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1 Filtrage des mesures gradiométriques Gilles Métris CERGA Observatoire de la Côte dAzur.

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1 1 Filtrage des mesures gradiométriques Gilles Métris CERGA Observatoire de la Côte dAzur

2 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS2 Filtrage Opération consistant à extraire d un signal observé, le signal utile pour l observateur.

3 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS3 Généralité sur les variables aléatoires n Espérance d une variable aléatoire: n Moments : n Covariance de deux VA : Coefficient de corrélation : En dimension n : Matrice de covariance

4 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS4 Processus aléatoires n Processus aléatoire (ou stochastique) : génération dune VA au cours du temps (au sens large) = fonction aléatoire. En discret : séquence de VA n Exemple : –Résultat dun lancé de dès = variable aléatoire –Succession de lancés de dès = processus stochastique n Les moments sont maintenant une fonction du temps : n Covariance mutuelle :

5 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS5 n Stationnarité : –Un processus aléatoire est stationnaire si tous ses moments sont indépendants de lorigine du temps. –Stationnarité dordre 2 (ou faible) : la moyenne ne dépend pas du temps et la covariance ne dépend que de la différence entre les deux arguments fonction d autocorrélation : n Ergodisme : un processus est ergodique si on peut remplacer les sommes sur des ensembles par des sommes temporelles. Ex : au lieu de lancer N dés, on lance N fois successivement le même dés. Ergodisme en moyenne : Stationnarité - Ergodicité

6 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS6 Densité spectrale de puissance Bruit blanc - bruit coloré Densité spectrale de puissance (DSP) : cest la transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation : La DSP décrit la répartition de la puissance 2 suivant les fréquences. Densité spectrale de puissance (DSP) : cest la transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation : La DSP décrit la répartition de la puissance 2 suivant les fréquences. n Cas dun processus non corrélé : La DSP est la même à toutes les fréquences : on a un bruit blanc. Inversement, si la DSP varie avec la fréquence (bruit coloré), le processus est corrélé.

7 Spécification initiale : 3 mE/ Hz entre et 0.1 Hz Performances prédites (à partir d analyses et de tests) (200 s) (10 s) GOCE : densité spectrale de bruit du gradiomètre

8 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS8 Exemple dun gradiomètre La structure de léquation dobservation est : Biais Matrice instrumentale Tenseur gradient de gravité Tenseur dinertie Bras du gradiomètre Bruit = combinaison linéaire des coefficients du champ de gravité que lon veut déterminer.

9 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS9 Gradiomètre (suite) Equations dobservations linéaires classiques Vecteur des observations [X] = Vecteur des paramètres à déterminer (gravité…) [h] = Matrice de configuration [B] = Bruit (supposé centré et stationnaire dordre 2) [P] T [P] = Matrice de pondération Solution classique (MC) minimise erreur sur les observation Pondération

10 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS10 Choix de la pondération Matrice [P] qui minimise la variance sur lestimation de [X] : [R b ] = Matrice de covariance Il faut donc : –Evaluer la fonction dautocorrélation, –En déduire la matrice de covariance et linverser.

11 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS11 Fonction dautocorrélation n Par définition, la densité spectrale de puissance (DSP) est la TF de la fonction dautocorrélation. n Inversement, connaissant la DSP (PSD en anglais), on peut en principe calculer la la fonction dautocorrélation par TF inverse… n … mais : –la DSP à priori reste un modèle et est difficile à quantifier avec grande précision (les instruments ne peuvent être testés complètement au sol) –si la dynamique de bruit est très grande, une petite erreur relative de modèle dans une zone de bruit important peut dégrader nettement la restitution.

12 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS12 Inversion de la matrice de covariance n En labsence dhypothèses (trop) restrictives, cest une matrice carrée, pleine, de grande taille (autant que le nombre dobservations) n Cest une matrice de Toeplitz symétrique (R ij = R ji =R i-j ) qui offre des algorithmes particuliers dinversion (ou de décomposition). n Le calcul est toujours lourd (si pas impraticable) dans le cas de plusieurs centaines de milliers dobservations.

