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Introduction au calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Groupe quantique du LRI

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Présentation au sujet: "Introduction au calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Groupe quantique du LRI"— Transcription de la présentation:

1 Introduction au calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Groupe quantique du LRI

2 2 Vers la nanotechnologie Taille des composants Nombre des composants Vitesse Gordon Moore 1965 Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ? Limitation théorique atteinte en 2020 !!! Apparition de phénomènes quantiques...

3 3 Le photon Caractéristiques : la direction, la longueur donde, la polarisation.

4 4 Filtre polarisant ? Sortie dun filtre polarisant : Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.

5 5 Jouons avec les photons 50% Polarisation verticale : Photon jamais détecté. Polarisation horizontale : Photon toujours détecté. Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 ! Polarisation diagonale = Mélange statistique ? 100 % Polarisation diagonale = superposition quantique...

6 6 Superposition quantique ) Etat polarisation : superposition Filtre : mesure Mesure détecté non détécté Lobservation perturbe le système

7 7 Evolution quantique Transformations qui préservent la superposition ? Condition nécessaire : isométrie Une isométrie : la lame demi-onde Symétrie orthogonale autour de son axe Transformations orthogonales : telle que Orthogonale Réversible

8 8 Le qubit Bit classique : élément déterministe Bit probabiliste : distribution probabiliste Bit quantique : superposition quantique

9 9 Evolution du qubit Transformations unitaires : G Unitaire Réversible : G * Mesure : Lire et Modifier Mesure

10 10 Un premier exemple Le problème Entrée : Sortie : 0 ssi f est constante Complexité en requêtes Contrainte : f est une boîte noire Déterministe : 1+N/2 requêtes Quantique : 1 requête f(3) = ? f(3) = 1

11 11 Solution quantique (N=2) Implémentation de f Attention : nest pas nécessairement réversible ! Circuit quantique HMesureH ? Porte Hadamard : lame demi-onde à 22,5° H

12 12 Analyse (N=2) HMesureH ? Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final : f constante f non constante HMesure

13 13 Systèmes à 2-qubit Définition : Transformations unitaires : Mesure

14 14 Le problème des cadenas Le problème Entrée : Sortie : Contrainte : f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : (N) requêtes Quantique : ( N) requêtes

15 15 Remarques préliminaires Implémentation de f Double porte Hadamard H H H H

16 16 Solution quantique (N=4) HH ? HH Initialisation : Parallélisation : Appel de f : Interférences : H H Appel de : 0 Regroupement : Mesure H H H H H H

17 17 Analyse géométrique

18 18 Transformée de Fourier quantique H H H

19 19 Un peu de théorie Toute fonction se décompose dans La base de Dirac : La base de Fourier : Transformée de Fourier discrète Analogue quantique Remarque : Implémentation efficace de QFT !

20 20 Le problème de Simon Le problème Entrée : Sortie : s Complexité en requêtes Contrainte : f est une boîte noire Probabiliste : requêtes Quantique : O(n) requêtes Idée : utiliser QFT pour rechercher la période s.

21 21 Solution quantique Mesure ? Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final : Mesure

22 22 Retrouver la période Après n itérations : sont observés Avec probabilité (1) : sont de rang (n-1) Résoudre le système : Solutions : et !

23 23 Généralisation Groupe abélien G quelconque Il existe un circuit quantique polynomial en ln|G| qui trouve la période dune fonction quelconque sur G. Factorisation Entrée : n N Sortie : un diviseur non trivial de n Calcul de lordre dun élément Entrée : n,a N Sortie : le plus petit entier q tq Réduction : Factorisation Calcul de lordre Vérifier PGCD(a,n)=1 Calculer lordre q de a mod n Recommencer si q impair ou Sinon Renvoyer

24 24 Principales applications Cryptographie –Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84] Implémentation : ~ 100 km Information quantique –Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93] Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Zeilinger 97] Algorithmique –Factorisation, logarithme discret,... [Shor 94] –Recherche [Grover 96] Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]

25 25 A suivre... Problèmes ouverts –problème des collisions –isomorphisme de graphes –classes de complexité quantique Liens Stages, thèses ClassiqueQuantique Plusieurs collisions Unique collision


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