La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

0 Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Introduction à la théorie moderne de portefeuille Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "0 Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Introduction à la théorie moderne de portefeuille Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie."— Transcription de la présentation:

1 0 Gestion de portefeuille Albert Lee Chun Introduction à la théorie moderne de portefeuille Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie moderne de portefeuille Séance 3 18 Sept 2008

2 1 Plan du cours Séances 1 et 2 : Lenvironnement institutionnel Séances 1 et 2 : Lenvironnement institutionnel Séances 3, 4 et 5 Construction de portefeuilles Séances 3, 4 et 5 Construction de portefeuilles Séances 6 et 7: Modèles d'évaluation des actifs financiers Séances 6 et 7: Modèles d'évaluation des actifs financiers Séance 8: Efficience de marché Séance 8: Efficience de marché Séance 9: Gestion active d'un portefeuille d'actions Séance 9: Gestion active d'un portefeuille d'actions Séance 10: Gestion de portefeuilles obligataires Séance 10: Gestion de portefeuilles obligataires Séance 11: Mesures de performances des portefeuilles Séance 11: Mesures de performances des portefeuilles

3 Albert Lee Chun Portfolio Management 2 Le risque en fonction du nombre dactions 7-2

4 Albert Lee Chun Portfolio Management 3 Diversification du portefeuille 7-3

5 Albert Lee Chun Portfolio Management 4 w 1 = proportion des fonds dans le titre 1 w 2 = proportion des fonds dans le titre 2 E(r 1 ) = rendement espéré du titre 1 E(r 2 ) = rendement espéré du titre 2 Rendement dun portefeuille de deux actifs 7-4

6 Albert Lee Chun Portfolio Management = variance du titre = variance du titre 2 Cov(r 1,r 2 ) = covariance entre le titre 1 et le titre 2 Risque dun portefeuille de deux actifs 7-5

7 Albert Lee Chun Portfolio Management 6 1,2 = Coefficient de corrélation 1 = Écart type des rendements du titre 1 2 = Écart type des rendements du titre 2 Covariance 7-6

8 Albert Lee Chun Portfolio Management 7 Ordre des valeurs pour 1, > > -1.0 Si = 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés positivement Si = - 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés négativement Coefficients de corrélation 7-7

9 Albert Lee Chun Portfolio Management 8 Un portefeuille de 3 actifs 7-8

10 Albert Lee Chun Portfolio Management 9 Généralement, pour un portefeuille de n titres: 7-9

11 Albert Lee Chun Portfolio Management 10 Statistiques de portefeuille

12 Albert Lee Chun Portfolio Management 11 Aujourdhui Fonctions dutilité et la courbe dindifférence Fonctions dutilité et la courbe dindifférence Portefeuille de variance minimale (PVM) Portefeuille de variance minimale (PVM) La droite de répartition de capital (CAL) La droite de répartition de capital (CAL) Portefeuille optimal Portefeuille optimal On va illustrer ces concepts dans un univers avec On va illustrer ces concepts dans un univers avec 1 titre risqué et 1 titre sans risque 2 titres risqués 2 titres risqués 2 titres risqués et 1 titre sans risque 2 titres risqués et 1 titre sans risque N titres risqués N titres risqués N titres risqués et 1 titre sans risque N titres risqués et 1 titre sans risque

13 Albert Lee Chun Portfolio Management 12 Fonctions dutilité

14 Albert Lee Chun Portfolio Management 13 Aversion au risque Si on a deux choix dactifs avec le même taux de rendement, les investisseurs qui ont une aversion au risque vont sélectionner lactif avec le niveau de risque le plus bas. Les investisseurs qui ont une aversion au risque veulent une compensation pour le risque. Les investisseurs qui ont une aversion au risque veulent une compensation pour le risque. Le rendement excédentaire dun actif risqué (i) est déterminé par Le rendement excédentaire dun actif risqué (i) est déterminé par la prime de risque = E(ri) – Rf.

