verticales et 5 horizontales. Un chauffeur en plus sur une ligne fait augmenter la capacité de 300 sur chaque arête de la ligne. Les coûts sont unitaires. Le nombre optimal de chauffeurs de bus sur chaque ligne est :

45 Compromis coût-désutilité
représente l’importance du coût par rapport à la désutilité

46 Conclusion Problème primal
Passage au dual inévitable pour les grands réseaux - Résolution avec SDPT3 (problèmes de mémoire vive) - « Moyenne des itérés » donne les meilleurs résultats Problème design convexe - Décider des capacités - Méthode de l’ellipsoïde pour un problème contraint Extensions : - Régime non stationnaire - Résolution en nombres entiers


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