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N. BOUDAOUD Plans dexpériences 1 Les plans Factoriels Fractionnaires 2 k-p.

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1 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 1 Les plans Factoriels Fractionnaires 2 k-p

2 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 2 Approche fractionnaire Dans un plan factoriel complet, le nombre dessais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs –4 facteurs : 2 4 =16 essais –5 facteurs : 2 5 =32 essais –7 facteurs : 2 7 =128 essais Nombre de facteurs Nombre dessais Les plans fractionnaires sont des plans optimaux orthogonaux qui se focalisent sur les effets les plus intéressant

3 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 3 Relation nombre dessais et nombre de ddl Règle –le nombre minimal dessais à réalisé est égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle) Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A,B,C et 2 interactions AB, AC –ddlA+ddlB+ddlC+ddlAB+ddlAC+1=6 ddl de la moyenne

4 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 4 Objectif : Réduction du nombre dessais –Focalisation sur les effets les plus intéressants Hypothèse : –Interactions dordre supérieur à 2 sont souvent négligeables : ABC, ABCD, ABCDE… Ex: 5 facteurs A,B,C,D,E 32 essais –Les informations utiles : A,B,C,D,E : 5 Interaction dordre 1 : 10 –Une table avec 16 essais (2 5-1 ) suffirait… Plans Fractionnaires à 2 niveaux Lorsque le nombre de facteurs augmente, le rapport du nombre dinformations utiles au nombre total dessais diminue de façon alarmante ! Réduction de la taille des plans

5 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 5 Démarche pour le choix dune table dexpérimentation Faire le bilan sur –le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) –Le nombre dinteractions –Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le nombre dessais minimal nécessaire. ddl(total)=somme des ddl des facteurs ddl(Facteur)=Nombre de modalité du facteur moins 1 Choisir la table en adéquation avec le nombre dessais minimum Affecter les facteurs aux colonnes –Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur la fréquence de variation des niveaux des facteurs dun essai à lautre.

6 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 6 Démarche pour le choix dune table dexpérimentation Tables orthogonales et tables des interactions associée 1x2 1x4 2x4 AB C L 8 (2 3 ) 3 facteurs A,B,C + 3 interactions Sans confusion

7 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 7 Démarche pour le choix dune table dexpérimentation Tables orthogonales et tables des interactions associée 1x2 4x7 1x4 2x7 2x4 1x7 AB CD L 8 (2 3 ) 4 facteurs A,B,C, D + interactions Sans confusion

8 N. BOUDAOUD Plans dexpériences Plan complet : 2 4 =16 essais Liste des facteurs et interactions : –A,B,C,D : 4 –AB,AC,AD,BC,BD,CD : 6 interactions ordre 1 –ABC,ABD,ACD,BCD : 4 interactions ordre 2 –ABCD : 1 interaction ordre 3 –Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais 15 colonnes Plan : Etude de 4 facteurs Réduire le nombre dessais Réaliser le plan fractionnaire ( 8 essais) ?

9 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 9 L16 L8(2 3 ) Table à 16 essais (4 facteurs ABCD) Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ???

10 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 10 Le plan Chaque facteur (A,B,C) et les interactions occupent une colonne. Pour tester le facteur D et les interactions avec (A,B,C,AB,AC,BC,AC,ABC) avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà occupées ABC interaction probablement négligeable D est affecté à la colonne ABC Conséquences :Niveaux de D et ABC suivent les mêmes changements de signes A quelle colonne affecter le facteur D ?

11 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 11 Affectation des Facteurs et interactions : Alias D et ABC sont donc aliasés : D=ABC Les autres colonnes A, B, C, AB,.. vont être aliasés avec les interactions de D EssaiABCDY 1 Y1 2 Y2 3 Y3 4 Y4 5 Y5 6 Y6 7 Y7 8 Y8 Comment déterminer tous les aliases ?

12 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 12 Détermination des aliases Propriétés Commutativité : AB=BA Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC Elément Neutre I (colonne de (+)): I.A=A.I=A A.A=I quel que soit A Légalité D=ABC peut sécrire I=D.D=DABC=ABCD I=ABCD appelé GENERATEUR DALIAS Détermination de tous les alias : –I.A=ABCD.A=BCD A=BCD –I.B=ABCD.B=ACD B=ACD Conséquences

13 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 13 Liste des alias Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées ? On parle de Contrastes

14 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 14 Calcul des contrastes Colonne 1 : A et BCD –Contraste : h 1 =A+BCD=1/8(-y1+y2-y3+y4-..+y8) Colonne 2 : B et ACD –Contraste : h 1 =B+ACD=1/8(-y1-y2+y3+y4-..+y8) Etc.. Exemple : Etude de linfluence sur Y = allongement à la rupture dun élastomère (en %) des facteurs : A : nature de lélastomère B : taux dadditif ( autour de la valeur préconisée) C : Système de vulcanisation D : taux de kaolin

15 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 15 Exemple ( suite) Plan fractionnaire Alias D=ABC Générateur dalias –I=ABCD EssaiABCDY Niveau (-1) Niveau (+1) Contrastes h1 =A+BCD h2 =B+ACD h3 C+ABD h4 =D+ABC h5 =AB+CD h6 BC+AD h7 AC+BD

16 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 16 Interprétation Hypothèses –Conditions de létude : les contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables –Compte tenu de la nature des facteurs les interactions dordre 2 sont probablement négligeables Interprétation physique : une interaction élastomère-additif (AB) est plus plausible quune interaction entre système de vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte) Conséquences : –h1= A –h2= B –h3= C –h4=-3.75 D 0 –h5=AB+CD= ? Quel est linteraction la plus prépondérante ? –H6 et h7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés Effet A et de C sont du même ordre de grandeur Effet de B important, D insignifiant. On peut donc penser que dans h5 linteraction AB et plus significative que CD AB= Conclusion

