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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Calcul daires à laide des limites Calcul daires à laide des limites.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Calcul daires à laide des limites Calcul daires à laide des limites

2 Introduction Il nous faut maintenant définir laire dune surface de façon stricte pour pouvoir lutiliser mathématiquement. On peut être porté à croire quil est possible de déterminer laire de toute région du plan. Ce nest pas le cas. Il existe des régions du plan dont la frontière est si complexe quil est impossible den déterminer laire. Pour donner une définition mathématiquement acceptable de laire, nous aurons recours à la notion de limite et aux sommations.

3 Valeur approchée de laire Décomposer laire sous la courbe définie par f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1] en 5 rectangles de même base et estimer laire sous la courbe à laide de ces rectangles. Les intervalles obtenus sont : [0; 1/5], [1/5; 2/5], [2/5; 3/5], [3/5; 4/5], [4/5; 5/5] Considérons comme hauteur de chacun des rectangles limage par la fonction de sa frontière de gauche. La hauteur du premier rectangle est alors f(0/5) = (0/5) 2, celle du deuxième rectangle est f(1/5) = (1/5) 2... SS At At = 1515 = = ( )42) = = 0,24 unité daire i = i5i5 2 Construisons cinq rectangles de même base, soit 1/5. REMARQUE : On effectue la somme en utilisant le fait que : i = 1 n i 2 = n (n + 1)(2n + 1) 6 S

4 Valeur approchée de laire Laire sous la courbe définie par f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1]. Cette estimation est en manque puisque laire des rectangles est inférieure à celle sous la courbe. Déterminons une autre estimation en considérant comme hauteur de chaque rectangle limage par la fonction de sa frontière de droite. SS Notre estimation est de 0,24 unité daire. On obtient alors : At At = i = 1 5 AiAi 1515 = = ( )52) = = 0,44 unité daire

5 Valeur approchée de laire Laire sous la courbe définie par f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1]. En augmentant le nombre de rectangles, on peut obtenir une meilleure estimation de cette aire. Considérons dix sous-intervalles. On obtient : At At = i = i 10 2 SS Elle est comprise entre 0,24 et 0,44 unité daire. = i2i2 i = 1 10 par les frontières de droite : = = 0,385 At At = i = i 10 2 par les frontières de gauche : = i = 1 10 i2i2 = = 0,285

6 Valeur approchée de laire Laire sous la courbe définie par f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1]. En augmentant le nombre de subdivisions de lintervalle, on augmente la précision de lestimation. On devrait pouvoir obtenir laire exacte en prenant la limite, si elle existe, lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers linfini. At At = i = 0 n–1 1n1n inin 2 SS Elle est comprise entre 0,285 et 0,385 unité daire. = 1n31n3 i2i2 i = 1 n–1 par les frontières de gauche : = 1n31n3 (n–1) n (2n – 1) 6 A = La limite lorsque n tend vers linfini donne : lim n n3n3n3n3 (1 – 1/n)(2 – 1/n) 6 (1 – 1/n)(2 – 1/n) 6 lim n = = 2626 = 1313 S par les frontières de droite : At At = i = 1 n 1n1n inin 2 = 1n31n3 i2i2 i = 1 n = 1n31n3 n(n + 1)(2n + 1) 6 A = La limite lorsque n tend vers linfini donne : lim n n3n3n3n3 (1 + 1/n)(2 + 1/n) 6 (1 + 1/n)(2 + 1/n) 6 lim n = = 2626 = 1313

7 Aire sous une courbe Considérons maintenant laire sous une courbe représentant une fonction continue non négative dans un intervalle [a ;b]. Pour calculer une valeur approchée de cette aire, on peut déterminer une partition de lintervalle (division en sous-intervalles). On peut former des rectangles en choisissant comme hauteur dun rectangle soit limage par la fonction de sa frontière de gauche, soit limage de sa frontière de droite ou encore limage dune valeur quelconque du sous- intervalle. La somme des aires de ces rectangles est alors une valeur estimée de laire sous la courbe. SSS

8 Partition S Définition Partition Soit [a; b], un intervalle. Une partition P de [a; b] est une suite de nombres réels x 0, x 1,x 2,..., x n tels que : a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b On note la partition de la façon suivante : P = {x 0, x 1, x 2, …, x n } x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x i– xixi x n–2 x n–1 xnxn Si les sous-intervalles nont pas même largeur, la partition est irrégulière. x0x0 Si les sous-intervalles ont même largeur, la partition est régulière. x1x1 x2x2... x i–1 xixi x n–2 x n–1 xnxn... REMARQUE : Lintersection de deux sous-intervalles adjacents dune partition P ne contient que la frontière commune.

