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Les bases des probabilités Julia Bozukova. NotionSignificationExemple Expérience aléatoire Son résultat dépend du hasard.Lancer un dé Expérience aléatoire.

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1 Les bases des probabilités Julia Bozukova

2 NotionSignificationExemple Expérience aléatoire Son résultat dépend du hasard.Lancer un dé Expérience aléatoire à plusieurs étapes Expérience composée de plusieurs étapes Lancer un dé deux fois et noter les résultats Univers des résultats possibles : Ω Lensemble de tous les résultats possibles dune expérience aléatoire. Ω = {1,2,3,4,5,6} Événement Cest un sous-ensemble de lunivers des résultats possibles. A: Obtenir un nombre pair A = {2,4,6} Événement élémentaire Le résultat de cet événement est unique. B: Obtenir le nombre 6 B = {6} Événements compatibles Peuvent se réaliser en même temps. A: Obtenir un nombre pair B: Obtenir un multiple de 3 Événements incompatibles Ne peuvent pas se réaliser en même temps. A: Obtenir un nombre pair B: Obtenir un diviseur de 3

3 Événements complémentaires Ils nont pas des résultats communs, mais, ensemble, ils contiennent tous les résultats possibles A= {Obtenir un nombre pair} = {2,4,6} B= {Obtenir un nombre impair} = {1,3,5} AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω Probabilité dun événement Quelle est la chance(la probabilité) quun événement se produise? Pour la calculer: P(A) = Nmbr de cas favorables Nmbr total résultats possibles On lance une pièce de monnaie et ensuite, un dé. Calculer la probabilité davoir une Face suivie dun nombre pair (événement A). Intersection dévénements A B Lévénement formé par lensemble des résultats communs des deux évènements. A: { Obtenir un nombre pair } B: { Obtenir un diviseur de 4 } A = {2,4,6}; B = {1,2,4} A B = {2,4} Union dévénements compatibles A U B La probabilité que A OU B se produisent. P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A B) A: { Obtenir un nombre pair } B: { Obtenir un multiple de 3 } P(AUB)=1/2 + 2/6 – 1/6 = 2/3 Ω = { P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6 } A = {F2, F4, F6} P(A) = 3/12 = ¼ = 25%

4 NotionSignificationExemple Union dévénements incompatibles A U B La probabilité que A OU B se produisent. P(A U B) = P(A)+P(B) A: { Obtenir un nombre pair } B: { Obtenir un diviseur de 3 } P(AUB)=1/2 + 2/6 = 5/6 Événements indépendants La réalisation de lun ne dépend pas de la réalisation de lautre. Lancer un dé deux fois. Le résultat du deuxième lancé ne dépend pas du résultat du premier.

5 Dénombrement des résultats dune expérience aléatoire à plusieurs étapes TableauDiagramme en arbre Énumération systématique Ω = { P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6 } PileFace 1 (P,1)(F,1) 2 (P,2)(F,2) 3 (P,3)(F,3) 4 (P,4)(F,4) 5 (P,5)(F,5) 6 (P,6)(F,6) 1 2 P F Résultats: P1, P2, P3, P4, P5, P6, F1, F2, F3, F4, F5, F6

6 Le principe de multiplication Ce principe sapplique aux expérience aléatoires à plusieurs étapes. Le nombre de résultats possibles = (nombre de résultats possibles de létape 1) x (nombre de résultats possibles de létape 2) x …….. (nombre de résultats possibles de létape n) Exemple: Quel est le nombre de résultats possibles de lexpérience composée par les étapes suivantes: lancer un dé, lancer une pièce de monnaie et lancer un autre dé? = 72 résultats possibles


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