15 Albert Lee Chun Portfolio Management 14 La prime de risque Exemple: W 2 = 80$ Profit = -20$ W 1 = 150$ Profit = 50$ p =.6 100$ Investissement risqué Bons du Trésor Profit = 5$ Rendement espéré: (50%)(.6) + (-20%)(.4) = 22% E(Ri) – Rf Prime de risque = E(Ri) – Rf = 22%-5% = 17% 1-p =.4

16 Albert Lee Chun Portfolio Management 15 Mesure des préférences de linvestisseur Une fonction dutilité représente le niveau de satisfaction de linvestisseur. Une fonction dutilité représente le niveau de satisfaction de linvestisseur. Plus lutilité est élevée, plus les investisseurs seront contents. Plus lutilité est élevée, plus les investisseurs seront contents. Par exemple, si lutilité de linvestisseur dépend seulement de la moyenne (soit = E(r)) et de la variance () des rendements, alors nous avons la fonction suivante: Par exemple, si lutilité de linvestisseur dépend seulement de la moyenne (soit µ= E(r)) et de la variance ( 2 ) des rendements, alors nous avons la fonction suivante: Lensemble des portefeuilles qui procure le même niveau dutilité pour un investisseur est défini par une courbe dindifférence. Lensemble des portefeuilles qui procure le même niveau dutilité pour un investisseur est défini par une courbe dindifférence. U = f ( µ, )

17 Albert Lee Chun Portfolio Management 16 Exemple: la courbe dindifférence U = 5 Linvestisseur est indifférent entre X et Y, aussi bien quà tous les points de la courbe. Tous les points de la courbe ont le même niveau dutilité (U=5). (Rp)

18 Albert Lee Chun Portfolio Management 17 Direction de lutilité croissante Rendement espéré Écart-type Direction de lutilité croissante U1U1 U2U2 U3U3 U3 > U2 > U1

19 Albert Lee Chun Portfolio Management 18 Deux investisseurs différents U3U3 U2U2 U1U1 U3U3 U2U2 U1U1 Rendement espéré Écart type Quel investisseur a la plus grande aversion au risque? U3 > U2 > U1

20 Albert Lee Chun Portfolio Management 19 Utilité quadratique Lutilité dun investisseur est une fonction quadratique seulement si la moyenne et la variance des rendements sont importantes pour linvestisseur. Lutilité dun investisseur est une fonction quadratique seulement si la moyenne et la variance des rendements sont importantes pour linvestisseur. A est constant, ce qui détermine le degré daversion au risque: il augmente avec laversion au risque de linvestisseur. (Remarquez que 1/2 est juste une constance normalisée) A est constant, ce qui détermine le degré daversion au risque: il augmente avec laversion au risque de linvestisseur. (Remarquez que 1/2 est juste une constance normalisée) Remarquez que A > 0, cela implique que les investisseurs naiment pas le risque. Plus la variance est élevée, plus lutilité est basse. Remarquez que A > 0, cela implique que les investisseurs naiment pas le risque. Plus la variance est élevée, plus lutilité est basse.

21 Albert Lee Chun Portfolio Management 20 Les courbes dindifférence Voici un exemple des points de lindifférence pour un investisseur avec une fonction dutilité quadratique. Remarquez quune plus haute variance est accompagnée dun plus haut taux de rendement pour compenser la nature de laversion au risque de linvestisseur.

22 Albert Lee Chun Portfolio Management 21 Léquivalent certain Certains taux de rendement sans risque offrent aux investisseurs le même niveau dutilité quun taux de rendement risqué. Certains taux de rendement sans risque offrent aux investisseurs le même niveau dutilité quun taux de rendement risqué. Linvestisseur est indifférent entre un rendement risqué et ses équivalents. Linvestisseur est indifférent entre un rendement risqué et ses équivalents. Exemple: Supposons quun investisseur a une utilité quadratique de A = 2. Un portefeuille risqué offre un E(R) égal à 22% et un écart type de 34%. Lutilité de cette fonction est: Exemple: Supposons quun investisseur a une utilité quadratique de A = 2. Un portefeuille risqué offre un E(R) égal à 22% et un écart type de 34%. Lutilité de cette fonction est: U = 22% - ½ × 2 × (34%)² = 10.44% U = 22% - ½ × 2 × (34%)² = 10.44% Léquivalent certain est égal à 10.44% parce que lutilité dobtenir un certain taux de rendement de 10.44% est: Léquivalent certain est égal à 10.44% parce que lutilité dobtenir un certain taux de rendement de 10.44% est: U = 10.44% - ½ × 2 × (0%)² = 10.44% U = 10.44% - ½ × 2 × (0%)² = 10.44% risqué sans risque

