Introduction au calcul quantique

Présentation au sujet: "Introduction au calcul quantique"— Transcription de la présentation:

1 Introduction au calcul quantique
Frédéric Magniez CNRS - LRI Groupe quantique du LRI

2 Vers la nanotechnologie
Gordon Moore 1965 Taille des composants Nombre des composants Vitesse Limitation théorique atteinte en !!! Apparition de phénomènes quantiques... Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?

3 Le photon Caractéristiques : la direction, la longueur d’onde,
la polarisation.

4 Filtre polarisant ? Sortie d’un filtre polarisant :
Lumière polarisée selon la direction du filtre. Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.

5 Jouons avec les photons
50% 100 % 50% Polarisation verticale : Photon jamais détecté. Polarisation horizontale : Photon toujours détecté. Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 ! Polarisation diagonale = Mélange statistique ? Polarisation diagonale = superposition quantique ...

6 Superposition quantique
Etat polarisation : superposition ) Filtre : mesure détecté Mesure non détécté L’observation perturbe le système

7 Evolution quantique Transformations qui préservent la superposition ?
Condition nécessaire : isométrie Une isométrie : la lame demi-onde Symétrie orthogonale autour de son axe Transformations orthogonales : telle que Orthogonale Réversible

8 Le qubit Bit classique : élément déterministe
Bit probabiliste : distribution probabiliste Bit quantique : superposition quantique

9 Evolution du qubit Mesure : Lire et Modifier
Transformations unitaires : G Unitaire Réversible : * G

10 Un premier exemple Le problème Complexité en requêtes Entrée :
Sortie : 0 ssi f est constante Contrainte : f est une boîte noire f(3) = ? f(3) = 1 Complexité en requêtes Déterministe : 1+N/2 requêtes Quantique : 1 requête

11 Solution quantique (N=2)
Attention : n’est pas nécessairement réversible ! Implémentation de f Porte Hadamard : lame demi-onde à 22,5° H Circuit quantique H H Mesure ?

12 Analyse (N=2) Initialisation : Parallélisation :
f constante H H H Mesure Mesure ? f non constante Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :

13 Systèmes à 2-qubit Définition : Transformations unitaires : Mesure

14 Le problème des cadenas
Entrée : Sortie : Contrainte : f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : (N) requêtes Quantique : ( N) requêtes

15 Remarques préliminaires
Implémentation de f Double porte Hadamard H H H H

16 Solution quantique (N=4)
H H H H H H Mesure Mesure ? H H H H H H Initialisation : Parallélisation : Appel de f : Interférences : Appel de : d Regroupement :

17 Analyse géométrique

18 Transformée de Fourier quantique
H H H

19 Un peu de théorie Transformée de Fourier discrète Analogue quantique
Toute fonction se décompose dans La base de Dirac : La base de Fourier : Analogue quantique Remarque : Implémentation efficace de QFT !

20 Le problème de Simon Le problème Complexité en requêtes Entrée :
Sortie : s Contrainte : f est une boîte noire Complexité en requêtes Probabiliste : requêtes Quantique : O(n) requêtes Idée : utiliser QFT pour rechercher la période s.

21 Solution quantique Initialisation : Parallélisation :
Mesure Mesure ? Initialisation : Parallélisation : Appel de la fonction : Interférences : Au final :

22 Retrouver la période Après n itérations : sont observés
Avec probabilité (1) : sont de rang (n-1) Résoudre le système : Solutions : et !

23 Généralisation Groupe abélien G quelconque
Il existe un circuit quantique polynomial en ln|G| qui trouve la période d’une fonction quelconque sur G. Calcul de l’ordre d’un élément Entrée : n,a  N Sortie : le plus petit entier q tq Factorisation Entrée : n  N Sortie : un diviseur non trivial de n Réduction : Factorisation Calcul de l’ordre Vérifier PGCD(a,n)=1 Calculer l’ordre q de a mod n Recommencer si q impair ou Sinon Renvoyer

24 Principales applications
Cryptographie Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84] Implémentation : ~ 100 km Information quantique Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93] Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Zeilinger 97] Algorithmique Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94] Recherche [Grover 96] Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]

25 A suivre... Problèmes ouverts Liens Stages, thèses
problème des collisions isomorphisme de graphes classes de complexité quantique Liens Stages, thèses Classique Quantique Plusieurs collisions Unique collision