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0 Gestion de Portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Les obligations : durée, convexité et stratégies de gestion de portefeuille Séance 10 27 nov 2008.

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1 0 Gestion de Portefeuille Albert Lee Chun Les obligations : durée, convexité et stratégies de gestion de portefeuille Séance nov 2008

2 Albert Lee Chun Portfolio Management 1 Gestion de portefeuille obligataire La source de risque principale à laquelle doivent faire face les gestionnaires de portefeuille d'obligations est celle de la variation des taux dintérêt. Au cours de cette séance: 1. Nous allons examiner comment les prix des obligations répondent aux variations de taux dintérêt. 2. Nous verrons différentes méthodes de construction dun portefeuille dobligations qui nous immunisera contre ce risque.

3 Albert Lee Chun Portfolio Management 2 Aujourdhui Rappel sur les obligations Rappel sur les obligations La structure à terme des taux dintérêt La structure à terme des taux dintérêt Le risque de taux dintérêt Le risque de taux dintérêt La sensibilité du prix des obligations au taux dintérêt La sensibilité du prix des obligations au taux dintérêt - Durée - Durée - Convexité - Convexité Immunisation de portefeuille Immunisation de portefeuille Stratégie de courbe des taux Stratégie de courbe des taux Quelques exemples sympathiques! Quelques exemples sympathiques!

4 Albert Lee Chun Portfolio Management 3 Rappel sur les obligations

5 Albert Lee Chun Portfolio Management 4 Lobligation Définition: Une obligation est une dette à long terme émise par une société ou un gouvernement Définition: Une obligation est une dette à long terme émise par une société ou un gouvernement Normalement, lobligation est un prêt dont lemprunteur ne paye que lintérêt et ne rembourse la valeur nominale quà léchéance. Normalement, lobligation est un prêt dont lemprunteur ne paye que lintérêt et ne rembourse la valeur nominale quà léchéance. L'intérêt est payé sous forme d'un coupon périodique. L'intérêt est payé sous forme d'un coupon périodique.

6 Albert Lee Chun Portfolio Management 5 Composantes de l'obligation Le prix de lobligation dépend de quatre facteurs : Le prix de lobligation dépend de quatre facteurs : 1. Valeur nominale ou valeur au pair 2. Taux de coupons 3. Période de temps avant léchéance 4. Taux de rendement à léchéance (TRE): le rendement qui actualise les coupons et la valeur nominale aux prix du marché daujourdhui (aussi connu sous le nom de Taux de rendement interne).

7 Albert Lee Chun Portfolio Management 6 Taux de rendement effectif Le taux de rendement à léchéance (TRE) est un taux d'intérêt telle la valeur actuelle des coupons et la valeur nominale de lobligation égale le prix actuel du marché. Le taux de rendement à léchéance (TRE) est un taux d'intérêt telle la valeur actuelle des coupons et la valeur nominale de lobligation égale le prix actuel du marché. On utilise souvent le terme taux de rendement comme dans «Le taux de rendement dune obligation de 10 ans est de 5%.» On utilise souvent le terme taux de rendement comme dans «Le taux de rendement dune obligation de 10 ans est de 5%.» Important: Le TRE est coté en tant que taux dintérêt annuel Important: Le TRE est coté en tant que taux dintérêt annuel Le prix et le rendement dune obligation évoluent en sens inverse

8 Albert Lee Chun Portfolio Management 7 Supposons quune obligation paie un coupon annuel: Valeur actualis é e = VA de C (coupon) + VA de F (la valeur nominale) = VA de lannuité + VA de F (la valeur nominale) = VA de lannuité + VA de F (la valeur nominale) F = la valeur nominale C = montant du coupon annuel = F × taux de coupon r = taux de rendement à l é ch é ance t = période de temps avant léchéance Équation pour une obligation

9 Albert Lee Chun Portfolio Management 8 Équation pour une obligation Pour une obligation qui paye des coupons semi-annuels (2 fois par an) F = la valeur nominale C = montant du coupon annuel = F × taux de coupon r = taux de rendement à l é ch é ance t = période de temps avant léchéance

10 Albert Lee Chun Portfolio Management 9 Plus généralement, pour une obligation qui paie m coupons par année F = la valeur nominale C = montant du coupon annuel = F × taux de coupon m = nombre de coupons par ann é e r = taux de rendement à l é ch é ance t = période de temps avant léchéance Équation pour une obligation

11 Albert Lee Chun Portfolio Management 10 Détails dobligation Le taux de coupon, la valeur nominale (ou valeur au pair) et la date d'échéance sont tous déterminés par l'émetteur (société ou gouvernement). Le taux de coupon, la valeur nominale (ou valeur au pair) et la date d'échéance sont tous déterminés par l'émetteur (société ou gouvernement). «T-Bills» - Un an et moins, pas de coupons «T-Notes» - Entre 2 et 10 ans; coupons. «T-Bonds» - plus de 10 ans; coupons. «T-Bills» - Un an et moins, pas de coupons «T-Notes» - Entre 2 et 10 ans; coupons. «T-Bonds» - plus de 10 ans; coupons.

