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ML 1 TD SA n°10: Proposition de correction. ML2 Exercice n°1: Etude de stabilité. Ordre, nombres dentrées et de sorties? est une représentation détat.

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1 ML 1 TD SA n°10: Proposition de correction

2 ML2 Exercice n°1: Etude de stabilité. Ordre, nombres dentrées et de sorties? est une représentation détat de la forme Dans notre cas détude, on a un système dordre 2, ayant 1 entrée et 2 sorties.

3 ML3 Pourquoi calculer de lexponentiel de matrice? La solution analytique de léquation détat est donnée par léquation Concrètement, cela signifie que si lon connaît létat donné dun système à linstant t 1, et que si lon est capable de calculer lexponentiel de la matrice A, alors on est capable de déterminé létat du système à nimporte quelle entrée. doù lintérêt de savoir calculer

4 ML4 Daprès le théorème de Cayley –Hamilton, la matrice A est solution de son équation caractéristique: Est une équation polynomiale de degré n A n peut sexprimer en fonction de A j pour j de 0 à (n-1) On en déduit que lon a:

5 ML5 Si le système présente n valeurs propres distinctes,, on a nécessairement Il sagit dun système de n équations à n inconnues: les Dès que lon connaît ces n inconnues, on peut écrire

6 ML6 Application à notre cas détude 1. On résout léquation caractéristique: Ce système possède n valeurs propres distinctes, on est bien dans les conditions de validation de la méthode 2. On résout le système 3. On en déduit

7 ML7 Représentation détat des 3 bacs On écrit, pour chacun des 3 bacs, léquation dévolution dune grandeur conservative Prenons le volume….

8 ML8 Ecriture matricielle

9 ML9 Exercice n°3: Système de type 2 1.Il sagit dun système dordre 3, le degré du dénominateur et de type 2; le nombre dintégrateur. dun système instable en boucle fermée 2.Il sagit dun système instable en boucle fermée. Si lon en trace le diagramme de Black, le déphasage Entrée/Sortie est toujours supérieur à 180°, du fait de la double intégration. Le lieu de black laisse le point critique à gauche lorsquon le parcours dans le sens des pulsations croissantes.

10 ML10 Représentation détat

11 ML11 Représentation détat de la boucle fermée On souhaite dimensionner un vecteur de retour détat De sorte que la boucle fermée ait une dynamique déterminée…. 1 er méthode: Calculer les valeurs propres de (A-BG) en fonction de g 1, g 2 et g 3, puis les identifier avec les pôles de la fonction de transfert souhaitée. Cette méthode est beaucoup plus lourde au niveau des calculs à mener, mais présente lavantage de ne pas dépendre de la représentation détat choisie. 2 ième méthode: Identifier les représentations détat de la fonction de transfert souhaitée et de (A-BG). Il est alors impératif de prendre le même vecteur détat.

12 ML12 Identification des 2 représentations détat. Lidentification donne:

13 ML13 + -


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