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Dr. Zaguia-CSI2501-H121 CSI 2501 / Règles d'inférence (§1.5-1.6-1.7) Introduction Preuves mathématiques. Arguments en logique propositionnelle équivalence.

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1 Dr. Zaguia-CSI2501-H121 CSI 2501 / Règles d'inférence (§ ) Introduction Preuves mathématiques. Arguments en logique propositionnelle équivalence des expressions quantifiées Règles d'inférence en logique propositionnelle La déduction naturelle est fondée sur des règles d'inférence Les règles d'inférence pour construire des arguments pièges dans lesquels il est facile de tomber Règles d'inférence pour les phrases quantifiées.

2 Dr. Zaguia-CSI2501-H122 preuve mathématiques Une preuve mathématiques correcte (valable logiquement) et complète (claire et détaillée) est un argument qui établie dune façon rigoureuse et définitive la vérité dune déclaration mathématique. Un argument correct permet de sassurer du résultat. Un argument complet permet a quiconque de vérifier le résultat.

3 Dr. Zaguia-CSI2501-H123 preuve mathématiques Applications des preuves Cest un exercice de communication claire et précise darguments logiques dans tous les domaines. Lactivité fondamentale des mathématiciens est la découverte et lélucidation, par des preuves des nouveaux théorèmes intéressants. La théorie et méthodes de preuves a des applications dans la vérification des programmes, sécurité informatique, systèmes de raisonnement automatiques, etc. Prouvez un théorème permet de lutiliser dans des applications critiques sans soucis.

4 Dr. Zaguia-CSI2501-H124 4 Terminologie Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose. Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion. Lemme: un résultat dimportance moindre quun théorème. En général cest une étape pour prouver un théorème plus important. Corollaire: Un théorème dimportance mineure et dont la preuve est une conséquence simple dun théorème majeur. Conjecture: Une déclaration dont la vérité na pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit quelle est vrai sans être capable de la prouver.) Théorie: Lensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes.

5 Dr. Zaguia-CSI2501-H125 Visualisation dune théorie … Les théorèmes Les axiomes de la théorie Une théorie particulière Une preuve

6 Dr. Zaguia-CSI2501-H1266 Comment concevoir une preuve? Considérer les déclarations suivantes: Si hier soir vous navez pas dormi alors vous allez dormir durant le cours. Hier soir vous navez pas dormi On peut conclure que vous allez dormir durant le cours. Soit P hier soir vous navez pas dormi Soit Q vous allez dormir durant le cours Ceci est le forme de notre argument: Ca reviens a une tautologie: ((p q) p) q P Q P Q

7 Dr. Zaguia-CSI2501-H127 Règles d'inférence On peut utiliser toutes les formes darguments On peut (et on doit) toujours vérifier la validité dun arguments (i.e. avec les tables de vérité). Il y a une infinité de formes darguments possibles. Les formes darguments les plus simples sont les plus utiles et qui sont utilisées le plus couramment. le lecteur pourra facilement vérifier largument Des arguments complexes se décomposent et peuvent se dériver a partir darguments simples Lidée originale est de créer des méthodes automatiques de génération de preuves.

8 Dr. Zaguia-CSI2501-H128 Règles d'inférence Une règle d'inférence logique est une forme qui indique que si toutes les prémisses (hypothèses) sont vrais alors on en déduit que la conclusion est aussi vrai. antécédent 1 antécédent 2 … conséquence veut dire par conséquent Toute règle logique d'inférence correspond a une implication qui est une tautologie: ((ante. 1) (ante. 2) …) conséquence

9 Dr. Zaguia-CSI2501-H129 9 Des Règles d'inférence p Règles daddition p q p q Règles de simplification p p Règles de conjonction q p q

10 Dr. Zaguia-CSI2501-H1210Dr. Zaguia-CSI2501-H1210 Modus Ponens & Tollens p Règles de modus ponens p q (Règle de détachement) q q p q Règles de modus tollens p le mode daffirmation le mode de nier

11 Dr. Zaguia-CSI2501-H1211Dr. Zaguia-CSI2501-H1211 Syllogism & Resolution Inference Rules p q q r p r p q p q Règles « syllogisme » transitivité Règles « syllogisme » disjonctive Règles de Résolution p q p r q r

12 Dr. Zaguia-CSI2501-H1212Dr. Zaguia-CSI2501-H1212 Preuves formelles Etant données les hypothèses p 1, p 2,…,p n. une preuve formelle de la conclusion C consiste dune séquence détapes qui mènent a C. Chaque étape utilise une règle dinférence appliquées aux hypothèses, et mène a une nouvelle assertion qui soit vrai. Une preuve démontre que si les prémisses (hypothèses) sont vrais alors la conclusion est vrai.

13 Dr. Zaguia-CSI2501-H1213Dr. Zaguia-CSI2501-H1213 Exemple dune Preuve formelle Supposant quon a les prémisses suivants: Il ne fait pas beau et il fait froid. Sil fait beau on va nager. Si on ne va pas nager alors on va faire du canoë. Si on va faire du canoë, alors on rentrera tôt a la maison. Etant données les prémisses ci-dessus prouver le théorème suivant: on rentrera tôt a la maison.