12 Albert Lee Chun Portfolio Management 11 Exemple dobligation Exemple simple: Eggberts Egg Co. a émis une obligation, la date déchéance étant dans 7 ans, et ayant un taux de rendement de 10 % annuel. La compagnie paie un taux de coupon de 40 $ tous les six mois pour sept ans, et un montant nominal de 1000 $ à la fin des sept ans. Exemple simple: Eggberts Egg Co. a émis une obligation, la date déchéance étant dans 7 ans, et ayant un taux de rendement de 10 % annuel. La compagnie paie un taux de coupon de 40 $ tous les six mois pour sept ans, et un montant nominal de 1000 $ à la fin des sept ans. La Compagnie Eggberts Egg

13 Albert Lee Chun Portfolio Management 12 Exemple : trouver la valeur dune obligation Eggbert's Egg Co. émet une obligation à coupon semestriel de 8% et une valeur nominale de 1000 $ qui vient à échéance dans 7 ans. Si nous supposons que le rendement à l'échéance est de 10%, quel est le prix de cette obligation? Eggbert's Egg Co. émet une obligation à coupon semestriel de 8% et une valeur nominale de 1000 $ qui vient à échéance dans 7 ans. Si nous supposons que le rendement à l'échéance est de 10%, quel est le prix de cette obligation? Le détenteur reçoit un paiement de 40 $ tous les six mois (pour un total de 80 $ par an ou 8% par an) Le détenteur reçoit un paiement de 40 $ tous les six mois (pour un total de 80 $ par an ou 8% par an)

14 Albert Lee Chun Portfolio Management 13 Obligation émise au pair Le prix dune obligation émise au pair est égal à sa valeur nominale (VN). Le prix dune obligation émise au pair est égal à sa valeur nominale (VN). Une obligation émise au pair à un taux de rendement à léchéance = taux de coupon. Une obligation émise au pair à un taux de rendement à léchéance = taux de coupon. Pourquoi? Prenons TRE = taux de coupon = r. VN = Pourquoi? Prenons TRE = taux de coupon = r. VN = Supposons quau temps t, P(t) = 1000(1+r). Au temps t-1, la valeur de lobligation est : =1000(1+r)/(1+r) =1000(1+r)/(1+r) =1000 =1000 Par induction, dans la mesure où cela est vrai au moment T-1, ceci est vrai pour tous les t. Ainsi, quand TRE = taux coupon, VA = Par induction, dans la mesure où cela est vrai au moment T-1, ceci est vrai pour tous les t. Ainsi, quand TRE = taux coupon, VA = La majorité des obligations sont émises au pair, avec le taux de coupon fixé au taux du marché. La majorité des obligations sont émises au pair, avec le taux de coupon fixé au taux du marché.

15 Albert Lee Chun Portfolio Management 14 Exemple : trouver la valeur dune obligation au pair Supposons que vous avez une obligation qui a un taux de coupon de 10% et une valeur nominale de 100 $. Avec une échéance de 10 ans et un rendement à l'échéance de 10%. Quel est le prix de cette obligation ? Supposons que vous avez une obligation qui a un taux de coupon de 10% et une valeur nominale de 100 $. Avec une échéance de 10 ans et un rendement à l'échéance de 10%. Quel est le prix de cette obligation ? En utilisant la formule: P = VP dune annuité + VP de VN P = 5[1 – 1/(1.05) 20 ] / / (1.05) 20 P = Prix = VN=100. Cest une obligation au pair.

16 Albert Lee Chun Portfolio Management 15 Exemple : Taux de rendement à léchéance Lobligation de Eggberts Egg Co. se transige présentement à 1,200$. La date déchéance est de quatre ans avec un taux de coupon annuel de 14%. Quel est le taux de rendement à léchéance? Lobligation de Eggberts Egg Co. se transige présentement à 1,200$. La date déchéance est de quatre ans avec un taux de coupon annuel de 14%. Quel est le taux de rendement à léchéance? Léquation à résoudre est: Léquation à résoudre est: En utilisant le solveur dExcel, nous obtenons TRE = 2 x r = 7.96%.

17 Albert Lee Chun Portfolio Management 16 Structure à terme des taux dintérêt

18 Albert Lee Chun Portfolio Management 17 La terre nest pas plate Dans les cours précédents, nous avons posé lhypothèse simple que le taux utilisé pour actualiser tous les paiements était le même, peu importe léchéance. En supposant que le rendement à l'échéance est le même pour toutes les obligations. En supposant que le rendement à l'échéance est le même pour toutes les obligations. En réalité, les obligations qui ont différentes échéances auront des rendements à l'échéance différents. La courbe des taux nest pas plate.

19 Albert Lee Chun Portfolio Management 18 Structure à terme des taux dintérêt La structure à terme des taux d'intérêt nous donne la relation entre léchéance et le rendement à l'échéance d'une obligation. La structure à terme des taux d'intérêt nous donne la relation entre léchéance et le rendement à l'échéance d'une obligation. La courbe des taux est une représentation graphique de la structure des taux. La courbe des taux est une représentation graphique de la structure des taux. Normale –une pente vers le haut, les rendements à long terme sont plus élevés que ceux à court terme. Inversée - une pente vers le bas, les rendements à long terme sont inférieurs aux rendements à court terme.

