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Résoudre une équation du second degré.. Introduction Dans une équation, les variables ( on utilise principalement et ) y x Ainsi, en donnant différentes.

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1 Résoudre une équation du second degré.

2 Introduction Dans une équation, les variables ( on utilise principalement et ) y x Ainsi, en donnant différentes valeurs à x et en utilisant la règle, on peut calculer les valeurs de y correspondantes. = - ( – 1 ) y = - ( x – 1 ) Exemple:y = - ( x – 1 ) On pourrait dire quil sagit dun calcul simple. sont mises en relation par une règle.

3 Lorsque, à linverse, on connaît une valeur de y et quil faut retrouver les valeurs de x correspondantes: Exemple:- 3 = - ( x – 1 ) Il faut alors: Résoudre léquation. Résoudre une équation, cest trouver la ( les ) valeurs de x quand on connaît la valeur du y correspondant.

4 Utilisons une équation écrite sous la forme canonique pour faire la démonstration. y = a ( x – h ) 2 + k y = - 1 ( x – 1 ) Voici le graphique représentant cette équation

5 = - ( x – 1 ) Maintenant, cherchons les valeurs de x pour une valeur de y = - 3. Graphiquement, on peut constater que y = - 3 lorsque La résolution graphique est une manière très rapide de trouver les valeurs de x; cependant, elle nest pas toujours précise. Alors, procédons algébriquement. x 1 = -1 et x 2 = 3

6 = - 1 ( x – 1 ) On cherche les valeurs de x pour une valeur de y = - 3. La première étape est de ramener léquation à = - 1( x – 1 ) = - 1( x – 1 ) La parabole de cette nouvelle équation sera tracée comme suit: soit un déplacement de 3 unités vers le haut car k crée une translation verticale. y = a ( x – h ) 2 + k

7 À laide des formules, on trouve les zéros de cette nouvelle équation. h k a 0 = - 1 ( x – 1 ) a = - 1 h = 1 k = = = -1 et 3 Les zéros de cette nouvelle équation sont -1 et 3. x 1 = -1x 2 = 3et

8 Les zéros de léquation: 0 = - ( x – 1 ) correspondent aux mêmes valeurs des x de léquation: - 3 = - ( x – 1 ) soit -1 et 3 Il sagit donc dun procédé équivalent.

9 Avec une équation écrite sous la forme générale: Exemple: 45 = x 2 – 14x + 90 y = ax 2 + bx + c car le terme c crée aussi une translation verticale. 0 = x 2 – 14x + 45 Il ne reste plus quà chercher les zéros de la nouvelle équation : Le procédé est le même : soit :en factorisant et en utilisant la loi du produit nul. soit : en utilisant les formules des zéros : - b + - b 2 – 4ac 2a Remarque:Les fonctions du second degré et les équations du second degré se résolvent de la même façon.

10 Pour résoudre une équation du second degré : 1) On ramène léquation à zéro. 2) On cherche le(s) zéro(s) de cette nouvelle équation. Ce qui correspond à la (aux) valeur(s) de x dans léquation de départ.

11 Problème 1:Le dessin, ci-contre, représente un projectile lancé du haut dun rocher en fonction du temps. La trajectoire du projectile peut être décrite selon léquation : y = - ( x - 3 ) À quel moment, le projectile sera- t-il à 12 mètres de haut ? hauteur (m) temps (sec) ( 0,7 ) ( 3,16 ) y = - ( x - 3 ) = - ( x - 3 ) = - ( x - 3 ) h k a a = - 1 h = 3 k = = = 1 et 5 x 1 = 1x 2 = 5et

12 y = - ( x - 3 ) = - ( x - 3 ) Vérification avec 12 = - ( ) = - ( - 2 ) = = 12 y = - ( x - 3 ) = - ( x - 3 ) = - ( ) = - ( 2 ) = = 12 léquation de départ. hauteur (m) temps (sec) ( 0,7 ) ( 3,16 ) Lorsque x vaut 1 et 5, y = 12 ( 1, 12 ) ( 5, 12 ) vrai

13 Problème 2: Pour quelle valeur de x, laire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm 2 ? ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) 1) Trouvons lexpression algébrique représentant laire du rectangle. Longueur X largeur Aire = ( 4x – 2 )( 4x + 18 ) Aire = 4x ( 4x – 2 ) + 18 ( 4x – 2 )Aire = 16x 2 - 8x + 72x - 36Aire = 16x x - 36 Aire =

14 2) Déterminons léquation: 16x x =3) Ramenons léquation à 0: x x = 16x x - 36 Aire = 16x x = ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 )

15 - b + - b 2 – 4ac 2a 4) Déterminons les zéros de cette équation: 16x x = a = 16 b = 64 c = – 4 X 16 X X x 1 = = =- 9 x 2 = = = 5 x 1 =- 9 x 2 = 5 Cette valeur est à rejeter car elle est négative. Un rectangle ne peut avoir une dimension négative.

16 Vérification avec léquation de départ. 16x x - 36Aire = 16 X X = 16 X X = = = ou ( 4x – 2 )( 4x + 18 ) Aire = ( 4 X 5 – 2 ) ( 4 X ) 684 = 38 X = 684 Réponse: 5 cm ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 )

17 Remarque : Les valeurs de x auraient pu être déterminées par factorisation et par la loi du produit nul. 16x x = 0 = 16 ( x 2 + 4x – 45 ) 0 = 16 ( x + 9 ) ( x - 5 ) 0 = ( x + 9 ) ( x - 5 ) si x + 9 = 0 alors x = - 9 à rejeter si x – 5 = 0 alors x = 5 Réponse: 5 cm


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