13 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS13 Bilan : n Lutilisation dune matrice de pondération non diagonale dans lespoir dobtenir un estimateur à variance minimale en présence de bruit coloré représente un gros effort calculatoire pour une optimisation incertaine. n Il est plus efficace deffectuer un prétraitement sur le signal pour pouvoir ensuite appliquer une inversion par MC non pondérés (ou avec une pondération diagonale).

14 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS14 Principe Au lieu de considérer les équations dobservations pour différentes dates : On peut travailler en fréquentiel et considérer les équations dobservation pour différentes fréquences :

15 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS15 n Avantages : –On obtient un bruit non corrélé (propriété de la TF) –Connaissant la DSP, la pondération (diagonale) est directe. n Inconvénient : la projection en fréquentiel est toujours délicate. –Quelles raies de projection choisir ? –Celles prévues par une théorie linéaire du satellite ? –Gros risque de perdre de linformation. –Appliquer la FFT en utilisant toutes les raies (pas de perte dinformation) ?

16 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS16 Simplification supplémentaire n Utiliser seulement le domaine fréquentiel sur lequel la DSP peut être considérée comme uniforme n Cela revient à appliquer un filtre passe bande : n Avantage : ce filtre (classique) peut-être appliqué directement en temporel

17 Spécification initiale : 3 mE/ Hz entre et 0.1 Hz Performances prédites (à partir d analyses et de tests) (200 s) (10 s) GOCE : densité spectrale de bruit du gradiomètre

18 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS18 Stratégie ¶ Choisir un filtre passe-bande, · Appliquer ce filtre (en temporel) –Aux observations, –Aux dérivées partielles (matrice de configuration) –Aux dérivées partielles (matrice de configuration) Signaux ne comprenant que les fréquences « utilisables » Il est indispensable d appliquer le même filtre aux observations et aux dérivées partielles pour obtenir les mêmes « distorsions » ¸ Appliquer les MC aux signaux filtrés.

19 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS19 Caractéristiques du filtre n Contraintes fortes : –Passe bande, –Très forte atténuation loin de la bande passante (le bruit devient très fort). le bruit devient très fortle bruit devient très fort n Contraintes faibles : Grâce au fait que lon applique le même filtre aux observations et aux dérivées partielles, on peu admettre –Un gain un peu différent de 1 dans la bande passante, –Une transition pas spécialement raide, –Un déphasage à peu près quelconque.

20 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS20

21 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS21 Filtres numériques n Filtre = Système Linéaire Invariant (SLI) n Système linéaire : Le signal en sortie du système est obtenu à partir du signal d entrée par un opérateur linéaire. Exemple : La transformée de fourier est un SL n Système invariant : La transformation effectuée par le système est indépendante de lorigine temporelle (sauf phase transitoire)

22 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS22 Représentation des filtres numériques n Filtre numérique = discret (par opposition à filtre analogique = continu) Discrétisation = échantillonnage à pas fixe T e Fréquence d échantillonnage f e Discrétisation = échantillonnage à pas fixe T e Fréquence d échantillonnage f e n Notation : n n Filtrage linéaire : n Le système est en général dynamique : y[k 0 ] est fonction de x à la date k 0 mais aussi à dautres dates k

23 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS23 Réponse impulsionnelle Cest la réponse du filtre à une impulsion : h = réponse impulsionnelle ou séquence de pondération.

24 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS24 Relation de convolution n Problème : –entrée x[k] (k = variable et non pas une date fixée) –sortie y[k 0 ] (k 0 = date fixée) ?

25 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS25 Systèmes IIR et FIR Exemple : Réalisation ? Stabilité ?