20 Albert Lee Chun Portfolio Management 19 Courbe des taux Canadiens novembre 2002

21 Albert Lee Chun Portfolio Management 20 Courbe des taux Canadiens mai 2006

22 Albert Lee Chun Portfolio Management 21 Le risque des taux dintérêt et la courbe de taux La banque centrale des EU fixe le taux dintérêt à court terme – le fed fund rate. Les taux dintérêt à long terme sont fonction des taux dintérêt à court terme anticipés, en plus, il existe une prime de risque liée à l'incertitude quant aux forces sous-jacentes de l'économie, telles que le taux de croissance de l'économie, l'inflation, etc. Président de la Fed : Ben Bernanke

23 Albert Lee Chun Portfolio Management 22 Les liens à la Macro économie La banque centrale va répondre aux forces macro- économiques en fixant les taux d'intérêt. La banque centrale va répondre aux forces macro- économiques en fixant les taux d'intérêt. Ainsi, la courbe des rendements intègre de l'information sur les conditions macro-économiques actuelles et futures. Ainsi, la courbe des rendements intègre de l'information sur les conditions macro-économiques actuelles et futures. Elle peut donc servir de baromètre de léconomie Elle peut donc servir de baromètre de léconomie La courbe des taux dintérêt «inversés» est un indicateur avancé de récession. La courbe des taux dintérêt «inversés» est un indicateur avancé de récession.

24 Albert Lee Chun Portfolio Management 23 La sensibilité des prix aux variations de taux

25 Albert Lee Chun Portfolio Management 24 Risque de taux dintérêt Le risque de taux dintérêt Au fur et à mesure que léchéance Le risque de taux dintérêt Au fur et à mesure que le Taux de coupon Le risque de taux dintérêt Au fur et à mesure que le Taux de rendement à léchéance

26 Albert Lee Chun Portfolio Management 25 Risque de taux dintérêt et échéance Les obligations ayant une échéance plus longue sont plus sensibles au changement des taux que les obligations ayant une échéance plus courte. Le risque de taux d'intérêt est donc plus grand pour les obligations ayant une échéance plus longue.

27 Albert Lee Chun Portfolio Management 26 Intuition Nous pouvons voir que la pente de la courbe «prix rendement » (qui est fonction du taux d'intérêt) est beaucoup plus raide pour les obligations déchéance de 30 ans que pour les obligations déchéance dun an. Nous pouvons voir que la pente de la courbe «prix rendement » (qui est fonction du taux d'intérêt) est beaucoup plus raide pour les obligations déchéance de 30 ans que pour les obligations déchéance dun an. Plus la courbe de «prix rendement» est raide, plus lobligation devient sensible aux variations des taux d'intérêt. Plus la courbe de «prix rendement» est raide, plus lobligation devient sensible aux variations des taux d'intérêt. Une grande partie de la valeur actuelle dune obligation est attribuable à sa valeur nominale. Une grande partie de la valeur actuelle dune obligation est attribuable à sa valeur nominale. Plus léchéance de l'obligation est longue, plus tard la valeur nominale de lobligation sera reçue, ce qui la rend plus sensible au changement des taux d'intérêt. Plus léchéance de l'obligation est longue, plus tard la valeur nominale de lobligation sera reçue, ce qui la rend plus sensible au changement des taux d'intérêt.

28 Albert Lee Chun Portfolio Management 27 Intuition Pourquoi ? Car même une petite variation des taux d'intérêt peut avoir un effet important sils sont composés sur une plus longue période. Pourquoi ? Car même une petite variation des taux d'intérêt peut avoir un effet important sils sont composés sur une plus longue période. En voici un exemple : En voici un exemple : Obligation 20 ans : Prix = 1000x(1+r) -20 Obligation 10 ans : Prix = 1000x(1+r) ans20 ans 7% % % Variation

29 Albert Lee Chun Portfolio Management 28 Risque de taux dintérêt et le taux de coupons Risque de taux dintérêt et le taux de coupons Les obligations qui ont un taux de coupons élevé sont moins sensibles aux variations de taux. Le risque de taux dintérêt est inversement relié à la valeur du taux de coupon. Les obligations qui ont un taux de coupons élevé sont moins sensibles aux variations de taux. Le risque de taux dintérêt est inversement relié à la valeur du taux de coupon. Pourquoi? La valeur nominale joue un rôle moins important. La portion de valeur nominale actualisée dans la valeur totale actualisée est beaucoup moins élevée. Pourquoi? La valeur nominale joue un rôle moins important. La portion de valeur nominale actualisée dans la valeur totale actualisée est beaucoup moins élevée. Une obligation à coupons élevés diminue l'échéance moyenne des paiements de coupons, et donc, diminue la sensibilité de lobligation à sa valeur nominale. Une obligation à coupons élevés diminue l'échéance moyenne des paiements de coupons, et donc, diminue la sensibilité de lobligation à sa valeur nominale.

