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Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 1 Evaluation des connaissances et des compétences en mathématique IREM LIEGE-LUXEMBOURG.

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1 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 1 Evaluation des connaissances et des compétences en mathématique IREM LIEGE-LUXEMBOURG A. Coolen - P. De Rijck - R. Marquet - J. Navez - M. Solhosse - P. Stegen - J. Rossi - E. Rouy

2 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 2 Quelles compétences évaluer ? 3 ou 4 compétences principales du cours de mathématique connaître appliquer résoudre des problèmes, ou/et modéliserrésoudre démontrer

3 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 3 La compétence « connaître » restituer expliciter des savoirs expliciter des procédures synthétiser généraliser comparer

4 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 4 Expliciter des savoirs (1/2) Soit la fonction f(x) = m.x + p Par quoi se représente graphiquement cette fonction ? Expliquer les rôles de m et p dans cette représentation graphique. Que peut-on dire si m > 0, si m < 0, si m = 0 ? Que peut-on dire si p > 0, si p < 0, si p = 0 ? Pour une droite donnée, que peut-on dire de la valeur de ?

5 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 5 Expliciter des savoirs (2/2) Soit une fonction f de domaine de définition A et dont lensemble des images est B. a) Quelle propriété doit vérifier la fonction f pour quelle admette une fonction réciproque, notée f -1 ? (Donner le nom de cette propriété en français ainsi que sa formulation mathématique). b) Comment peut-on vérifier facilement cette propriété à partir de la représentation graphique de f ? c) Si f -1 existe, quel est son domaine de définition et son ensemble des images ? d) Si y = f(x), quelle relation existe entre x et y par lintermédiaire de la fonction f -1 ?

6 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 6 Voici la représentation graphique dune fonction f. Justifier que f admet une fonction réciproque. Tracer avec précision la représentation graphique de cette réciproque (citer la propriété qui vous permet de construire ce graphique). Expliciter les procédures

7 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 7 Synthétiser (1/3) Tracer dans un système daxes orthonormés les fonctions f(x) = e x et f –1 (x) = lnx. Donner les principales caractéristiques de ces deux fonctions (domaine de définition, ensemble des images, limites et asymptotes, tableau de croissance et décroissance, signe). Donner la classification des fonctions exponentielles de base a (a > 0). Toutes ces fonctions admettent-elles une fonction réciproque ? Justifier. Quel nom porte les fonctions réciproques ? Quel est leur domaine de définition ? Quel est lensemble de leurs images ? Donner leur classification.

8 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 8 Synthétiser (2/3) En statistique, les paramètres appelés paramètres de « tendance centrale » (le mode, la moyenne et la médiane ) a) sont-ils toujours approximativement au centre de la distribution ? b) ont-ils toujours approximativement les mêmes valeurs ? Peut-on prévoir sil en sera ainsi ou pas ? c) montrer que linterprétation des trois valeurs obtenues, plutôt que le calcul habituel de la seule moyenne, permet denrichir les résultats dune étude statistique.

9 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 9 Synthétiser (3/3) Soit un nuage de points (x,y) à tendance linéaire et une droite modèle ^y=ax+b. Décrire succinctement la méthode des moindres carrés. Trouver la somme S(a,b) des carrés des écarts entre les valeurs prévues et les valeurs observées parallèlement à l axe Y. Calculer les dérivées partielles S(a) et S(b). Définir la covariance de deux variables x et y. Donner l équation de la droite modèle. Donner la définition géométrique du carré du coefficient de corrélation linéaire r.

10 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 10 Généraliser

11 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 11 Comparer Comparer les modèles de capitalisation à intérêt simple et à intérêt composé. Le modèle donnant la meilleure valeur acquise est le modèle à intérêt simple si la durée de placement est inférieure à un an, et le modèle à intérêt composé si la durée de placement est supérieure à un an. Illustration graphique : modèle à I.S. (linéaire) et modèle à I.C. (exponentiel).

12 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 12 La compétence « appliquer » appliquer des formules appliquer des procédures appliquer un algorithme

13 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 13 Appliquer des formules calculer la longueur de lhypoténuse dun triangle rectangle calculer une dérivée calculer la valeur acquise par un capital placé à intérêt composé développer la puissance dune somme de deux termes par le binôme de Newton...

