La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Raisonnement Bertrand FILLOUX Raisonnement Odile CLEMENT prof. de maths remerciements à Bertrand FILLOUX.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Raisonnement Bertrand FILLOUX Raisonnement Odile CLEMENT prof. de maths remerciements à Bertrand FILLOUX."— Transcription de la présentation:

1 Raisonnement Bertrand FILLOUX Raisonnement Odile CLEMENT prof. de maths remerciements à Bertrand FILLOUX

2 Raisonnement Raisonnement : plan de lexposé I. Quest que raisonner ? II. Les différents types de raisonnement III. Le raisonnement et la démonstration dans les programmes de seconde IV. Un point de logique V. Des exemples dactivités en seconde VI. Les différents supports pour raisonner maîtrise de la langue VI. Vocabulaire, notations et maîtrise de la langue

3 I. Quest ce que raisonner ? Distinguons: Une opinion : un point de vue Une argumentation : un discours justifiant la préférence que lon accorde à telle opinion, dans le but de convaincre et persuader.

4 Un raisonnement : « opération discursive par laquelle on conclut quune ou plusieurs propositions ( prémisses) impliquent la vérité, la probabilité ou la fausseté dune autre proposition (conclusion )» Si un des buts est de convaincre, le raisonnement apparait indissociable de la notion de vérité.

5 II. Différents raisonnements Le raisonnement inductif et abductif Le raisonnement déductif Le raisonnement par analogie Leur présence dans lactivité scientifique et mathématique

6 Le raisonnement inductif et abductif : À partir de faits constatés ou de présomptions vérifiés sur des exemples, on dégage une propriété générale. Exemples : diagnostics médicaux découverte de fossiles marins …. la mer était là Les livrets A se vident …Les français puisent dans leurs économies pour noël 2009

7 Le raisonnement déductif : il énonce par enchainement logique une conclusion nécessaire, à partir de propositions données. Exemple fondamental: A implique B or A donc B Ce qui distingue essentiellement ces deux raisonnements, cest que la déduction utilise un propriété générale dans ces prémisses alors que linduction tente à trouver une propriété générale dans sa conclusion.

8 Le raisonnement par analogie « ça ressemble à ça, donc cela doit fonctionner comme cela » Exemples : astronomie, sciences physiques, et beaucoup dautres situations Différents raisonnements et activité scientifique Le point de départ de la démarche scientifique tient souvent en une analogie entre la situation étudiée et une situation déjà connue. Cette analogie guide le choix dobservations dont les résultats permettent par abduction ou induction la formulation dune hypothèse. Cette hypothèse étant posée, par un raisonnement déductif, on anticipe les effets de cette hypothèse et on vérifie les effets attendus par des expériences. Si les résultats sont conformes, lhypothèse sera validée provisoirement tant quelle résistera à lépreuve des faits.

9 premières observations raisonnement analogique expérimenter émettre Phase inductive une hypothèse ou abductive Phase déductive Cette hypothèse devrait produire tels événements expériences postérieures validant lhypothèse ou non Différents raisonnements et activité scientifique

10 Différents raisonnements et activité mathématique

11 III. Le programme de seconde En préambule : Raisonnement et langage mathématiques Le développement de largumentation et lentraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée.

12 Extraits du programme de seconde A lissue de la seconde, lélève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant et, par exemple, à distinguer implication mathématique et causalité.

13 En préambule Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire lobjet de cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme. De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne doivent pas être fixées demblée ni faire lobjet de séquences spécifiques mais doivent être introduits au cours du traitement dune question en fonction de leur utilité.

14 Extraits du programme de seconde La diversité des activités proposées aux élèves ( chercher, expérimenter, appliquer des techniques, mettre en œuvre des algorithmes, raisonner, démontrer, expliquer une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit ) doit permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité et de la richesse de la démarche mathématique et lui donne sa place au sein de lactivité scientifique

15 Dans le détail du programme : Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés sur des exemples : A utiliser correctement les connecteurs logiques : « et », « ou » et à distinguer leur sens du sens courant ; A utiliser à bon escient des quantificateurs universels, existentiels (les symboles, ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement dans les propositions conditionnelles.

16 A distinguer dans les propositions conditionnelles, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ; A utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire » et « condition suffisante » ; A formuler la négation dune proposition ; A utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; A reconnaître et à utiliser des types de raisonnements spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par labsurde.

17 III. Logique: Contraposée, réciproque et négation dune implication Implication : Si A alors B Utilisation : modus ponens : A B or A donc B Remarque : cette implication est logiquement équivalente à: (non A) ou B Sa contraposée: Si (non B) alors (non A) Utilisation : modus tollens : A B or non B donc non A Remarque : une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes Sa négation : A et non B. Sa réciproque :Si B alors A

18 VI. Des activités en seconde 1.des raisonnements déductifs Le travail fait au collège sur les réciproques, conditions nécessaires, suffisantes, contraposées et négations dune proposition est à poursuivre avec des supports variés. Exemple :Les quadrilatères ayant des cotés de même longueur sont des carrés. Cette proposition est-elle vraie ?La reformuler sous forme dimplication. Ecrire la négation de cette proposition. Votre proposition précédente est-elle vraie?