30 Albert Lee Chun Portfolio Management 29 Taux de coupon et la sensibilité Les obligations zéro coupon sont plus sensibles aux changements de taux dintérêt. La sensibilité augmente avec l'échéance

31 Albert Lee Chun Portfolio Management 30 La courbe de «prix rendement» ABCDABCD Changement du taux de rendement à léchéance (%) Pourcentage de variation du prix de lobligation ObligCouponÉchéance TRE initial A12% 5 ans 10% B12% 30 ans 10% C3% 10% D3% 6%

32 Albert Lee Chun Portfolio Management 31 Sensibilité des prix Quand léchéance augmente de A à B, lobligation devient plus sensible. Quand léchéance augmente de A à B, lobligation devient plus sensible. Quand le taux de coupon diminue de B à C. lobligation devient plus sensible. Quand le taux de coupon diminue de B à C. lobligation devient plus sensible. Quand le taux de rendement à léchéance diminue de C à D, lobligation devient plus sensible (pour des obligations a coupons). Quand le taux de rendement à léchéance diminue de C à D, lobligation devient plus sensible (pour des obligations a coupons). Quand les taux sont bas, les payements plus éloignés ont une valeur actualisée plus grande et représentent une plus grande portion de la valeur totale de lobligation. Quand les taux sont bas, les payements plus éloignés ont une valeur actualisée plus grande et représentent une plus grande portion de la valeur totale de lobligation.

33 Albert Lee Chun Portfolio Management 32 Stratégies de négociation Supposons que nous nous attendons à ce que la Réserve fédérale abaisse les taux d'intérêt lors de la prochaine réunion «FOMC». Vous cherchez à construire un portefeuille d'obligations qui maximise la valeur de votre portefeuille. Voulez-vous construire un portefeuille avec : Supposons que nous nous attendons à ce que la Réserve fédérale abaisse les taux d'intérêt lors de la prochaine réunion «FOMC». Vous cherchez à construire un portefeuille d'obligations qui maximise la valeur de votre portefeuille. Voulez-vous construire un portefeuille avec : A. Une sensibilité maximale aux taux dintérêt? A. Une sensibilité maximale aux taux dintérêt? B. Une sensibilité minimale aux taux dintérêt? B. Une sensibilité minimale aux taux dintérêt? Réponse : A. Vous cherchez à construire un portefeuille qui permettra de maximiser lappréciation du prix à un changement négatif dans les taux d'intérêt. Et donc, un portefeuille avec une sensibilité aux taux dintérêt élevée.

34 Albert Lee Chun Portfolio Management 33 Stratégies de négociation Comment pouvons-nous construire un portefeuille qui est plus sensible aux variations des taux dintérêt? Comment pouvons-nous construire un portefeuille qui est plus sensible aux variations des taux dintérêt? Nous savons que nous voulons choisir : - Un portefeuille dobligation à longue échéance plutôt quun portefeuille de courte échéance. - Un portefeuille dobligation à coupons bas plutôt quun portefeuille à coupons élevés. - Un portefeuille dobligation à coupons bas plutôt quun portefeuille à coupons élevés. En dautres mots, idéalement nous voudrions détenir un portefeuille dobligation zéro coupons à longue échéance! En dautres mots, idéalement nous voudrions détenir un portefeuille dobligation zéro coupons à longue échéance!

35 Albert Lee Chun Portfolio Management 34 Stratégies de négociation Supposons que nous voulons obtenir un portefeuille d'obligations, mais que nous pensons que les taux d'intérêt sont sur le point d'augmenter. Que devons- nous faire? Supposons que nous voulons obtenir un portefeuille d'obligations, mais que nous pensons que les taux d'intérêt sont sur le point d'augmenter. Que devons- nous faire? Nous voulons tenir un portefeuille avec un minimum de sensibilité aux taux d'intérêt. Nous voulons tenir un portefeuille avec un minimum de sensibilité aux taux d'intérêt. Obligations de courte échéance avec des coupons élevés. Obligations de courte échéance avec des coupons élevés.

36 Albert Lee Chun Portfolio Management 35 La durée

37 Albert Lee Chun Portfolio Management 36 Léquation de la durée Développé par Frederick R. Macaulay t = le temps auquel le paiement du coupon ou de la valeur nominale seffectue t = le temps auquel le paiement du coupon ou de la valeur nominale seffectue C t = montant du coupon ou de la valeur nominale payé au temps t r = taux de rendement à léchéance de lobligation

38 Albert Lee Chun Portfolio Management 37 Caractéristique de la Durée de Macaulay La durée dune obligation zéro coupon est égal à son échéance La durée dune obligation zéro coupon est égal à son échéance La durée d'une obligation avec des coupons est toujours inférieure à son échéance parce que la durée prend en compte les paiements intermédiaires La durée d'une obligation avec des coupons est toujours inférieure à son échéance parce que la durée prend en compte les paiements intermédiaires Il existe une relation inverse entre la durée et la taille du coupon. Il existe une relation inverse entre la durée et la taille du coupon. Il existe une corrélation positive entre l'échéance de lobligation et la durée, mais la durée augmente à un taux décroissant avec léchéance. Il existe une corrélation positive entre l'échéance de lobligation et la durée, mais la durée augmente à un taux décroissant avec léchéance. Il existe une relation inverse entre le TRE et la durée. Il existe une relation inverse entre le TRE et la durée.