9 Somme de Riemann Laire est définie par la limite lorsque la largeur du plus grand des sous-intervalles tend vers 0, soit : En utilisant une somme de Riemann, on peut calculer une valeur approchée de laire sous la courbe dune fonction positive. S Définition Somme de Riemann Soit f, une fonction continue et non négative définie sur [a; b] et P = {x 0, x 1, x 2, …, x n } une partition de cet intervalle. On appelle somme de Riemann toute somme de la forme : i = 1 n f(x i ) x i, où c i [x i–1 ; x i ] et x i = x i – x i–1 lim (maxx i ) 0 i = 1 n f(x i ) x i

10 Aire sous une courbe Dans les exemples que nous allons présenter, les partitions comporteront n sous-intervalles de même largeur, soit : S Définition Aire sous une courbe Soit f, une fonction continue et non négative définie sur [a; b] et P = {x 0, x 1, x 2, …, x n } une partition de cet intervalle. Laire sous la courbe dans lintervalle [a; b] est définie par :, où c i [x i–1 ; x i ] et x i = x i – x i–1 i = 1 n f(c i ) x i Lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers, la largeur de ces sous intervalles tend vers 0. On a donc la forme équivalente : x = b – a n lim x 0 i = 1 n f(c i ) x A [a; b] =, où x = b – a n lim (maxx i ) 0 REMARQUE : Une partition régulière dont on utilise limage soit de la frontière de gauche, soit de la frontière de droite comme hauteur des rectangles est un cas particulier de somme de Riemann.

11 Calcul de laire à laide des limites Procédure pour calculer laire sous une courbe à laide dune limite 2.Déterminer les frontières de lintervalle [x i–1 ; x i ]. Cet intervalle servira à déterminer le terme général de la sommation. 3.Choisir la frontière de lintervalle dont limage servira de hauteur du rectangle et déterminer cette image. 4.Déterminer laire du rectangle construit sur lintervalle [x i–1 ; x i ]. Cest le terme général de la sommation. On appelle ce rectangle le représentant. 5.Décrire la somme des aires des rectangles de la partition à laide de la notation sigma et en appliquer les propriétés. 6.Évaluer la limite de la somme lorsque le nombre de sous- intervalles tend vers linfini. Voyons en détail les étapes de cette procédure à laide dun exemple. 1.Vérifier si la procédure sapplique (f 0 dans tout lintervalle).

12 Partition dun intervalle Déterminer les frontières des sous-intervalles de la partition régulière de lintervalle [2; 5] en n sous-intervalles. Dans une partition régulière, tous les sous- intervalles sont de même largeur. Celle-ci est : On obtient les frontières en additionnant successivement n fois la largeur des sous-intervalles à partir de x 0 = 2. Cela donne : x = 5 – 2 n 3n3n = Déterminer les frontières du i e sous-intervalle. La frontière de gauche du i e sous-intervalle est obtenue en additionnant i–1 fois la largeur des intervalles à x 0 = 2 et celle de droite en ladditionnant i fois. SS

13 Exercice (partition dun intervalle) Déterminer les frontières des sous-intervalles de la partition régulière de lintervalle [1; 3] en n sous-intervalles. Dans une partition régulière, tous les sous- intervalles sont de même largeur. Celle-ci est : On obtient les frontières en additionnant successivement n fois la largeur des sous-intervalles à partir de x 0 = 1. Cela donne : x = 3 – 1 n 2n2n = Déterminer les frontières du i e sous-intervalle. La frontière de gauche du i e sous-intervalle est obtenue en additionnant i–1 fois la largeur des intervalles à x 0 = 1 et celle de droite en ladditionnant i fois. SS REMARQUE : De façon générale, les frontières du i e intervalle sont : x i–1 = a + (i – 1) x x i = a + i x où x = (b – a)/n