26 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS26 Filtres réalisables n Un filtre FIR est toujours réalisable car il demande un nombre fini dopérations. n Un filtre IIR numérique nest pas pas réalisable en appliquant directement la relation de convolution qui demande un nombre infini dopérations. n A une date k, on peut utiliser : –un nombre fini dentrées antérieures (système causal), –un nombre fini de sorties strictement antérieures filtre causal le plus général réalisable : Equation aux différences dordre I

27 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS27 Relation entre RI et équation aux différences Ainsi lensemble des filtres réalisables est restreint par cette récurrence sur la RI.

28 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS28 Exemple

29 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS29 Fonctions propres dun filtre –La réponse est proportionnelle à lentrée –z k est une fonction propre du filtre –H(z) est la transmittance (ou fonction de transfert) du filtre

30 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS30 Réponse en fréquence Des fonctions propres particulières sont les fonctions harmoniques

31 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS31 Transformée en Z n Par analogie avec la TF discrète la fonction est appelée Transformée en z de x. n C est une série de Laurent, convergente sur une couronne centrée sur O : n Ainsi la fonction de transfert est la Transformée en z de la RI.

32 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS32 Propriétés de la TZ n Retard : n Transformation du produit de convolution en produit simple : n Linéarité

33 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS33 Transmittance dun filtre réalisable n Equation aux différences : n Transformée en Z : La transmittance est une fraction rationnelle de deux polynômes en z -1 (ou en z) –n = ordre du filtre –les racines de N(z) sont les zéros de la transmittance –les racines de D(z) sont les pôles de la transmittance.

34 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS34 Stabilité n Stabilité EBSB : un filtre est stable EBSB si à toute Entrée Bornée correspond une Sortie Bornée. n Equation de convolution : –Un FIR est toujours stable (suite finie) –Un IIR peut être instable (suite infinie) n Confirmé par létude de la transmittance : Rôle fondamental des 0 et des pôles –m = 0 : non récursif FIR tous zéros MA –n=0 : récursif IIR tous pôles AR –m et n : récursif ; IIR ; pôle-zéros ; ARMA

35 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS35 Stabilité dun filtre causal n Stabilité EBSB : n Filtre causal :

36 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS36 Stabilité dun filtre causal n Filtre causal stable : n Un filtre causal est stable EBSB si et seulement si tous les pôles de sa transmittance sont strictement à lintérieur du cercle unité du plan complexe. Instabilité Stabilité Cercleunité

37 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS37 e m X p 1 X p 2 * X p 1 * X p 2 Filtre instable O z 1 * O z 1 1 e m X p 1 X p 2 * X p 1 * X p 2 Filtre stable O z 1 * O z 1 1

38 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS38 Caractéristiques générales n Les filtres FIR sont les seuls à permettre un déphasage linéaire (par rapport à la fréquence) n Les filtres IIR sont en général plus économiques mais plus sujets à des erreurs numériques, même quand ils sont stables (récursivité) Un zéro z i de H placé sur le cercle unité correspond à un zéro de transmission de la fréquence i =Arg(z i ). Un zéro z i de H placé sur le cercle unité correspond à un zéro de transmission de la fréquence i =Arg(z i ). Un pôle p i de H placé sur le cercle unité correspond à une résonance de transmission de la fréquence i =Arg(p i ). Un pôle p i de H placé sur le cercle unité correspond à une résonance de transmission de la fréquence i =Arg(p i ).

39 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS39 Exemple : filtre de Butterworth Fonctions de Butterworth Fonctions de Butterworth : Filtre analogique Filtre analogique :

40 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS40 Fonctions de Butterworth

41 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS41 Passage au discret La transformation bilinéaire est la méthode la plus courante pour synthétiser un filtre numérique à partir dun filtre analogique Fonction de transfert en p Fonction de transfert en z Fonction de transfert en p Fonction de transfert en z Correspondance entre fréquence numérique et fréquence analogique : Substitution :

42 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS42 Filtre passe bas Filtre passe bas filtre passe bande p b h p b h