14 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 14 Appliquer des procédures (1/3) Tracer la droite déquation x + 2y - 6= 0 Résoudre léquation Pour les tableaux suivants, précisez si lensemble de données suit une loi exponentielle ; si oui, précisez laquelle. xf (x)xf(x)xf(x)

15 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 15 Appliquer des procédures (2/3) Soient 6 observations à tendance croissante : (750, 300) (670, 290) (600, 210) (450, 220) (400, 150) (300, 90). Etablir le tableau recensé. Trouver les coordonnées du centre de gravité du nuage. Calculer var(x), var(y), cov(x,y), r² et r. Trouver léquation de la droite modèle et la tracer dans le nuage de points. Conclure quant à la validité du modèle.

16 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 16 Appliquer des procédures (3/3) Calculer, par parties, la primitive suivante : Décomposer en somme de fractions rationnelles simples :

17 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 17 Appliquer un algorithme Etudier la croissance et la décroissance de la fonction Calculer laire de la surface comprise entre les courbes d équation y = x² et y = 2x - x².

18 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 18 La compétence « résoudre des problèmes » Lélève est placé devant un problème nouveau pour lequel il connaît les outils de résolution. Quelques exemples :

19 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 19 Léquation de la demande (en quantités) qui sadresse à une entreprise est q = – 1000 p. Le coût variable est de 6 UM par article fabriqué et les coûts fixes sélèvent à UM. a) Trouvez une fonction qui donne la recette. b) Trouvez la fonction qui donne le coût total C.T.(celui-ci étant la somme des coûts variables C.V., cest-à-dire ceux qui varient en fonction de la quantité produite, et des coûts fixes C.F., cest-à-dire ceux qui existent quel que soit le niveau de production). c) Trouvez la fonction qui donne le résultat, que lon appelle généralement profit lorsque le résultat est positif et perte lorsque le résultat est négatif ; exprimez-la en fonction du prix p. d) Pour quelle valeur de p le profit est-il maximum et quelle est la valeur de q à fabriquer ? e) En adoptant le prix qui assure le profit maximum lorsque tout est vendu, trouvez la quantité q pour laquelle on atteint le seuil de rentabilité et calculez le chiffre daffaires correspondant. f) En supposant que C.V. soit une fonction linéaire du C.A. (chiffre daffaires), réalisez une représentation graphique des fonctions C.V., C.F. et C.T. en fonction de C.A. ; représentez la droite déquation C.T. = C.A. et déduisez graphiquement le seuil de rentabilité. Déterminez ensuite une formule donnant ce seuil de rentabilité. Montrer que le seuil de rentabilité ainsi obtenu est identique à celui calculé par lintermédiaire des formules de comptabilité. Premier et second degrés

20 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 20 Dans une entreprise, le volume des ventes de 1986 était de 2,74 millions. On sait que jusquen 2002 le taux de croissance annuel du volume des ventes était de 2,8%. Modélisez la fonction qui permet de donner le volume annuel des ventes t années après (Pour cela, expliquez de manière claire et détaillée comment on détermine le volume des ventes pour lannée 1987, ensuite expliquez comment on détermine le volume des ventes pour lannée 1988,… puis généralisez.) La rédaction de votre réponse doit partir dun raisonnement exprimé correctement en français avant la déduction des formules mathématiques. En supposant que lévolution du volume des ventes se poursuivra suivant le même modèle dans les années futures, quel sera le volume des ventes de lannée 2010 ? Fonctions exponentielles

21 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 21 Fonctions exponentielles (avec lanalyse) Les responsables dune entreprise lancent un nouveau produit sur le marché et estiment que le cycle de vie de celui-ci peut être défini par la relation où f(x) représente la quantité vendue (en milliers) et x le temps exprimé en années. Etudier cette fonction et déterminer les (quatre) phases classiques de la vie de ce produit pour 0 x 8. La diffusion de produits sur le marché est souvent caractérisée par 3 étapes : le démarrage (ou lancement), la croissance et la maturité. Cette évolution classique est caractérisée par une fonction de la forme : où a,b,c sont des constantes positives, x est le temps exprimé en années et f(x) représente les quantités vendues exprimées en milliers. Etudier cette fonction : pour plus de facilité fixer a=100, b=50 et c=1.

22 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 22 Une machine doit être remplacée. Deux solutions sont envisageables : la machine A coûte UM et a une durée de fonctionnement estimée à 4 ans ; la machine B coûte UM et a une durée de fonctionnement estimée à 5 ans. Les recettes espérées suite à lutilisation de chaque machine sont données dans le tableau suivant : AnnéesMachine AMachine B UM UM UM UM UM UM UM UM UM On ne procédera à lachat que si la rentabilité de linvestissement atteint au minimum 6% lan. Quelle est la solution à proposer parmi les trois suivantes : a) lachat de la machine A, b) lachat de la machine B, c) aucun investissement mais un placement financier au taux annuel de 6% des fonds prévus pour lachat. Mathématiques financières

23 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 23 La compétence « démontrer » Sil sagit de restituer une démonstration élaborée en classe, on teste la compétence « connaître ». Par contre, si on demande à l élève de chercher par lui-même une démonstration nouvelle pour lui, cela sapparente à une « résolution de problème » puisque lélève doit trouver par lui-même la démarche à suivre.