14 Image de la frontière droite Déterminer limage par la fonction f(x) = x 2 + x de la frontière de droite du i e sous-intervalle de la partition régulière de lintervalle [2; 5] en n sous-intervalles. La frontière de droite est : Limage par la fonction donne : 2n + 3i n = S xi =xi = 3in3in 2 + f 2n + 3i n = + 2n + 3i n 2n + 3i n 2 = 4n ni + 9i 2 n 2 + 2n + 3i n = 4n ni + 9i 2 n 2 + 2n 2 + 3ni n 2 = 6n ni + 9i 2 n 2 6n ni + 9i 2 n 2 2n + 3i n 3n3n x = S

15 Exercice (image de la frontière droite ) Déterminer limage par la fonction f(x) = x 2 + 2x + 1 de la frontière de droite du i e sous-intervalle de la partition régulière de lintervalle [1; 3] en n sous-intervalles. La frontière de droite est : Limage par la fonction donne : n + 2i n = S xi =xi = 2in2in 1 + f n + 2i n = n 2 + 4ni + 4i 2 n 2 + 2n 2 + 4ni n 2 = 4n 2 + 8ni + 4i 2 n 2 = n + 2i n n + 2i n + 1 = n 2 + 4ni + 4i 2 n n + 2i n n2n2n2n2 S 2n2n x = 4n 2 + 8ni + 4i 2 n 2 n + 2i n

16 Aire du représentant Déterminer laire du rectangle construit sur lintervalle [x i–1 ; x i ] et dont la hauteur est la frontière de droite de lintervalle par la fonction f(x) = x 2 + x. Limage de la frontière de droite par la fonction est : S f(xi)f(xi) = 6n ni + 9i 2 n 2 La largeur de lintervalle est : A i = x f(x i ) = Laire du rectangle est : 3n3n x = 3n3n 6n ni + 9i 2 n 2 9n39n3 (2n 2 + 5ni + 3i 2 ) = S 9n39n3 Ai=Ai= 6n ni + 9i 2 n 2 2n + 3i n 3n3n x =

17 Exemple (aire du représentant) Déterminer laire du rectangle construit sur lintervalle [x i–1 ; x i ] et dont la hauteur est la frontière de droite de lintervalle par la fonction f(x) = x 2 + 2x + 1. Limage de la frontière de droite par la fonction est : S f(xi)f(xi) = 4n 2 + 8ni + 4i 2 n 2 La largeur de lintervalle est : A i = x f(x i ) = Laire du rectangle est : 2n2n x = 2n2n 4n 2 + 8ni + 4i 2 n 2 8n38n3 (n 2 + 2ni + i 2 ) = S 2n2n x = 4n 2 + 8ni + 4i 2 n 2 n + 2i n 8n38n3 (n 2 + 2ni + i 2 ) Ai =Ai =

18 Somme des aires de rectangles Décrire la somme des aires des rectangles de la partition régulière permettant destimer laire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x 2 + x dans lintervalle [2; 5]. Appliquer les propriétés de la sommation. S Laire du représentant est : AiAi 9n39n3 (2n 2 + 5ni + 3i 2 ) = La somme des aires des rectangles est : A i = i = 1 n 9n39n3 (2n 2 + 5ni + 3i 2 ) i = 1 n 9n39n3 (2n 2 + 5ni + 3i 2 ) i = 1 n = 9n39n3 2n2 +2n2 + i = 1 n = i = 1 n i = 1 n 3i23i2 5ni + 9n39n3 2n 3 + 5n = i = 1 n i = 1 n i2i2 i + 3 2n 3 + 5n 9n39n3 = + 3 n(n +1) 2 n(n +1)(2n + 1) 6 9n39n3 = 33n n 2 + 3n 6 S 9n39n3 (2n 2 + 5ni + 3i 2 ) Ai=Ai= 6n ni + 9i 2 n 2 2n + 3i n 3n3n x = 9n39n3 33n n 2 + 3n 6 A t =

19 Exercice (somme des aires de rectangles ) Décrire la somme des aires des rectangles de la partition régulière permettant destimer laire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x 2 + x + 1 dans lintervalle [1; 3]. Appliquer les propriétés de la sommation. S Laire du représentant est : AiAi 8n38n3 (n 2 + 2ni + i 2 ) = La somme des aires des rectangles est : A i = i = 1 n 8n38n3 (n 2 + 2ni + i 2 ) i = 1 n 8n38n3 (n 2 + 2ni + i 2 ) i = 1 n = 8n38n3 n2 +n2 + i = 1 n = i = 1 n i = 1 n i2i2 2ni + 8n38n3 n 3 + 2n = i = 1 n i = 1 n i2i2 i + n 3 + 2n 8n38n3 = + n(n +1) 2 n(n +1)(2n + 1) 6 8n38n3 = 14n 3 + 9n 2 + n 6 S 2n2n x = 4n 2 + 8ni + 4i 2 n 2 n + 2i n 8n38n3 (n 2 + 2ni + i 2 ) Ai =Ai = 8n38n3 At =At = 14n 3 + 9n 2 + n 6

