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1 Approches primale et duale pour la conception optimale de réseaux de transport en commun Julien Antunes Mendes Université catholique de Louvain Ecole.

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1 1 Approches primale et duale pour la conception optimale de réseaux de transport en commun Julien Antunes Mendes Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain 28 juin 2010

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6 6 Modélisation, données et objectif Modélisation dun réseau à laide dun graphe orienté Nœuds = arrêts de bus Arêtes = routes entre 2 nœuds

7 7 Modélisation, données et objectif Données : Demandes entre les paires origine-destination (par exemple, demande de A à B : 30 personnes/heure) Capacités des bus Temps de parcours des arêtes Variables : Flux sur les arêtes Flux sur les routes Objectif : Recherche dun équilibre en régime stationnaire Modélisation dun réseau à laide dun graphe orienté Nœuds = arrêts de bus Arêtes = routes entre 2 nœuds

8 8 Recherche dun équilibre Les passagers choisissent une route plutôt quune autre pour 2 raisons Ils veulent une route rapide (temps de parcours petit) Ils veulent un faible flux sur la route pour éviter lencombrement dans le bus, pour ne pas être trop serrés Désutilité : inconfort, mécontentement

9 9 Présentation du problème Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

10 10 Présentation du problème Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

11 11 Fonction de désutilité par unité de temps Le volume du moyen de locomotion doit être supérieur à la somme des volumes des personnes

12 12 Fonction de désutilité par unité de temps

13 13 Problème de minimisation Notations Données Variables

14 14 Problème de minimisation Minimiser somme des désutilités sur les arêtes : équilibre social Minimiser somme des intégrales des désutilités : équilibre égoïste

15 15 Problème de minimisation

16 16 Conditions doptimalité Désutilité sur la k ème route entre r et s

17 17 Conditions doptimalité Désutilité minimale sur les routes utilisées Désutilité supérieure sur les routes non utilisées Désutilité sur la k ème route entre r et s

18 18 Résolution du problème primal via SDPT3 (Matlab) SDPT3 permet de résoudre des problèmes de minimisation convexe où apparaissent des logarithmes de variables dans lobjectif Les nombres sur le dessin représentent les capacités Les temps de parcours sont unitaires Les demandes sont les suivantes : AB : 3 AD : 4 BA : 2 CB : 5 DC : 1

19 19 Résolution du problème primal via SDPT3 (Matlab) SDPT3 permet de résoudre des problèmes de minimisation convexe où apparaissent des logarithmes de variables dans lobjectif Les nombres sur le dessin représentent les capacités Les temps de parcours sont unitaires Les demandes sont les suivantes : AB : 3 AD : 4 BA : 2 CB : 5 DC : 1

20 20 Présentation du problème Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

21 21 Pourquoi passer au dual ? Temps de calcul augmente : Nombre de chemins Nombre de paires origine-destination

22 22 Un réseau de bus # nœuds : 25 # arêtes : 80

23 23 Un réseau de bus Nombre de chemins sans boucle entre le nœud supérieur gauche et le nœud inférieur droit : 8512 Avec 600 paires origine-destination, environ de chemins

24 24 Passage au dual

25 25 Passage au dual Application dans notre cas :

26 26 Passage au dual

27 27 Passage au dual

28 28 Plus court chemin et choix des chemins On va prendre les chemins de taille minimale en termes de nombre darêtes ou avec un certain écart par rapport à cette taille Ecart=0 Ecart=2

29 29 Augmentation du nombre de chemins Résultats pour un réseau de bus, obtenus via SDPT3

30 30 Méthodes de résolution du problème dual SDPT3 (problèmes de mémoire vive avec un réseau de bus 8x8 : 4032 paires OD et 224 arêtes) Plus forte pente Méthode « moyenne des itérés » Méthode de lellipsoïde Obtention dun sous-gradient

31 31 Obtention dun sous-gradient A partir dune solution optimale du problème de plus court chemin, on en trouve son gradient : Gradient : Mais il peut y avoir plusieurs plus courts chemins et la fonction nest alors pas différentiable. On prend un sous-gradient.

32 32 Justification Méthode « moyenne des itérés » + pénalité par rapport à litéré initial pour que le problème soit borné y est solution dune équation du second degré

33 33 Comparaison des résultats La méthode « moyenne des itérés » donne les meilleurs résultats

34 34 Présentation du problème Désutilité, problème général, optimalité Passage au dual Problème dual, comparaison, résolution Problème design Décider des capacités, problème dual, choix des lignes de bus

35 35 Données et objectif Données : Demandes entre les paires origine-destination (par exemple, demande de A à B : 30 personnes/heure) Capacités des bus Temps de parcours des arêtes Variables : Flux sur les arêtes Flux sur les routes Capacités (+coût) Objectif : Recherche dun équilibre

36 36 Présentation du problème design, conjointement convexe en les flux et les capacités 1) Chaque arête est considérée de manière indépendante 2) Un réseau est constitué de lignes et la capacité va être égale sur une ligne car un véhicule va suivre exclusivement celle-ci

37 37 Passage au dual Pour plus de concision m* vaut soit zéro soit moins linfini. On contraint les variables duales à appartenir au domaine effectif de la fonction.

38 38 Passage au dual La dernière contrainte impose que m*(y)=0

39 39 Flux optimaux En annulant la dérivée partielle de p(x,f) par rapport à x Capacités fixes et capacités variables

40 40 Résultats Réseau de bus Autre réseau

41 41 Données et objectif Données : Demandes entre les paires origine-destination (par exemple, demande de A à B : 30 personnes/heure) Temps de parcours des arêtes Lignes Variables : Flux sur les arêtes Flux sur les routes Capacités # chauffeurs sur les lignes Objectif : Recherche dun équilibre

42 42 Flux égaux pour les lignes Ajout contrainte : capacité sur une arête = somme des capacités des lignes traversant cette arête s : nombre de chauffeurs sur les lignes F(a,l) : capacité supplémentaire sur larête a par lajout dun chauffeur sur la ligne l

43 43 Passage au dual Si F=I, même problème que précédemment où chaque arête était considérée de manière indépendante

44 44 Résultats On considère un réseau de bus avec 5 lignes verticales et 5 horizontales. Un chauffeur en plus sur une ligne fait augmenter la capacité de 300 sur chaque arête de la ligne. Les coûts sont unitaires. Le nombre optimal de chauffeurs de bus sur chaque ligne est :

45 45 Compromis coût-désutilité représente limportance du coût par rapport à la désutilité

46 46 Conclusion Problème primal Passage au dual inévitable pour les grands réseaux - Résolution avec SDPT3 (problèmes de mémoire vive) - « Moyenne des itérés » donne les meilleurs résultats Problème design convexe - Décider des capacités - Méthode de lellipsoïde pour un problème contraint Extensions : - Régime non stationnaire - Résolution en nombres entiers


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