39 Albert Lee Chun Portfolio Management 38 Prix dune obligation avec intérêt composé continuellement est le prix du i ieme flux monétaire au temps, avec le taux de rendement à léchéance Composé continuellement Composé semi annuellement À noter: ceci nest pas utilisé en pratique, mais plutôt pour des modèles académiques et pour clarifier la notion de durée.

40 Albert Lee Chun Portfolio Management 39 Composition continue Si nous composons de plus en plus régulièrement… À toutes les minutes, secondes, millisecondes… À la limite, nous retrouvons la composition continue… Posant x = TRE et en prenant linverse, cest-à- dire exp(-x), nous avons notre taux descompte annuel composé continuellement.

41 Albert Lee Chun Portfolio Management 40 Prix dune obligation Composé continuellement En général où Le prix dune obligation avec n coupons.

42 Albert Lee Chun Portfolio Management 41 La durée est léchéance moyenne pondérée par la valeur actualisée des flux monétaires dune obligation. À noter que pour des taux composés continuellement nous avons : La durée (composé continuellement) é Ou C t est le flux monétaire aux temps t et r le taux de rendement à léchéance Flux monétaire multiplié par t pondérée par la valeur présente des flux monétaires.

43 Albert Lee Chun Portfolio Management 42 Plus généralement étant le prix, du i ieme flux monétaire au temps et est le taux de rendement à léchéance Dans le cas dun titre à revenu fixe avec un taux composé continuellement et n flux monétaire C i au temps t i, nous avons :

44 Albert Lee Chun Portfolio Management 43 Sensibilité du prix aux taux Dérivez le prix par rapport au taux de rendement à léchéance. Étant donné les taux composés continuellement, la durée est le pourcentage de variation (négative) du prix par rapport à une variation de taux.

45 Albert Lee Chun Portfolio Management 44 Durée modifiée Pour des taux composés m fois par année, une mesure ajustée de la durée peut être utilisée pour estimer le pourcentage de variation du prix face à une variation de taux :

46 Albert Lee Chun Portfolio Management 45 Durée modifiée

47 Albert Lee Chun Portfolio Management 46 La durée modifiée et la volatilité des obligations Le changement des prix des obligations varie proportionnellement à la durée modifiée pour de petits changements de taux Une approximation du pourcentage de changement du prix dune obligation est le changement de taux multiplié par la durée modifiée. P = changement du prix de lobligation P = prix initial de lobligation D mod = la durée modifiée de lobligation y = changement du taux

48 Albert Lee Chun Portfolio Management 47 Un petit test de votre intuition (encore) : Supposons que vous travaillez pour Eggbert Kapital et que vous gérez le portefeuille d'obligations. Vous vous attendez à une diminution considérable des taux d'intérêt. Devriez-vous investir dans des obligations à long terme avec de faibles coupons, ou dans des obligations à faible échéance et à hauts coupons? Obligations avec une durée élevée ou faible? Supposons que vous travaillez pour Eggbert Kapital et que vous gérez le portefeuille d'obligations. Vous vous attendez à une diminution considérable des taux d'intérêt. Devriez-vous investir dans des obligations à long terme avec de faibles coupons, ou dans des obligations à faible échéance et à hauts coupons? Obligations avec une durée élevée ou faible? Réponse: Vous devriez investir dans des obligations où les prix vont augmenter le plus lorsque les taux d'intérêt diminuent. De cette manière, vous allez choisir des obligations avec une longue échéance et un faible taux de coupon. Vous voulez choisir des obligations avec la plus grande durée! Réponse: Vous devriez investir dans des obligations où les prix vont augmenter le plus lorsque les taux d'intérêt diminuent. De cette manière, vous allez choisir des obligations avec une longue échéance et un faible taux de coupon. Vous voulez choisir des obligations avec la plus grande durée!

49 Albert Lee Chun Portfolio Management 48 Interprétation de la durée Durée de lobligation = 5.97 ans Bleue: valeur présente de chaque flux monétaire. Point déquilibre 8-ans, taux de coupon de 9%

50 Albert Lee Chun Portfolio Management 49 Durée dune obligation en année selon différentes échéances TRE=6%

51 Albert Lee Chun Portfolio Management 50 Durée dune obligation vs l'échéance 15-50

52 Albert Lee Chun Portfolio Management 51 Durée modifiée Ceci est la dérivée première par rapport au taux. Pour de petits changements, la durée va nous donner une bonne estimation, mais la durée est une estimation linéaire de la tangente en ce point.