20 Limite de la somme Évaluer la limite lorsque n tend vers linfini de : S En appliquant les propriétés des limites et en évaluant, on obtient : AiAi i = 1 n 9n39n3 = 33n n 2 + 3n 6 9n39n3 33n n 2 + 3n 6 lim n = n n31n3 33n n 2 + 3n 33 + = lim n 9696 n3n3n3n3 24 n + 3n23n n8n + = lim n n21n2 = = 27 6 Interpréter le résultat. On obtient que laire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x 2 + x dans lintervalle [2; 5] est de 99/2 unités daire. 9n39n3 (2n 2 + 5ni + 3i 2 ) Ai=Ai= 6n ni + 9i 2 n 2 2n + 3i n 3n3n x = S

21 Exercice (limite de la somme) Évaluer la limite lorsque n tend vers linfini de : S En appliquant les propriétés des limites et en évaluant, on obtient : AiAi i = 1 n 8n38n3 = 14n 3 + 9n 2 + n 6 8n38n3 14n 3 + 9n 2 + n 6 lim n = n n31n3 14n 3 + 9n 2 + n 14 + = lim n 8686 n3n3n3n3 9n9n + 1n21n n9n + = lim n n21n2 = = 8686 Interpréter le résultat. On obtient que laire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x 2 + 2x + 1 dans lintervalle [1; 3] est de 56/3 unités daire. S 2n2n x = 4n 2 + 8ni + 4i 2 n 2 n + 2i n 8n38n3 (n 2 + 2ni + i 2 ) Ai =Ai =

22 Discussion de la démarche Dans les deux situations que nous venons de présenter, les fonctions étaient croissantes et nous avons utilisé la frontière de droite comme hauteur du représentant des rectangles. Quelques questions se posent : Aurions-nous obtenu le même résultat en considérant la frontière de gauche pour déterminer laire du représentant? Le processus donne une valeur numérique, mais est-ce bien la mesure de la surface ? Considérons encore quelques exemples pour consolider notre intuition. Cette procédure fonctionnerait-elle pour une fonction décroissante ? Les exemples sont toujours des fonctions quadratiques, la procédure est-elle valide pour une fonction cubique? exponentielle? logarith- mique? trigonométrique? ou autre?

23 SS Exemple Esquissons le graphique de la fonction : Déterminer laire sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans lintervalle [0; 2] en considérant les frontières de gauche. x = 2 – 0 n = 2n2n Laire du représentant est : f 2i – 2 n = 4 – 2 2i – 2 n Limage par la fonction de la frontière de droite du i e intervalle est : AiAi La fonction est non négative dans lintervalle, on peut poursuivre. La largeur des intervalles est : = 4 n – 4i + 4 n = (n – i + 1) 4n4n 2n2n 8n28n2 = La somme des aires est : A i = i = 1 n i = 1 n 8n28n2 (n – i + 1) i = 1 n 8n28n2 = (n – i + 1) 8n28n2 i = 1 n = n – i + 1 i = 1 n i = 1 n 8n28n2 = n 2 – + n n(n + 1) 2 n 2 + n 2 8n28n2 = Déterminons la limite : 8n28n2 n 2 + n 2 lim n A = 1n21n2 n 2 + n lim n = 8282 = 4 1 = 4 La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans lintervalle [0; 2] a une mesure de 4 unités daire. Conclusion n2n2n2n2 1 + lim n = 4 1n1n x = 2n2n 4n4n (n – i + 1) S 8n28n2