23 Albert Lee Chun Portfolio Management 22 Les courbes dindifférence de risque neutre E(R P ) P P U4U4 U4U4 U3U3 U3U3 U2U2 U2U2 U1U1 U1U1 Ça représente une attitude neutre envers le risque. Linvestisseur est indifférent entre les différents niveaux décart type. indifférent entre les différents niveaux décart type. Ça représente une attitude neutre envers le risque. Linvestisseur est indifférent entre les différents niveaux décart type. indifférent entre les différents niveaux décart type. U3 > U2 > U1 Direction de lutilité croissante

24 Albert Lee Chun Portfolio Management 23 La pente de la courbe dindifférence Une courbe dindifférence abrupte coïncide avec une forte aversion au risque. Une courbe dindifférence abrupte coïncide avec une forte aversion au risque. La pente de la courbe dindifférence correspond à la compensation nécessaire pour chaque unité de risque additionnel. La pente de la courbe dindifférence correspond à la compensation nécessaire pour chaque unité de risque additionnel. Cette compensation est mesurée en unités de rendement espéré pour chaque unité décart type. Cette compensation est mesurée en unités de rendement espéré pour chaque unité décart type. Une haute aversion au risque implique un haut degré de compensation pour prendre une unité de risque additionnelle et est représentée par une pente abrupte. Une haute aversion au risque implique un haut degré de compensation pour prendre une unité de risque additionnelle et est représentée par une pente abrupte.

25 Albert Lee Chun Portfolio Management 24 Les courbes dindifférence E(R P ) P P U4U4 U4U4 U3U3 U3U3 U2U2 U2U2 U1U1 U1U1 U3 > U2 > U1 Direction de lutilité croissante Plus un investisseur est averse au risque, plus fortes sont les pentes de ses courbes dindifférence.

26 Albert Lee Chun Portfolio Management 25 Deux différents investisseurs U3U3 U2U2 U1U1 U3U3 U2U2 U1U1 Rendement espéré Écart type Quel investisseur a une aversion au risque plus élevé? Plus averse au risque Moins averse au risque

27 Albert Lee Chun Portfolio Management 26 Dominance stochastique Dominance stochastique Préfère nimporte quel portefeuille de Z1 à X. Préfère X à nimporte quel portefeuille dans Z4. Les ordres entre les portefeuilles Z2 ou Z3 et X dépendent des préférences de linvestisseur σ X < σ p

28 Albert Lee Chun Portfolio Management 27 Imaginez un univers avec 1 titre sans risque et 1 titre risqué

29 Albert Lee Chun Portfolio Management 28 1 titre sans risque et 1 titre risqué La variance daction sans risque est 0, et la covariance entre un actif sans risque et un actif risqué est naturellement égale à 0. Supposons que nous construisons un portefeuille P ayant un actif sans risque f et un actif risqué A

30 Albert Lee Chun Portfolio Management 29 Un actif sans risque et un actif risqué Supposons W R =.75 E (r A ) = 15% r f = 7% A f E(r P ) = 13% P 0 P =16.5% A =22% E( r P ) =.25* *15=13% p =.75*.22 = 16.5%

31 Albert Lee Chun Portfolio Management 30 E (r A ) rfrf 0 A f P E(r P ) P A La droite de répartition de capital Pente de CAL Équation Intersection Capital Allocation Line (CAL)

32 Albert Lee Chun Portfolio Management 31 Choix dune répartition optimale Si linvestisseur a une utilité quadratique, quelle est la répartition optimale de portefeuille? Si linvestisseur a une utilité quadratique, quelle est la répartition optimale de portefeuille? Utilité: Rendement espéré et variance: Lobjectif de chaque investisseur est de maximiser son utilité. Comment fait-on?