53 Albert Lee Chun Portfolio Management 52 Exemple La compagnie Eggberts Egg émet une obligation de 3 ans avec un taux de coupon de 8%. Le rendement à léchéance est de 8% et lobligation paye des coupons semi-annuels. La compagnie Eggberts Egg émet une obligation de 3 ans avec un taux de coupon de 8%. Le rendement à léchéance est de 8% et lobligation paye des coupons semi-annuels. Quelle est la durée de Macaulay ? Quelle est la durée modifiée? Quelle est la durée de Macaulay ? Quelle est la durée modifiée? (Voir le fichier Excel) (Voir le fichier Excel)

54 Albert Lee Chun Portfolio Management 53 Exemple AnnéePaiementVAPoidsAnnée*Poids Prix D = and Dm = 2.621

55 Albert Lee Chun Portfolio Management 54 Les formules raccourcies Durée de Macaulay formule «raccourcies» Durée modifiée formule «raccourcies» ou c = taux de coupons par période y = taux par période y = taux par période T = nombre de périodes restantes T = nombre de périodes restantes Coupons semi-annuels

56 Albert Lee Chun Portfolio Management 55 Courbe du prix et du TRE Prix TRE

57 Albert Lee Chun Portfolio Management 56 La durée nous donne une approximation de premier ordre de la courbe du prix et du TRE. Nous estimons ici la courbe avec une ligne droite Approximation de premier ordre Erreur dapproximation Prix TRE

58 Albert Lee Chun Portfolio Management 57 Convexité

59 Albert Lee Chun Portfolio Management 58 Convexité La convexité est une mesure de la non-linéarité de la courbe prix rendement. Elle est la dérivée seconde du prix par rapport au taux (d 2 P/dy 2 ) divisé par le prix. La convexité représente le pourcentage de variation de dP/dy pour un changement de taux

60 Albert Lee Chun Portfolio Management 59 Nous pouvons mieux estimer une courbe si lon utilise une fonction quadratique. Correction pour la convexité Coupons semi- annuels

61 Albert Lee Chun Portfolio Management 60 La durée sajoute à la convexité La série de Taylor pour une fonction P autour de y est donné par : La série de Taylor pour une fonction P autour de y est donné par : P(y+Δy) = P(y) + P(y) Δy + ½ P(y) (Δy) Et donc, une approximation de second ordre : Et donc, une approximation de second ordre : P(y+Δy) - P(y) P(y) Δy + ½ P(y) (Δy) 2 P(y+Δy) - P(y) P(y) Δy + ½ P(y) (Δy) 2 Ainsi, Ainsi, ΔP - Dm P Δy + ½ P C (Δy) 2

62 Albert Lee Chun Portfolio Management 61 La durée sajoute à la convexité Ainsi, pour un petit changement dans le taux Δy, la durée modifiée et la convexité donnent lapproximation de second ordre de la courbe prix rendement. Ainsi, pour un petit changement dans le taux Δy, la durée modifiée et la convexité donnent lapproximation de second ordre de la courbe prix rendement. ΔP - Dm P Δy + ½ P C (Δy) 2 Le changement de prix expliqué par la durée Le changement de prix expliqué par la durée - Dm P Δy Le changement de prix expliqué par la convexité Le changement de prix expliqué par la convexité ½ P C (Δy) 2

63 Albert Lee Chun Portfolio Management 62 La convexité des obligations 0 Variations du TRE (%) Pourcentage de variation du prix Portefeuille Durée + Convexité Durée

64 Albert Lee Chun Portfolio Management 63 Les effets de la durée et de la convexité Les effets de la durée et de la convexité La variation du prix dune obligation causée par la variation des taux sexplique par: La variation du prix dune obligation causée par la variation des taux sexplique par: La durée modifiée de lobligation La convexité de lobligation Limpact marginal de chacun de ces deux facteurs dépend des caractéristiques des obligations et de la taille du mouvement de taux. Limpact marginal de chacun de ces deux facteurs dépend des caractéristiques des obligations et de la taille du mouvement de taux. Les investisseurs aiment la convexité! Les investisseurs aiment la convexité!

65 Albert Lee Chun Portfolio Management 64 Immunisation de portefeuille

66 Albert Lee Chun Portfolio Management 65 Deux scénarios Scénario 1: Vous voulez économiser de l'argent pour une dépense importante dans un an à partir de maintenant. Scénario 1: Vous voulez économiser de l'argent pour une dépense importante dans un an à partir de maintenant. Scénario 2: Vous voulez économiser de l'argent pour payer les frais de scolarité de votre enfant dans 20 ans à compter de maintenant. Scénario 2: Vous voulez économiser de l'argent pour payer les frais de scolarité de votre enfant dans 20 ans à compter de maintenant. Étant donné le scénario 1: Si vous investissez dans des bons du Trésor dun an, il y a très peu de risques. Investir dans des bons du Trésor de 20 ans vous expose à des risques de taux d'intérêt. Étant donné le scénario 1: Si vous investissez dans des bons du Trésor dun an, il y a très peu de risques. Investir dans des bons du Trésor de 20 ans vous expose à des risques de taux d'intérêt. Étant donné le scénario 2 : Détenir des bons du Trésor de 20 ans sous-entend des résultats prévisibles, en investissant des bons du Trésor dun an créerait du risque de réinvestissement. Étant donné le scénario 2 : Détenir des bons du Trésor de 20 ans sous-entend des résultats prévisibles, en investissant des bons du Trésor dun an créerait du risque de réinvestissement.