19 Négation dune proposition Les quantificateurs : 3 étapes au lycée –Comprendre la nécessité de quantifier –Être capable dexpliciter les quantifications –Être capable de rédiger avec des quantificateurs Exemple ; refaire formuler des propositions du type: F est la fonction définie sur R par : F(x) = x²+3x et résoudre x² + 3x = 5 Si deux nombres sont multiples de 7 alors leur somme est un multiple de 7 à démontrer. La réciproque est-elle vraie. Ecrire la contraposée.

20 Des raisonnements spécifiques 2.Par disjonction de cas Le carré dun nombre entier est-il pair ou impair ? Remarque : utilisation de la contraposée dans lexemple précédent. n étant la somme de deux carrés dentiers, prouver que le reste dans la division de n par 4 nest jamais égal à 3

21 Des raisonnements spécifiques 3.Par labsurde Tout nombre premier distinct de 2 est impair nest pas un nombre décimal nest pas un nombre rationnel

22 Des raisonnements spécifiques 4. En exhibant un contrexemple 4. En exhibant un contrexemple : Exemples : La fonction f(x) = x² +2x est –elle paire? Impaire? Pour tout nombre entier n, lentier n²- n + 11 est-il un nombre premier

23 V. Varier les supports pour raisonner 1. Sur des nombres : Quelle est la 2009 ème décimale du développement décimal de 22 / 7 ? Quelle est la somme des chiffres du résultat de – 2009 ?

24 2.Sur des figures géométriques Les supports pour raisonner 2.Sur des figures géométriques Une équerre ABC est placée de telle sorte que le point A est situé sur laxe des ordonnées et le point B sur celui des abscisses. On déplace léquerre en faisant glisser A et B sur les axes. Comment se déplace le point C ?

25 Les supports pour raisonner 3. Sur des graphiques : Ces 5 personnes ont chacun fait un footing … :

26 Les supports pour raisonner 4. Sur des fonctions : Chacun des 6 réservoirs est rempli avec un robinet à débit constant. Les courbes indiquent la hauteur de liquide en fonction du temps …

27 Les supports pour raisonner 5. Sur des probabilités 5. Sur des probabilités : On dispose de 3 cartes : la 1 ère a 2 faces rouges, la 2 ème a 2 faces vertes la 3 ème a une face rouge et une face verte. Quelquun choisit une carte au hasard et la pose sur la table en choisissant au hasard la face visible. Le joueur doit «deviner» la couleur de la face cachée Quelle stratégie lui conseiller : Toujours choisir la couleur vue ? Toujours choisir lautre couleur ? Choisir la couleur au hasard?

28 VI. Raisonnement et langage Utiliser « ET » et « OU » en liaison avec le travail sur les intervalles ABC étant un triangle équilatéral de coté a. Colorier lensemble des points M du plan vérifiant : (AM a et BM a et CM a) Ou (AM a et BM a et CM a Ou (AM a et BM a et CM a)

29 Raisonnement et langage 2 est-il supérieur ou égal à 1 et/ou : « 2 est-il supérieur ou égal à 1 ? » Cet énoncé est considéré comme faux par la plupart des élèves de 2 nde Une élève de 1 ère L : « Cest typiquement mathématique … Je ne changerai pas les règles mathématiques, donc jadmettrais, nous admettrons, comme dirait le théorème, que 21. Cest une loi, une règle de maths, sans rien de plus et pas vraiment logique. Mais cest la difficulté qui fait toute la beauté des mathématiques. » Les différents sens de « UN » : Un exactement, Au moins un, Tout, Un parmi dautres

30 Raisonnement et langage OR : en français, indique le plus souvent une opposition ou une objection : « Il est interrogé, or, il na pas écouté » DONC : en français, il possède aussi un sens emphatique : « Taisez vous donc » –Négation : attention aux pièges Quel est le contraire de jamais ? De noir ? Repérer les quantificateurs implicites dans la proposition de départ.

31 Pour conclure : 1. Raisonner en mathématiques ne se réduit pas au seul raisonnement déductif. 2. Il faut prendre en compte la diversité sans imposer une forme canonique. « Lapprentissage de la démonstration passe par lacquisition dune certaine liberté décriture » (J.Houdebine –CPn°317)

32 Pour conclure : 3. Les élèves entrant en 2 nde sont aptes à conduire des raisonnements, sans pour autant être capables de les produire par écrit. 4. Distinguer le fond de la forme : pas de formalisme excessif et/ou prématuré 5. Valoriser des écrits intermédiaires


Télécharger ppt "Raisonnement Bertrand FILLOUX Raisonnement Odile CLEMENT prof. de maths remerciements à Bertrand FILLOUX."

Présentations similaires


Annonces Google