33 Albert Lee Chun Portfolio Management 32 Normally a Bear Lives in a Cave, that is Concave, then to find the top of the cave (i.e. or to maximize a concave function), prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0. A concave function has a negative second derivative.

34 Albert Lee Chun Portfolio Management 33 However, if the Bear is Swimming in a Bowl, that is Convex, then to find the bottom of the bowl (i.e. or to minimize a convex function), prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0. A convex function has a positive second derivative.

35 Albert Lee Chun Portfolio Management 34 Maximiser lutilité de linvestisseur w* est lallocation optimale. Prenez les dérivées de U par rapport à w et mettez le tout égal à 0.

36 Albert Lee Chun Portfolio Management 35 Exemple 1 Supposons E(r A ) = 15%; (r A ) = 22% et r f = 7%. Pour un investisseur avec A = 4: w* = ( )/[4*(0.22)^2] w* = ( )/[4*(0.22)^2] = 0.41 < 1 Lallocation optimale est 41% de son capital dans le portefeuille risqué A et 59% dans lactif sans risque. Par conséquent: E(Rp) = 0.59*7%+0.41*15%=10.28% et (r p ) = 0.41*0.22=9.02%

37 Albert Lee Chun Portfolio Management 36 Exemple 2 Supposons E(r A ) = 15%; (r A ) = 22% et r f = 7%. Pour un investisseur avec A = 1, w* = ( )/[1*(0.22) 2 ] = 1.65 > 1 = 1.65 > 1 Cet investisseur voudra placer 165% de son capital dans A et il va emprunter 65% de son capital au taux sans risque de 7%, alors: E(R p ) = 1.65(0.15) (0.07)= 20.2% E(R p ) = 1.65(0.15) (0.07)= 20.2% (r p ) = 1.65*0.22= = 36.3% (r p ) = 1.65*0.22= = 36.3% U = – 0.5*1*( ) = U = – 0.5*1*( ) =

38 Albert Lee Chun Portfolio Management 37 Prêteur ou Emprunteur? A E(r) 7% Ex1: Prêteur Ex2: Emprunteur p = 22% Chaque investisseur se placera à un point différent sur la CAL. La proportion investie dans lactif risqué va dépendre de laversion au risque. w*> 1 nécessité demprunteur. Lallocation optimale est le point de tangence entre CAL et la fonction dutilité de linvestisseur.

39 Albert Lee Chun Portfolio Management 38 Différents taux demprunt Si le taux demprunt est plus élevé que le taux de placement, quest-ce qui se passe? Si le taux demprunt est plus élevé que le taux de placement, quest-ce qui se passe? E(r) 9% 7% A p = 22% w* = ( )/[1*(0.22)2] = 1, < 1.65

40 Albert Lee Chun Portfolio Management 39 Différents taux demprunt Supposons E(r A ) = 15%; (r A ) = 22% et le taux de placement est r p = 7%, mais le taux d`emprunt est r e = 9%. Pour un investisseur avec A = 1: Supposons E(r A ) = 15%; (r A ) = 22% et le taux de placement est r p = 7%, mais le taux d`emprunt est r e = 9%. Pour un investisseur avec A = 1: w* = ( )/[1*(0.22)2] = < 1.65 Cet investisseur voudra placer 124% de son capital dans le titre A. Il aura besoin demprunter 24% de son capital au taux demprunt de 9%. Le coût plus élevé de lemprunt force linvestisseur à diminuer la proportion qu'il alloue au titre risqué. Par conséquent: Cet investisseur voudra placer 124% de son capital dans le titre A. Il aura besoin demprunter 24% de son capital au taux demprunt de 9%. Le coût plus élevé de lemprunt force linvestisseur à diminuer la proportion qu'il alloue au titre risqué. Par conséquent: E(R p ) = 1.24(0.15) (0.09)= 16.44% E(R p ) = 1.24(0.15) (0.09)= 16.44% (r p ) = 1.24*0.22= 27.28% (r p ) = 1.24*0.22= 27.28% Plus le taux demprunt est élevé, plus son utilité diminue: Plus le taux demprunt est élevé, plus son utilité diminue: U = – 0.5*1*( ) =.1272 <.1361