24 SS Exercice Esquissons le graphique de la fonction : Déterminer laire sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans lintervalle [0; 2] en considérant les frontières de droite. x = 2 – 0 n = 2n2n Laire du représentant est : f 2in2in = 4 – 2 2in2in Limage par la fonction de la frontière de droite du i e intervalle est : AiAi La fonction est non négative dans lintervalle, on peut poursuivre. La largeur des intervalles est : = 4 n – 4i n = (n – i )(n – i ) 4n4n 2n2n 8n28n2 = (n – i )(n – i ) La somme des aires est : A i = i = 1 n i = 1 n 8n28n2 (n – i)(n – i) i = 1 n 8n28n2 = (n – i)(n – i) 8n28n2 i = 1 n = n – i i = 1 n 8n28n2 = n2 – n2 – n(n + 1) 2 n 2 – n 2 8n28n2 = Déterminons la limite : 8n28n2 n 2 – n 2 lim n A = 1n21n2 n 2 – n lim n = 8282 = 4 1 = 4 La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans lintervalle [0; 2] a une mesure de 4 unités daire. Conclusion n2n2n2n2 1 – lim n = 4 1n1n S x = 2n2n 4n4n (n – i)(n – i) 8n28n2 (n – i)(n – i)

25 SSS 2 Exemple Esquissons le graphique de la fonction : Déterminer laire sous la courbe définie par f(x) = 4 – x 2 dans lintervalle [0; 2]. x = 2 – 0 n = 2n2n Laire du représentant est : f 2in2in = 4 – 2in2in 2 Limage par la fonction de la frontière de droite du i e intervalle est : = 4 – 4i2n24i2n2 AiAi 8n38n3 (n 2 – i 2 ) = = 4n24n2 2n2n = 4n24n2 4n24n2 x = 2n2n La fonction est non négative dans lintervalle, on peut poursuivre. La largeur des intervalles est : La somme des aires est : A i = i = 1 n 8n38n3 (n 2 – i 2 ) i = 1 n 8n38n3 (n 2 – i 2 ) i = 1 n = n 2 – i 2 8n38n3 i = 1 n i = 1 n = 8n38n3 n3 –n3 – = n(n + 1)(2n + 1) 6 8n38n3 = 4n 3 – 3n 2 – n 6 Déterminons la limite : 8n38n3 4n 3 – 3n 2 – n 6 lim n A = 1n31n3 4n 3 – 3n 2 – n lim n = 8686 n3n3n3n3 4 – lim n = n3n – 1n21n2 4 = = La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – x 2 dans lintervalle [0; 2] a une mesure de 16/3 unités daire. Conclusion

26 SSS Exercice Esquissons le graphique de la fonction : Déterminer laire sous la courbe définie par f(x) = 4x – x 2 dans lintervalle [0; 4]. x = 4 – 0 n = 4n4n Laire du représentant est : f 4in4in Limage par la fonction de la frontière de droite du i e intervalle est : AiAi 64 n 3 (ni – i 2 ) = 16 n 2 = (ni – i 2 ) 4n4n = 16 n 2 La fonction est non négative dans lintervalle, on peut poursuivre. La largeur des intervalles est : = 4 – 4in4in 2 4in4in = – 16i 2 n 2 16i n La somme des aires est : A i = i = 1 n 64 n 3 (ni – i 2 ) i = 1 n 64 n 3 (ni – i 2 ) i = 1 n = ni – i 2 64 n 3 i = 1 n i = 1 n = 64 n 3 n – = n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1) 2 Déterminons la limite : 64 n 3 n 3 – n 6 lim n A = 1n31n3 n 3 – n lim n = 64 6 n3n3n3n3 1 – lim n = n21n2 1 = = (ni – i 2 ) 16 n 2 x = 4n4n 64 n 3 = n 3 – n 6 La surface sous la courbe définie par f(x) = 4x – x 2 dans lintervalle [0; 4] a une mesure de 32/3 unités daire. Conclusion

27 Si f est une fonction continue et non négative sur un intervalle [a; b], on a défini laire sous la courbe de f sur cet intervalle par : Cela signifie que laire est définie comme la limite de la somme des aires de rectangles construits sur les sous-intervalles dune partition P lorsque la largeur du plus grand sous-intervalle tend vers 0. où P = {x 0, x 1, x 2, …, x n } est une partition de [a; b], i = 1 n f(c i ) x i A [a; b] = lim (maxx i ) 0 Les exercices permettent de vérifier que la limite est la même en considérant la frontière de gauche ou la frontière de droite. Notre définition semble tenir la route pour les polynomiales de degré inférieur à 3. Peut-on généraliser à toutes les fonctions? c i [x i–1 ; x i ] et x i = x i – x i–1


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