17 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 17 Conclusion Un excès dadditif diminue lallongement à la rupture, surtout avec lélastomère 2. Lélastomère 2 et préférable au 1. Système de vulcanisation 2 est meilleur Kaolin sans influence Bilan Nous avons pu conclure de façon satisfaisante avec 8=2 4-1 essais pour 4 facteurs. Nous avons effectué la moitié dun plan complet 2 4 Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB –E A = –E B = –E C = –E AB =-13.75

18 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 18 Remarques Lutilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque lon a une connaissance minimum a priori sur les interactions. A lissue de lexploitation dun plan fractionnaire, si linformation obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition quelle soit choisie de façon judicieuse.

19 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 19 Plan (groupe dalias) Cas dun plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE –plan complet 32 essais

20 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 20 Plan 2 5 plan complet

21 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 21 Plan (groupe dalias) ABABCACBCABC Affectation des facteurs D et E Choix des colonnes Détermination du groupe de générateurs dalias - indépendants - dépendants Détermination des alias Réduction du nombre dessais de 32 à 8 essais

22 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 22 Générateurs dAlias D=ABC et E= AC. Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE

23 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 23 Généralisation Plan fractionnaire 2 k-p Choix dun plan fractionnaire –pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2 k expériences –on réduit ce plan en prenant 2 k-p expériences avec –k-p 3 si k=4,5,6 et k-p=4 si k=7,..15. –On a donc recours au plan 2 3 ou 2 4. Alias et générateurs daliases –Dans un plan 2 k-p on dispose de p aliases indépendants dont on déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2 p -1 générateurs dalias. Exemples : –4 facteurs : –p=1, 1 alias D=ABC, 1 générateur daliases I=ABCD –5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB, 3 générateurs daliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE –6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs daliases.

24 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 24 Essais par blocs

25 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 25 Réalisation dessais par Blocs Quand ? Si lon souhaite réaliser des essais décalés dans le temps –Ex : pour des raisons de temps on ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement Utiliser 2 machines par exemple Tester leffet de 4 facteurs A,B,C,D –Solution : partager la table. Comment ? On peut prendre les essais 1-4 sur le 1er équipement puis 5 à 8 sur le second équipement Table L8 Effet de léquipement Confondu avec leffet de A Equipement 1 Equipement 2

26 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 26 Réalisation dessais par Blocs On ne pourra pas distinguer leffet de A de celui de léquipement Idée pour éviter la confusion avec A : –Rechercher 2 blocs tel que leffet de léquipement ne soit pas confondu avec un facteur principal –Création dun facteur fictif : X (équipement) Choix dune colonne daffectation –Par exemple : ABC, AC, BC Découpage des blocs : –Bloc 1: 1,3,6,8 –Bloc 2 : 2,4,5,7

27 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 27 Exemple Un plan factoriel 8 essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% dallongement après 24 heures) dune pièce. Facteurs listés sont : A : la température B : la quantité de gomme C : la quantité dadditif EssaiTempératureGommesAdditifRéponse(%) Mélangeur 1 Mélangeur 2 Comment répartir les essais sur Les 2 mélangeurs ?

28 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 28 Exemple EssaiTempératureGommesAdditifRéponse(%) Mélangeur 1 Mélangeur 2 Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 : - essais : essais : Cela permet de ne pas Confondre leffet « changement de mélangeur » Avec un facteur du plan Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7 De la table L8(2 3 )

29 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 29 Exemple EssaiTempératureGommesAdditif Melangeur (C7) Réponse(%) Mélangeur 1 Mélangeur 2 Comment estimer leffet bloc ? Au travail !

30 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 30 Solution

31 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 31 Solution F0.95(1,3)=10.01 Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc ?

32 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 32 Plans screening Les plans screening (Plaket-Burman) sont utilisés pour tester les facteurs principaux Qui ? Ne concerne que les plans à 2 niveaux Quand ? Lorsque le nombre de facteurs est élevé Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas complexes Comment générer ces plans ? –Algorithme de permutation circulaire

33 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 33 Plans screening On donne la séquence de signes de la première ligne On réalise une permutation circulaire à partir de la droite On complète la dernière ligne par -1 Essayons !

34 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 34 Plans screening Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser –k inférieur ou égal à 3 (N=4): –k inférieur ou égal à 7 (N=8): –k inférieur ou égal à 11(N=12) : –k inférieur ou égal à 15 (N=16) : –k inférieur ou égal à 19 (N=20):

35 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 35 Exemple : tenue de soudage de supports Un plan dexpérience de type SCREENING a permis de tester linfluence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports : Les réponses sont : –Y1 : taux de microdéfauts souhaité < 20% –Y2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB Les facteurs sont : –A : type de décapage-1 (mécanique) +1 (non mécanique) –B : jeu de supports-1 (0.1 mm)+1 (0.5 mm) –C : nature de soudure-1 (C10)+1 (C20) –D : montée en température-1 ( 5 min)+1 ( 10 min) Générer le plan dexpérience « screening »!

36 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 36 Exemple 4 facteurs, –k inférieur ou égal à 7 : 8 essais Construire la table

37 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 37 Exemple ABCDY1Y

38 N. BOUDAOUD Plans dexpériences 38 Analyse du plan Estimation des effets moyens Analyse de Variance Écriture du modèle et validation


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