41 Albert Lee Chun Portfolio Management 40 Imaginez un univers avec deux titres risqués

42 Albert Lee Chun Portfolio Management 41 Rendement espéré et écart type avec divers coefficients de corrélation 7-41

43 Albert Lee Chun Portfolio Management 42 Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions dinvestissement 7-42

44 Albert Lee Chun Portfolio Management 43 Portefeuille décart type en fonction des proportions dinvestissement 7-43

45 Albert Lee Chun Portfolio Management 44 En retournant à un portefeuille de deux titres et, ou Question: que se passe-t-il si nous utilisons plusieurs combinaisons, c.-à-d. si nous varions ? 7-44

46 Albert Lee Chun Portfolio Management 45 Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions décarts types 7-45

47 Albert Lee Chun Portfolio Management 46 Corrélation parfaite E(R) ρ DE = D E Avec deux actifs parfaitement corrélés, cest seulement possible de créer un portefeuille avec un rendement-risque selon la ligne entre les deux. Avec vent à découvert.

48 Albert Lee Chun Portfolio Management 47 Parfaite Corrélation = +1 = +1

49 Albert Lee Chun Portfolio Management 48 Corrélation zéro f E(R) ρ DE = 0.00 ρ DE = f g h i j k D E Avec des actifs non corrélés, cest possible de créer un portefeuille moins risqué que des actifs orignaux..

50 Albert Lee Chun Portfolio Management 49 Corrélation zéro = 0 = 0

51 Albert Lee Chun Portfolio Management 50 Corrélation positive E(R) ρ DE = 0.00 ρ DE = ρ DE = f g h i j k D E Avec des actifs corrélats, cest possible de créer un portefeuille de deux actifs entre les deux premières courbes

52 Albert Lee Chun Portfolio Management 51 Corrélation négative E(R) ρ DE = 0.00 ρ DE = ρ DE = ρ DE = f g h i j k D E Avec des actifs corrélés négativement, cest possible de créer un portefeuille beaucoup moins risqué. Négatif

53 Albert Lee Chun Portfolio Management 52 Corrélation parfaitement négative E(R) ρ DE = 0.00 ρ DE = ρ DE = ρ DE = f g h i j k D E Avec des actifs corrélés parfaitement négatifs, cest possible de créer un portefeuille sans risque.

54 Albert Lee Chun Portfolio Management 53 Corrélation parfaitement négative Corrélation parfaitement négative = -1 = -1 Il existe des pondérations tel que le risque total est nul.

55 Albert Lee Chun Portfolio Management 54 Portefeuille de variance minimale

56 Albert Lee Chun Portfolio Management 55 Le portefeuille à variance minimale

57 Albert Lee Chun Portfolio Management 56 Le portefeuille à variance minimale (PVM) 1> > -1 = -1 = -1 = 0 = 0 = 1 = 1 Sil ny pas de ventes à découvert, alors le PVM est égal à lactif avec le minimum de variance*. *Avec des ventes *Avec des ventes à découvert, cest possible davoir 0 variance. cest possible davoir 0 variance.

58 Albert Lee Chun Portfolio Management 57 La relation dépend du coefficient de corrélation La relation dépend du coefficient de corrélation -1.0 < < < < +1.0 Plus la corrélation est négative, plus la réduction potentielle de risque est grande. Plus la corrélation est négative, plus la réduction potentielle de risque est grande. Si = +1.0, aucune réduction de risque (sauf avec des ventes à découvert.) Si = +1.0, aucune réduction de risque (sauf avec des ventes à découvert.) Leffet de la corrélation 7-57

59 Albert Lee Chun Portfolio Management 58 Exemple 1: PVM Exemple: : Exemple: Supposons quil y a seulement deux actifs A et B : AB A,B A,B E(r)10%14% %20% Trouvez le portefeuille de variance minimale? Trouvez le portefeuille de variance minimale?

