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Géométrie analytique La pente. Pente La pente dun segment est obtenue par la formule : P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y 1234567 1 2 3 4 5 6 dans.

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1 Géométrie analytique La pente

2 Pente La pente dun segment est obtenue par la formule : P 1 ( x 1, y 1 ) P 2 ( x 2, y 2 ) x y dans lexemple ci-contre : m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 2 4 = 2 m = 2 variation des ordonnées variation des abscisses x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - y x : :

3 m = Graphiquement, on peut constater ce fait Ce qui signifie que pour un accroissement dune unité des abscisses, il y a accroissement de deux unités des ordonnées. On peut donc en déduire la propriété fondamentale dune droite : Tout segment dune droite a la même pente. ou

4 La pente dun segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique. Elle permet de déterminer certaines informations. Exemple Calculons les pentes des segments AB et DC : Coordonnées des sommets du rectangle : A ( 5, 15 )B ( 25, 25 ) C ( 30, 15 ) D ( 10, 5 ) m ( A, B ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = m ( D, C ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = 1 2 m ( A, B ) = m ( D, C ) A B C D

5 Propriété :Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux. Calculons les pentes des segments AD et BC : m ( A, D ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = m ( B, C ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = = m ( A, D ) = m ( B, C ) A B C D A ( 5, 15 )B ( 25, 25 ) C ( 30, 15 ) D ( 10, 5 )

6 Propriété :Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux. alors AB ll DC A B C D m ( A, B ) = 1 2 m ( D, C ) = 1 2 m 1 : m 2 : m 1 = m 2 alors AD ll BC m ( A, D ) = m ( B, C ) = m 1 : m 2 : m 1 = m 2 - 2

7 La pente dun segment ( son inclinaison ) est une notion importante en géométrie analytique. Elle permet de déterminer certaines informations. Exemple Calculons les pentes des segments AB et BC : Coordonnées des sommets du rectangle : m ( A, B ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = m ( B, C ) : x1x1 x2x2 - = y1y1 y2y = = pentes inverses et opposées A B C D A ( 5, 15 )B ( 25, 25 ) C ( 30, 15 ) D ( 10, 5 )

8 A B C D Propriété :Si deux segments ont des pentes inverses et opposées, alors ils sont perpendiculaires entre eux. m ( A, B ) = 1 2 m ( B, C ) = alors AB BC Remarque : Pour pouvoir comparer correctement des pentes, noublie pas de toujours simplifier tes calculs au maximum. m 1 : m 2 : 1 m2m2 - m1m1 1 = pentes inverses et opposées

9 A B C D Cas particuliers Calculons la pente du segment AC: C ( 30, 5 ) A ( 10, 5 ) m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = = 0 Un segment horizontal a une pente nulle. Calculons la pente du segment BD: Pente BD : D ( 15, 5 ) B ( 15, 30 ) m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = 15 - = = ? Pente AC : Un segment vertical a une pente indéterminée.

10 A B C D Calculons la pente de AB et de BC. Pente AB : B ( 15, 30 ) C ( 30, 5 ) A ( 10, 5 )B ( 15, 30 ) m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = 25 5 = 5 Pente BC : m = x1x1 x2x2 - y1y1 y2y2 - = = = Si deux segments ont des pentes différentes alors ils sont sécants ( ils se croisent selon un certain angle ). Remarques : Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils sont perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 90 0 ).

11 En résumé Si deux segments ont la même pente, alors ils sont parallèles entre eux. Si deux segments ont des pentes différentes alors ils seront sécants ( ils se croiseront selon un certain angle ). Si deux segments ont des pentes inverses et opposées alors ils seront perpendiculaires ( sécants à un angle précis de 90 0 ). m 1 = m 2 m 1 m 2 m 1 = - 1 m2m2


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