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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027. Dérivation numérique u Introduction u Dérivation numérique –Différences finies –Polynômes dinterpolation et.

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2 Dérivation numérique u Introduction u Dérivation numérique –Différences finies –Polynômes dinterpolation et dapproximation u Travail pratique 5

3 Introduction u Dans plusieurs problèmes nous avons besoin de calculer la dérivée dune fonction u Deux approches existent pour résoudre ce problème u Une première, qui estime les valeurs de la dérivée lorsquune fonction est connue mais dont sa dérivée ne peut pas être déduite analytiquement u Lestimation de la dérivée peut se faire par une approche aux différences finies de la forme:

4 Introduction u Une seconde approche est de calculée la dérivée des polynômes dinterpolation ou dapproximation dont nous pouvont déduire la forme analytique

5 Dérivation numérique (différences finies) u Les méthodes aux différences finies découlent de la série de Taylor: u Si nous éliminons les termes dordre supérieur ou égal à 2 nous obtenons u En isolant le terme dérivé nous obtenons Différence avant dordre 1

6 Dérivation numérique (différences finies) u Lapproximation dordre 2 de la dérivée première de f(x) est obtenue en incluant un second terme à la série de Taylor: u Nous devons estimer dabord la dérivée seconde en utilisant une méthode aux différences finies de la forme:

7 Dérivation numérique (différences finies) u Si nous substituons le résultat de lestimation de la dérivée première par différence finie dordre 1 nous obtenons u Nous pouvons alors déduire une approximation dordre 2 de la dérivée première Approximation de premier ordre de la dérivée seconde

8 Dérivation numérique (différences finies) u La dérivée seconde dordre 2 est alors déduite par u En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations dordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première

9 Dérivation numérique (différences finies) u En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations dordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde

10 Dérivation numérique (différences finies) u En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations dordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première

11 Dérivation numérique (différences finies) u En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations dordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde

12 Dérivation numérique (différences finies) u Illustration des méthodes aux différences (dérivée première)

13 Dérivation numérique (différences finies) u Illustration des méthodes aux différences (dérivée seconde)

14 Dérivation numérique (Polynômes) u Les splines cubiques prennent la forme u Leurs dérivées premières donnent: u Leurs dérivées secondes donnent:

15 Dérivation numérique (Polynômes) u Polynômes dapproximation (degré 1) u Polynômes dapproximation (degré 2)

16 Dérivation numérique (Polynômes) u Polynômes dapproximation (degré 3)

17 Dérivation numérique (Polynômes) u Polynômes dapproximation (degré 4)

18 Travail pratique 5 u Dérivation de polynômes dapproximation (Cas APPLE VS MICROSOFT)

19 Travail pratique 5 u Résultats attendus (approximation optimale)

20 Travail pratique 5 u Résultats attendus (dérivée première)


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