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Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011 Une phase méconnue des pratiques algorithmiques (IX e -XV e siècles) Ahmed DJEBBAR Université des Sciences.

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1 Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011 Une phase méconnue des pratiques algorithmiques (IX e -XV e siècles) Ahmed DJEBBAR Université des Sciences et des Technologies de Lille

2 Les algorithmes de la tradition arabe (IX e -XV e s.) Un ensemble dinstructions pour : - Calculer une solution exacte ou appro- chée dun problème - Réaliser une construction - Etablir un résultat

3 Origine du mot algorithme Algorithme Algoritmus Algorismus Alchorismus Al-Khwarizmi الخوارزمي

4 Les sources de lalgorithmique arabe Pratiques locales (arabes, persanes, égyptiennes, mésopotamienne) Tradition indienne Tradition chinoise (?) Tradition grecque (?)

5 SAVOIR-FAIRE SAVOIR SAVANT * Deux traditions : - algorithmique - hypothético-déductive * Deux types de pratiques : - orales et instrumentales (mental & digital) - écrites : # Takht # Papier

6 LES NUMERATIONS

7

8 OPERATIONS DU CALCUL Multiplication Division Addition Soustraction Procédés dapproximation des fractions Racine carrée exacte et approchée Racine cubique exacte et approchée Racine n ième

9 Procédures arithmétiques Test de primalité Test pour déterminer les carrés et les cubes parfaits Détermination des nombres parfaits Détermination des nombres amiables

10

11 Procédures trigonométriques Calcul de Calcul de sin(1°), à partir de sin(3°) Résolution de « léquation de Kepler »

12 Formules du calcul mental 15n = 10n + (10n)/2 14n = 15n – n 16n = 15n + n 25n = (100n)/4 10 m /10 n = 10 m-n

13 Formules du calcul mental (suite) ab = [(a+b)/2] 2 – [(a-b)/2] 2

14 Algorithmes pour le takht Produit avec translation et effaçage (debout ou couché) Produit avec semi-translation (n 2 ) Produit sans translation - Technique du tableau

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19 ALGORITHMES POUR LE CALCUL APPROCHE

20 Approximation dune fraction

21 Méthode dAbû l-Wafâ (m. 997)

22

23 Test pour les carrés et les cubes parfaits

24

25 Racine carrée approchée

26 Racine cubique approchée

27 Racine p ième

28 PROCEDES DINTERPOLATION

29

30 Al-Kashi, sin1°

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32 CARRES MAGIQUES

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34 Algorithmes de résolution de problèmes Algorithmes mentaux Déterminer un ou plusieurs nombres pensés Rechercher une ou deux bagues cachées Déterminer le doigt qui porte la bague Déterminer le nom du mois pensé ou le signe du zodiaque

35 Procédé de linverse 2(2(2x-1)-1) = 1 1 1/ /2 = 3/2 3/2 + 1 = 7/4 (7/4)/2 = 7/8 = le capital

36 P(x) = b; P(x 1 ) = b 1 ; P(x 2 ) = b 2 [x 1 (b – b 2 ) – x 2 (b – b 1 )]/(b 1 –b 2 ) = x

37 Lalgorithme algébrique Un bien et dix racines égalent trente neuf dirhams 1.Tu divises les racines par deux : ce sera cinq dans ce problème; 2.Tu le multiplies par lui-même : ce sera vingt cinq; 3.Tu lajoutes à trente neuf : cela donnera vingt cinq; 4.Tu prends alors sa racine carrée : ce sera huit; 5.Tu en retrancheras la moitié des racines qui est cinq : il restera trois. 6.Cest la racine du bien que tu cherches; 7.Le bien est neuf.

38 Problème babylonien (1750 av. J. C.) Problème d'Ibn ô Abd n (X e siècle) Enoncé: J'ai additionné la surface et, mon carré : 0; 45. Résolution : * tu poses 1, l'unité, * tu fractionnes 1 en deux : 0; 30, * tu multiplies 0; 30 et 0; 30: 0; 15, * tu ajoutes 0; 15 à 0; 45: 1, * 1 est le carré de 1, * 0; 30 que tu as multiplié, de 1 tu le soustrais: 0; 30, * 0; 30 est le carré. Enoncé: Si on te dit: nous avons additionné ses côtés et sa surface, il en ait résulté cent quarante. Combien chacun de ses côtés ? Résolution: * tu additionnes le nombre des côtés, et c'est quatre, * tu prends alors sa moitié, et c'est deux, * tu le multiplies par lui-même, et c'est quatre, * tu l'ajoutes à cent quarante, et c'est cent quarante quatre, * tu prends la racine, et c'est douze, * tu ôtes de ce qui reste la moitié de quatre, * c'est alors chacun de ses côtés.

39 Solutions exactes ou approchées déquations trigonométriques ou algébriques du 3 e degré Habash al-Hâsib (IX e s.) Al-Khayyâm Sharaf ad-Dîn at-Tûsî (procédé de Ruffini- Hörner)

40 Algorithmes et optimisation Produit par translation : Pour un nombre à n chiffres, il y a n 2 produits et n(n-1) translations. Produit par semi-translation : Pour un nombre à n chiffres, il y a n(n+1)/2 produits et n(n-1)/2 translations.

41 Approximation de Al-Kashi : ar-Risala al-muhitiyya [Lépître sur le cercle] Méthode des polygones avec moyenne arithmétique. Utilisation dun polygone dont le nombre de côté est = Valeur approchée de : 2

42 Optimisation de lapproximation de Choix préalable de la marge derreur : = 1/12 de millimètre « La circonférence dun cercle doit être exprimée en fonction du diamètre avec une précision telle que lerreur sur la longueur de la circonférence dun cercle, dont le diamètre est égal à fois le diamètre de la Terre, ne dépasse pas lépaisseur dun crin de cheval ».

43 JUSTIFICATION DES ALGORITHMES

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46 Preuve de Qusta Ibn Luqa

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48

49 Justification du procédé dextraction de la racine

50 n

51 Algorithmes de la racine cubique

52

53

54 F I N


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