24 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 24 Lenseignement structuré autour de problèmes, décomposés en leurs différents éléments puis enrichi dexercices spécifiques est un idéal. Mais on accumule ainsi les difficultés. La phase dapprentissage permet de dissocier les deux aspects : la modélisation la maîtrise des techniques de calculs Une synthèse est alors nécessaire pour retravailler ensuite cela globalement. Aide didactique !

25 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 25 Les critères d évaluation Critères stables pour une année scolaire, qui doivent être communiqués aux élèves : vocabulaire précis, structure des phrases correcte, exactitude des définitions, des énoncés de propriétés et de théorèmes, cohérence du raisonnement, justification des étapes des démonstrations, précision des calculs, production dun plan de résolution,... Evaluation critériée mais qui doit rester globale Toutefois, les « barêmes » évoluent souplement au cours de l année.

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28 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 28 Association dune seule compétence à une question ? Pas toujours possible Exemple : a) Dans la théorie de lintérêt simple, il y a deux manières dactualiser : expliquer chacune delles et citer celle utilisée par les organismes financiers pour calculer la valeur actuelle lors d une opération d escompte dune créance commerciale b) Application : Le 15 mars, lentreprise A livre à lentreprise B des marchandises pour une somme de euros payables le 30 juin. Le 15 mai, lentreprise A, ayant besoin de liquidités, demande à sa banque d'escompter la créance qu'elle possède sur lentreprise B. Sachant que le taux d'escompte est de 6 %, combien lentreprise A va-t- elle recevoir de sa banque (sans tenir compte des autres frais : commission dendossement…) ? difficulté supplémentaire pour évaluer

29 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 29 Association dune seule compétence à une question ? Autre exemple : Supposons que dans un exercice de statistique, on demande de calculer la médiane et dinterpréter le résultat obtenu. Faut-il scinder la question en deux puisque le calcul de la médiane résulte de la compétence « appliquer » alors que linterprétation du résultat comporte une dimension supplémentaire plutôt apparentée à la compétence « résolution d un problème » ?

30 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 30 Remarques générales : Le cours de mathématiques a toujours visé lacquisition de compétences. Mais celles-ci nétaient pas clairement explicitées et nétaient pas évaluées séparément les unes des autres. Lévaluation de « maxi-compétences » permettra sans doute une analyse plus détaillée de la situation particulière de chaque élève, et donc lidentification plus précise déventuelles lacunes auxquelles il faudra remédier de manière appropriée. Mais noublions pas que les résultats partiels obtenus par lélève lors de la résolution dune question vont constamment interagir et quil est est donc plus important davoir une appréciation densemble que de morceler lévaluation en fonction de multiples critères.

31 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 31 La résolution de problèmes est certainement un objectif important sens des mathématiques. Il convient de résoudre des problèmes dans tous les chapitres où cela est intéressant, mais il ne faut pas construire des situations problèmes artificielles. Lapprentissage de la résolution de problèmes est difficile ; il doit être réalisé tout au long du cursus scolaire avec un niveau de difficulté progressif. La résolution de problèmes est dautant plus nécessaire chez les élèves peu intéressés par les mathématiques car il permet de justifier lintérêt du cours par la rencontre de situations concrètes.

32 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 32 Répétition des évaluations Les grandes compétences devront être testées dans plusieurs cadres : géométrie, algèbre, analyse, trigonométrie, probabilités,… Toutefois, le niveau de maîtrise des compétences ne sera pas pas nécessairement le même dans les différents cadres. Dès lors, la cote globale devra être le résultat dune pondération entre les différents cadres en fonction du volume de matière abordé et du temps consacré à lapprentissage.

33 Formation IFC 04/02/2004 et 23/04/2004 Evaluation des compétences 33 Maîtrise dune compétence Quand peut-on affirmer quune compétence est maîtrisée ? Si une compétence est maîtrisée tout au long de lannée dans tous les cadres, cela signifie irréfutablement la maîtrise globale de cette compétence. Que conclure lorsquune compétence est maîtrisée dans un cadre et pas dautres? Lorsquune compétence est maîtrisée en cours dannée lorsquon interroge sur des matières limitées et quelle ne lest plus au moment de lépreuve récapitulative ?


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