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Trigonométrie Résolution de triangles. Applications.

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1 Trigonométrie Résolution de triangles. Applications

2 5,05 m 3,2 m 6,4 m Voici la vue de côté dun abri pour le bois de chauffage. Quelle est la mesure de langle dinclinaison du toit ? 6,4 m 1,85 m 5,05 m – 3,2 m Rapport : Tangente Tan -1 ( 1,85 ÷ 6,4 ) 16,1 0 Quelle est la pente de ce toit ? 1,85 6,4 distance verticale distance horizontale = 0,3

3 Dans le losange ci-contre, la petite diagonale forme avec le côté AB un angle de A B C D Sachant que la diagonale BD mesure 32 cm, calcule laire et le périmètre de ce losange. Deux propriétés des diagonales dun losange vont nous aider à résoudre ce problème : « Les diagonales dun losange se coupent en leur milieu. » E « Les diagonales dun losange se coupent perpendiculairement. » Le triangle AEB est donc rectangle; Nous pouvons alors utiliser les relations existantes dans un triangle rectangle. donc le segment BE mesure 16 cm.16

4 A B C D E ) Déterminons les mesures des segments AB et AE. m AB : Sin 70 0 = 16 x x x = 16 ÷ Sin cm m AE : Tan 70 0 = 16 x x = 16 ÷ Tan ,8 cm 17 x donc le segment AC mesure 11,6 cm Formule du périmètre dun losange : 4 C 4 X m AB 68 cm Formule de laire dun losange : D X d 2 m BD X m AC 2 32 X 11, ,6 cm 2 5,8 4 X 17

5 4 m 7 m 60 0 x 37 0 A BCD Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure du segment CD ? 1) Déterminons la mesure du segment BC : Tan 60 0 = 7 m BC m BC = 7 ÷ Tan m 2) Déterminons la mesure du segment BD : Tan 37 0 = 7 m BD 9,3 m m BD = 7 ÷ Tan ) m CD = m BD - m BC 9, ,3 m CD 5,3 m

6 Dans le triangle ci-contre, quelle est la mesure du segment DC ? m A B C D 3030 x 1) Déterminons, en premier, la mesure du segment BC : 133,3 m 2) Déterminons la mesure du segment AB : 133,3 250,7 3)Déterminons la mesure du segment CD : Tan 31 0 = 250,7 ( 133,3 + x ) 250,7 Tan 31 0 = 133,3 + x x = 250,7 Tan 31 0 – 133,3 17,3 m m BC Sin 28 0 = 284 m BC = 284 sin 28 0 Tan 28 0 = 133,3 m AB m AB = 133,3 ÷ Tan 28 0 m CD 17,3 m 250,7

7 A B C 100 mm Quelle est laire de ce triangle ? 1) m C = – ( ) = )Construisons une hauteur relative à la base AC. H 3) m BH : Sin 67 0 = x 100 x = 100 Sin ,1 mm m AH : Tan 67 0 = 92,1 x x = 92,1 ÷ Tan ,1 39,1 mm m CH : Tan 43 0 = 92,1 x x = 92,1 ÷ Tan ,8 mm 4) m AC :m AH + m HC 39,1 + 98,8 137,9 mm 5) = 137,9 X 92, ,3 mm 2 Remarque: Tracer une hauteur dans un triangle peut savérer très utile. m AC : A 2 B X H =

8 Pour connaître la hauteur de cette falaise, on prend une visée du point B selon un angle délévation de 42 0 ; par la suite, on se déplace de 253 m en direction du point A et, à ce point, on reprend une nouvelle visée selon un angle délévation de Posons les mesures. Quelle est la hauteur de la falaise ? 253 m A B C H Méthode 1 : Traçons la hauteur BD D m DB : m DB 253 sin 17 0 = m CB : 74 sin 25 0 = m CB 253 sin 17 0 = m DB 74 m m DB 74 ÷ sin 25 0 m CB = m CB 175,1 m m CH :m CH 175,1 sin 42 0 = 175,1 sin 42 0 m CH = m CH 117,2 m

9 Pour connaître la hauteur de cette falaise, on prend une visée du point B selon un angle délévation de 42 0 ; par la suite, on se déplace de 253 m en direction du point A et, à ce point, on reprend une nouvelle visée selon un angle délévation de Posons les mesures : Quelle est la hauteur de la falaise ? 253 m x A B C H Dans le triangle AHC, on peut poser le rapport Tangente 17 0 = m CH ( x ) Dans le triangle BHC, on peut poser le rapport Tangente 42 0 = m CH x Tan 17 0 ( x ) = m CH Tan 42 0 x =m CH Les deux équations sont égales àm CH. Méthode 2 :

10 Tan 17 0 ( x ) = Tan 42 0 x m x A B C H 0,3057 ( x ) 0,9004 x 77,34 + 0,3057 x 0,9004 x 77,34 0,5947 x 0, x donc 130

11 m A B C H 130 m Tan 42 0 = m CH 130 m CH = 130 Tan ,1 m Remarque:Tu aurais pu aussi utiliser le rapport : Tan 17 0 = m CH 383

12 Conclusion Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle sont très utiles pour déterminer des mesures dans plusieurs situations. La perpendicularité de segments crée des angles de 90 0 donc des triangles rectangles. Il faut bien distinguer les différents rapports Sinus, Cosinus et Tangente et toujours prendre le temps décrire la proportion.


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