60 Albert Lee Chun Portfolio Management 59 Exemple 1: PVM

61 Albert Lee Chun Portfolio Management 60 Exemple 2: =.3 Supposons que notre univers dinvestissement comprend deux titres de la Table 7.1: DE D,E D,E E(r)8%13% %20% Quelles sont les pondérations de chaque titre dans un portefeuille de variance minimale? 7-60

62 Albert Lee Chun Portfolio Management 61 Exemple 2 : =.3 En minimisant le problème, nous obtenons: Numériquement: 7-61

63 Albert Lee Chun Portfolio Management 62 Lutilité de linvestisseur E(r) Investisseurs ayant une forte aversion au risque U U U U U U Investisseurs ayant moins daversion au risque

64 Albert Lee Chun Portfolio Management 63 Maximisez lutilité de linvestisseur Devoir: montrez que la solution est:

65 Albert Lee Chun Portfolio Management 64 Exemple Exemple: : Exemple: Supposons quil ny a que deux portefeuilles: AB A,B A,B E(r)10%14% %20% Trouvez le portefeuille optimal pour un investisseur ayant une utilité quadratique de A = 3? Trouvez le portefeuille optimal pour un investisseur ayant une utilité quadratique de A = 3?

66 Albert Lee Chun Portfolio Management 65 Exemple

67 Albert Lee Chun Portfolio Management 66 Imaginez un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans risque

68 Albert Lee Chun Portfolio Management 67 Deux CALs 7-67

69 Albert Lee Chun Portfolio Management 68 Avec un actif sans risque E(r) CAL 1 CAL 2 CAL 3 Le portefeuille optimale est le portefeuille tangent Le portefeuille optimale est le portefeuille tangent Intuition : la solution est le CAL qui maximise la pente! E E

70 Albert Lee Chun Portfolio Management 69 Le CAL optimale 7-69

71 Albert Lee Chun Portfolio Management 70 Le portefeuille optimal 7-70

72 Albert Lee Chun Portfolio Management 71 Exemple: Le portefeuille optimal 7-71

73 Albert Lee Chun Portfolio Management 72 Pondérations dun portefeuille optimal Devoir: Si vous êtes ambitieux, essayez de montrer que la solution optimale ait :

74 Albert Lee Chun Portfolio Management 73 Investisseurs A et B P E(r) rfrf i j CAL La proportion investie dans le portefeuille P va dépendre de laversion au risque.

75 Albert Lee Chun Portfolio Management 74 Différents taux demprunt et de placement E(r) rfrf rfrf P1P1 P1P1 P2P2 P2P2

76 Albert Lee Chun Portfolio Management 75 Imaginez un univers avec une multitude de titres risqués

77 Albert Lee Chun Portfolio Management 76 Le problème de Markowitz Soumis à la contrainte de:

78 Albert Lee Chun Portfolio Management 77 E(r) Efficient frontier Frontière de variance minimale 7-77 Frontière de variance minimale Portefeuille de variance minimale

79 Albert Lee Chun Portfolio Management 78 E(r) Efficient frontier Frontière efficiente 7-78 Frontière efficiente Portefeuille de variance minimale

80 Albert Lee Chun Portfolio Management 79 Frontière efficiente 7-79

81 Albert Lee Chun Portfolio Management 80 La combinaison optimale correspond au plus bas niveau de risque pour un rendement donné La combinaison optimale correspond au plus bas niveau de risque pour un rendement donné Le > optimal est décrit comme lefficiente frontière. Le > optimal est décrit comme lefficiente frontière. Prolongement du concept 7-80

82 Albert Lee Chun Portfolio Management 81 Pour la prochaine semaine, imaginez un univers avec une multitude de titres risqués et 1 titre sans risque

83 Albert Lee Chun Portfolio Management 82 Lectures Lectures pour d'aujourd'hui : Lectures pour d'aujourd'hui : Chapitre 7 Chapitre 7 Si vous n`avez pas suivi le cours Placement, vous devez lire le Chapitre 6. Si vous n`avez pas suivi le cours Placement, vous devez lire le Chapitre 6. Lectures pour les 2 prochaines semaines : Lectures pour les 2 prochaines semaines : Chapitre 7 (incluant l'appendice A) Chapitre 7 (incluant l'appendice A) (Recueil) Other Portfolio Selection Models (Recueil) Other Portfolio Selection Models


Télécharger ppt "0 Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Introduction à la théorie moderne de portefeuille Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie."

Présentations similaires


Annonces Google