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Analyse dimensionnelle Pierre GONTARD – Lycée lOiselet 38300 BOURGOIN-JALLIEU.

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1 Analyse dimensionnelle Pierre GONTARD – Lycée lOiselet BOURGOIN-JALLIEU

2 2 Le système international dunités Il repose sur 7 grandeurs fondamentales : GrandeurUnité SI Longueurmètre (m) Tempsseconde (s) Massekilogramme (kg) Intensité du courant ampère (A) Quantité de matière mole (mol) Températurekelvin (K) Intensité lumineuse candela (cd) Les unités SI des autres grandeurs sexpriment en fonction de ces unités de base.

3 3 Le système international dunités Exemples : La vitesse (v = d/t) sexprime en mètre par seconde ms-1. Lénergie cinétique (Ec = ½ mv2) sexprime en joule et 1 J = 1 kgm2s-2. Lunité SI de la concentration molaire (c = n/V) est la mole par mètre cube (molm-3).

4 4 Notion de dimension Les grandeurs qui décrivent un phénomène physique sont caractérisées par leur « dimension ». Une grandeur peut avoir la dimension dune masse, dune énergie, dune tension électrique… La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, lintensité du courant… qui seront notées pour simplifier : L, T, M, I, … La notion de dimension est très générale et ne sup- pose aucun choix particulier de système dunités.

5 5 GrandeurDimension Longueur L Temps T Masse M Intensité du courant I Quantité de matière N Température

6 6 Analyse dimensionnelle Faire lanalyse dimensionnelle dune relation consiste à remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension. Exemple : la vitesse est le quotient dune longueur par un temps, léquation aux dimensions sécrit : [v] = LT-1. La dimension dune grandeur quelconque peut sexpri- mer à partir des dimensions fondamentales. Toute expression doit être homogène, cest-à-dire que ses deux membres doivent avoir la même dimension. Exemple : dans la relation Ec = WAB(&) les deux membres ont la dimension dune énergie.

7 7 Dimension dune grandeur Energie cinétique : Ec = ½ mv2 [E c ] = ? [E c ] = ML 2 T -2 Densité dun liquide : d = [d] = ? La densité est une grandeur sans dimension. Masse volumique : = [ ] = ? [ ] = ML -3

8 8 Dimension dune grandeur Remarque : une grandeur sans dimension peut cependant avoir une unité. Exemple : lunité dangle, dans le système international, est le radian et [] = 1 puisque : R A B

9 9 Dimension dune grandeur Dimension dune force ? Relation que lon pourra retrouver (plus simplement) à partir de la 2e loi de Newton : F = ma. On peut exploiter le théorème de la variation de lénergie cinétique : Ec(B) – Ec(A) = WAB(&) Ec = &i = FABcos si = 0 ? ML2T-2L-1 = MLT-2 Remarque : [F] = MLT-2 1 N = 1 kg.m.s-2

10 10 Dimension dune grandeur Il peut être parfois relativement difficile dobtenir le résultat… Exemple : la tension électrique U a pour dimension [U] = L2 M T-3 I-1 résultat qui peut sobtenir en combinant les différentes relations : F = q·E ; E = U/d ; q = I·t ; F = m·a… On pourra, en général, garder [U] dans léquation aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi dohm uR = Ri, on pourra écrire :

11 11 Homogénéité dune formule Une équation est dite homogène si ses deux membres ont la même dimension. Exemple : « v = dt » nest pas homogène : [v] = LT-1 et [dt] = LT La relation v = dt est donc fausse. Attention, une expression homogène nest pas nécessairement juste : Ec = mv2…

12 12 Homogénéité dune formule Le faisceau laser ayant une longueur donde, parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homogènes ?

13 13 Homogénéité dune formule [d] = L2L-1 = L [d] = L2L-2 = 1 L [d] = L2L-1 = L [d] = L3 L La formule correcte est : Mais lanalyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver.

14 14 Homogénéité dune formule Vérifier que la formule : T0 = 2 est homogène. Formule où T0 représente la période des oscillations dun pendule simple, sa longueur et g lintensité de la pesanteur.

15 15 Homogénéité dune formule T 0 = 2 T 0 = 2 Lexpression est homogène si : [T 0 ] = [T0] = T ; [] = L P = mg g = P/m [g] = [F]/[m] = MLT-2M-1 = LT-2 [/g] = LT2L-1 = T2 et donc = T

16 16 Autre règle importante Pour respecter lhomogénéité dune relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de même dimension. Exemples : Ec + Ep = E ; uR + uC = 0 … Une relation telle que : (1) nest correcte que si : [] = ? T-1 car : (1) Forme différentielle de la loi de décroissance radioactive ( : constante radioactive).


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