67 Albert Lee Chun Portfolio Management 66 Protection contre le risque de taux dintérêt Les caisses de retraite, les compagnies dassurance et les institutions financières détiennent des milliards de dollars de titres à revenues fixes. Les caisses de retraite, les compagnies dassurance et les institutions financières détiennent des milliards de dollars de titres à revenues fixes. Une des techniques analytiques les plus rependues au monde est celle de limmunisation, car elle protège un portefeuille dobligations contre les variations de taux dintérêt. Une des techniques analytiques les plus rependues au monde est celle de limmunisation, car elle protège un portefeuille dobligations contre les variations de taux dintérêt. Cela est d'une grande valeur pratique donc apprenons comment structurer un portefeuille afin de limmuniser contre le risque de taux d'intérêt! Cela est d'une grande valeur pratique donc apprenons comment structurer un portefeuille afin de limmuniser contre le risque de taux d'intérêt!

68 Albert Lee Chun Portfolio Management 67 Compagnie dassurance vie Supposons que vous travaillez pour une compagnie d'assurance vie, et vous vous attendez à faire une série de paiements en espèces. Supposons que vous travaillez pour une compagnie d'assurance vie, et vous vous attendez à faire une série de paiements en espèces. Une chose que vous pouvez faire est d'acheter des obligations à zéro coupon, ayant différentes échéances afin que la valeur nominale corresponde exactement à chaque obligation. Une chose que vous pouvez faire est d'acheter des obligations à zéro coupon, ayant différentes échéances afin que la valeur nominale corresponde exactement à chaque obligation. Ceci nest pas nécessairement la meilleure option, car les obligations des sociétés offrent un taux plus élevé et les obligations zéro-coupon sont rares. Ceci nest pas nécessairement la meilleure option, car les obligations des sociétés offrent un taux plus élevé et les obligations zéro-coupon sont rares.

69 Albert Lee Chun Portfolio Management 68 Appariement des durées Égaliser la durée du portefeuille avec celle de vos obligations. Égaliser la durée du portefeuille avec celle de vos obligations. Intuition: Si la durée de votre portefeuille d'obligations correspond à la durée de vos obligations, la valeur actualisée de votre portefeuille d'obligations et de vos obligations devrait varier (une approximation première ordre) de la même manière face à la variation de taux. Intuition: Si la durée de votre portefeuille d'obligations correspond à la durée de vos obligations, la valeur actualisée de votre portefeuille d'obligations et de vos obligations devrait varier (une approximation première ordre) de la même manière face à la variation de taux. Plus précisément, si les rendements diminuent, la valeur actualisée de vos obligations augmente, mais la valeur de votre portefeuille d'obligations augmente (environ) du même montant - donc la valeur de votre portefeuille sera suffisante pour couvrir l'obligation! Plus précisément, si les rendements diminuent, la valeur actualisée de vos obligations augmente, mais la valeur de votre portefeuille d'obligations augmente (environ) du même montant - donc la valeur de votre portefeuille sera suffisante pour couvrir l'obligation!

70 Albert Lee Chun Portfolio Management 69 Durée dun portefeuille Si le portefeuille a un prix VA : Si le portefeuille a un prix VA : VA = V1 + V2 + V Vm VA = V1 + V2 + V Vm D = w1D1 + w2D wmDm D = w1D1 + w2D wmDm ou wi = Vi/ VA dans un portefeuille de m obligations. Vi est la valeur de lobligation i dans le portefeuille. ou wi = Vi/ VA dans un portefeuille de m obligations. Vi est la valeur de lobligation i dans le portefeuille.

71 Albert Lee Chun Portfolio Management 70 Exemple Supposons que la compagnie Eggbert's Egg doit acheter une nouvelle usine de chocolat dans 10 ans. Le coût de l'usine est de 1 million de dollars et elle souhaite investir cet argent maintenant. Supposons que la compagnie Eggbert's Egg doit acheter une nouvelle usine de chocolat dans 10 ans. Le coût de l'usine est de 1 million de dollars et elle souhaite investir cet argent maintenant. Supposons quaucune obligation zéro coupon ne soit disponible pour cette échéance. Supposons plutôt que nous devons choisir entre trois obligations de société (VN=100) : Supposons quaucune obligation zéro coupon ne soit disponible pour cette échéance. Supposons plutôt que nous devons choisir entre trois obligations de société (VN=100) : Coupon Échéance Prix Taux Coupon Échéance Prix Taux 1 6% % 1 6% % 211% % 3 9% %

72 Albert Lee Chun Portfolio Management 71 Exemple Coupon Échéance Prix Taux (%) La durée de chaque obligation (voir le fichier Excel): D1 = D2 = 6.54 D2 = 6.54 D3 = 9.61 D3 = 9.61 Pouvez-vous utiliser les obligations 2 et 3 pour construire votre portefeuille ? Non, cest impossible dobtenir une durée pondérée de 10 ans.