43 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS43 Aspects pratiques Choix du filtre : - fonctions de base : Butterworth, Tchebytcheff, elliptique... - fonctions de base : Butterworth, Tchebytcheff, elliptique... - ou filtre spécial équations de Yule-Walker...) - ou filtre spécial ( équations de Yule-Walker...) - ordre : ordre augmente - ordre : ordre amélioration des performances en augmentation du déphasage (en perte de données au début (phase augmentation du coût en temps de calcul. - ou gabarit. - ou gabarit.gabarit - fréquences de transition : - fréquences de transition le filtre utilise des numéros d'événement, pas le le filtre utilise des numéros d'événement, pas le temps utilisation de fréquences normalisées : utilisation de fréquences normalisées :

44 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS44 Gabarit dun filtre

45 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS45 Aspects pratiques (suite) Utilisation du filtre : - fonction de transfert - fonction de transfertfonction de transfertfonction de transfert - programmation en cellule - programmation en celluleprogrammation en celluleprogrammation en cellule Elaboration du filtre : logiciels existants logiciels existants logiciels existants

46 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS46 Utilisation de la fonction de transfert Fonction de transfert : Equation aux différences : Programmation récursive (boucle sur k) Initialisation :

47 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS47 Représentation en cellules Il est pratique dutiliser une factorisation de la fonction de transfert en cellules du second ordre (fournie par les logiciels en général) : Fonction de transfert : Programmation séquentielle des cellules : Réponse impulsionnelle :

48 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS48 Traitement du signal interactif n Directement sur le WEB : –Liste de sites montrants des démos : –Un tableau de bord permettant de visulaiser à la fois les zéros et les pôles, la RI, la réponse en fréquence pour les fitres les plus courants : –Conception automatique de filtres, visualisation de leur réponse en fréquence et affichage de la fonction de transfert : n Logiciels : –MATLAB : logiciel universellement utilsé dans le monde du traitement du signal ; puissant mais onéreux. –SCILAB : logiciel gratuit développé par lINRIA (http://www-rocq.inria.fr/scilab/) offrant des fonctions intéressantes mais peu convivial. –OCTAVE : une autre alternative gratuite à MATLAB(plus répandue apparemment) :

49 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS49 Exemples n Construction interactive de filtre sur Construction interactive de filtre sur Construction interactive de filtre sur n Mise en évidence du déphasage Mise en évidence du déphasage Mise en évidence du déphasage n GOCE :

50 - Le filtre d ordre 2 a un gain plus proche de … mais il déphase plus. - Noter les effets de linitialisation

51 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS51 Processus MA, AR, ARMA n Ce sont des modèles de processus stochastiques qui reposent sur la transformation dun bruit blanc par un filtre linéaire. Filtre FIR Modèle à moyenne mobile (MA) Filtre FIR Modèle à moyenne mobile (MA) Filtre IIR tous pôles Modèle autorégressif (AR) Filtre IIR tous pôles Modèle autorégressif (AR) Filtre IIR Modèle autorégressif à moyenne mobile (ARMA) Filtre IIR Modèle autorégressif à moyenne mobile (ARMA)

52 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS52 Filtrage optimal de Wiener Position du problème : On cherche un filtre linéaire w(t) tel que : Filtre optimal Position du problème : On cherche un filtre linéaire w(t) tel que : Filtre optimal minimisation de lerreur destimation principe dorthogonalité Signal observé Signal cherché bruit

53 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS53 La DSP de y peut-être calculée à partir des observations mais on na en général pas accès à la DSP mutuelle de x et y….

54 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS54 … un truc à essayer Calculable si on une idée à priori de la DSP du bruit.

55 2-6 septembre 2002Ecole d été GRGS55 Bibliographie –« Processus stochastiques, estimation et prédiction », cours de M. Gevers et L. Vandendorpe, Université catholique de Louvain. –Représentation des signaux certains et des systèmes », Dominique Beauvois et Yves Tanguy, Supélec, –« Traitement numérique des signaux certains », Yves Tanguy, Supélec, –« Filtrage analogique et numérique », cours Dept GEII IUT Bordeaux I, G. Couturier.


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