73 Albert Lee Chun Portfolio Management 72 Exemple Durée de chaque obligation : D1 = D2 = 6.54 D2 = 6.54 D3 = 9.61 D3 = 9.61 Puisque lobligation 1 a une durée plus grande que 10, nous devons lutiliser dans ce portefeuille. Utilisons les obligations 1 et 2 (voir Excel)

74 Albert Lee Chun Portfolio Management 73 Exemple La valeur actualisée de lobligation est : 414, $ La valeur actualisée de lobligation est : 414, $ La durée de la lobligation est de 10 ans. La durée de la lobligation est de 10 ans. Pour immuniser le portefeuille, nous avons besoin Pour immuniser le portefeuille, nous avons besoin 1. Égaliser la valeur actualisée du portefeuille avec la valeur actualisée de lobligation. 2. Égaliser la durée du portefeuille avec la durée de lobligation. 2. Égaliser la durée du portefeuille avec la durée de lobligation.

75 Albert Lee Chun Portfolio Management 74 Exemple La valeur totale investie dans lobligation 1 et 2 doit être égale à VA de lobligation La valeur totale investie dans lobligation 1 et 2 doit être égale à VA de lobligation V1 + V2 = VA = 414, $ Et la durée du portefeuille dobligation doit être égale à la durée de lobligation Et la durée du portefeuille dobligation doit être égale à la durée de lobligation V1/VA * D1 + V2/VA * D2 = 10 V1/VA * D1 + V2/VA * D2 = 10 Nous obtenons : Nous obtenons : V1/VA * D1 + (VA – V1) /VA* D2 = 10 V1/VA * D1 + (VA – V1) /VA* D2 = 10 => Une équation a 1 inconnu.

76 Albert Lee Chun Portfolio Management 75 Exemple De la feuille Excel : V1 = V2 = Nous voulons acheter V1/P1 = parts de lobligation 1 V2/P2 = parts de lobligation 2 Bien sûr, en pratique, nous allons devoir arrondir ces nombres.

77 Albert Lee Chun Portfolio Management 76 Exemple Supposons quil y a soudainement une variation dans la courbe des taux de 8% ou 10%. Supposons quil y a soudainement une variation dans la courbe des taux de 8% ou 10%. La valeur du portefeuille dobligation est : La valeur du portefeuille dobligation est : Portefeuille Obligation Erreur 8% % % % La convexité impose le fait que le portefeuille vaudra toujours plus que lobligation.

78 Albert Lee Chun Portfolio Management 77 Devoirs Essayez de répliquer lexemple précédent sans regarder la feuille dExcel. Essayez de répliquer lexemple précédent sans regarder la feuille dExcel. Si vous regardez les réponses de la feuille dExcel, vous allez croire que cest vraiment facile. Si vous regardez les réponses de la feuille dExcel, vous allez croire que cest vraiment facile. Essayez de partir de zéro. Essayez de partir de zéro. Répliquez le problème dimmunisation en utilisant que les obligations 1 et 3. Répliquez le problème dimmunisation en utilisant que les obligations 1 et 3.

79 Albert Lee Chun Portfolio Management 78 Stratégie de courbe des taux Strategie «Bullet» : léchéance est fortement concentrée en une région de la courbe des taux. Strategie «Bullet» : léchéance est fortement concentrée en une région de la courbe des taux. Strategie «Barbell» : les échéances sont fortement concentrées en deux régions extrêmes de la courbe des taux. Strategie «Barbell» : les échéances sont fortement concentrées en deux régions extrêmes de la courbe des taux. Stratégie de «léchelle» : les échéances sont reparties sur des intervalles réguliers sur la courbe des taux. Stratégie de «léchelle» : les échéances sont reparties sur des intervalles réguliers sur la courbe des taux.

80 Albert Lee Chun Portfolio Management 79 Stratégie de courbe des taux Oblig CouponéchéancePrixTREDURÉE_Convexité A B C Portefeuille Bullet :100% oblig C Portefeuille Barbell :50.2% oblig A et 49.8% oblig B

81 Albert Lee Chun Portfolio Management 80 Stratégie de courbe des taux Durée du Bullet: Durée du Barbell: Convexité du Bullet: Convexité du Barbell: TRE du Bullet: TRE du Barbell: Ceci est le rendement de convexité On abandonne du rendement pour plus de convexité

82 Albert Lee Chun Portfolio Management 81 Barbell vs. Bullet Le choix dune stratégie dépend de lampleur des variations dans les taux. Le choix dune stratégie dépend de lampleur des variations dans les taux. Bien que la convexité soit préférée, il y a un désavantage d'un rendement de convexité, quand le marché demande un prix plus élevé et offre un rendement inférieur. Bien que la convexité soit préférée, il y a un désavantage d'un rendement de convexité, quand le marché demande un prix plus élevé et offre un rendement inférieur. Ainsi, les bienfaits de la convexité sont réalisés uniquement pour de grands changements de taux. Ainsi, les bienfaits de la convexité sont réalisés uniquement pour de grands changements de taux. Voir larticle dans le codex pour plus de détails. Voir larticle dans le codex pour plus de détails.


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