14 Dr. Zaguia-CSI2501-H1214Dr. Zaguia-CSI2501-H1214 Exemple dune Preuve formelle Adoptons labréviation suivante: beau = Il fait beau; froid = Il fait froid; nager= On va nager; canoë = on va faire du canoë; tôt = on rentrera tôt a la maison. Les prémisses peuvent êtres écrites comme suit: (1) beau froid (2) nager beau (3) nager canoë (4) canoë tôt

15 Dr. Zaguia-CSI2501-H1215Dr. Zaguia-CSI2501-H1215 Exemple dune Preuve formelle étapeProuver par 1. beau froid Prémisse #1. 2. beauSimplification de nager beauPrémisse #2. 4. nagerModus tollens sur 2,3. 5. nager canoë Prémisse #3. 6. canoëModus ponens sur4,5. 7. canoë tôtPrémisse #4. 8. tôtModus ponens sur 6,7.

16 Dr. Zaguia-CSI2501-H1216Dr. Zaguia-CSI2501-H1216 Exercices Quelles sont les règles dinférence utilisées: Il neige ou il pleut. Il ne neige pas et donc il pleut. Sil y a de la neige je vais faire du ski. Si je vais faire du ski alors je mabsenterais du cours. Il y a de la neige, par conséquent je mabsenterais du cours. Je suis riche ou je dois travailler. Je ne suis pas riche ou jaime jouer du hockey. Par conséquent je dois travailler ou jaime jouer du hockey. Si tu est blonde alors tu es intelligente. Tu es intelligente donc tu es blonde. N P N P B I I B R T R H T H N S S A N A Faux

17 Dr. Zaguia-CSI2501-H1217Dr. Zaguia-CSI2501-H1217 Construire des arguments avec les règles dinférence Prouver le théorème suivant: S'il ne pleut pas ou s'il n'est pas brumeux, alors la course a la voile et la démonstration du sauvetage auront lieu. Si la course a la voile aura lieu alors le prix sera décerné. Le prix na pas été décerné par conséquent il a plut. #PropositionRègle 1 ( P B) (V S) hypothèse 2 V R hypothèse 3 R 4 V modus tollens 2 & 3 5 V S addition a 4 6 P B modus tollens 1 & 5 7P simplification de 6

18 Dr. Zaguia-CSI2501-H1218Dr. Zaguia-CSI2501-H1218 Autres exemples Que peut-on en déduire: Je suis intelligent ou chanceux. Je ne suis pas chanceux. Si je suis chanceux alors je gagnerais le loto. Tous les rongeurs rongent leur nourriture. Les souris sont des rongeurs. Les lapins ne rongent pas leur nourriture. Les chauves-souris ne sont pas des rongeurs. C L L L T ??? R G S R L G C R ??? R rongeur G rongent leur nourriture L Lapin S Souris C chauves-souris

19 Dr. Zaguia-CSI2501-H1219Dr. Zaguia-CSI2501-H1219 Résolution Règle de résolution p q p r q r Utilisée par les systèmes automatiques de raisonnement et preuves. Cest la base de la programmation logique, comme Prolog. Toutes les hypothèses et les conclusions sont exprimées sous format de clauses (disjonction de variables ou de leurs négations). Résolution est la seule règle dinférence utilisée.

20 Dr. Zaguia-CSI2501-H1220Dr. Zaguia-CSI2501-H1220 Résolution Exprimer sous la forme de conjonction de clauses: p (q r) (p q) p q (p q) Utiliser la règle de résolution pour monter que (p q) ( p q) (p q) ( p q) nest pas satisfaite (p q) (p r) ( p) (q) ( p q) (q q) = F (( p q) ( q p)) = ( p q) ( q p) = (p q) ( p q) = ((p q) ( p)) ((p q) q)) = ( q p) (p q)

21 Dr. Zaguia-CSI2501-H1221Dr. Zaguia-CSI2501-H1221 Règles dinférence pour les assertions quantifiées ( x) P(x) P(c) Instance Universelle P(c) pout tout c ( x) P(x) Généralisation Universelle (x) P(x) P(c) pour un certain c Instance Existentielle P(c) pour un certain élément c (x) P(x) Généralisation Existentielle

22 Dr. Zaguia-CSI2501-H1222Dr. Zaguia-CSI2501-H1222 Révision Formes darguments les plus utilisées en logique propositionnelle modus ponens, modus tollens, syllogisme (transitivité dimplication), syllogisme disjonctive, addition, simplification, conjonction, résolution Règles dinférence pour les expressions quantifiées Instance universelle, généralisation universelle Instance existentielle, généralisation existentielle Résolution et programmation logique tout peut sexprimer avec des « clauses » Il est suffisant de nutiliser que les résolution.

23 Dr. Zaguia-CSI2501-H1223Dr. Zaguia-CSI2501-H1223 Combiner les règles dinférence x (P(x) Q(x)) P(a) modus ponens Universel Q(a) x (P(x) Q(x)) Q(a) modus tollens Universel P(a) #AssertionRègle 1 x (P(x) Q(x)) hypothèse 2P(a)hypothèse 3 P(a) Q(a) universelle 4Q(a)2 & 3 modus ponens

24 Dr. Zaguia-CSI2501-H1224Dr. Zaguia-CSI2501-H1224 Exemples/exercices Utiliser les règles dinférence pour montrer ce qui suit: x (P(x) Q(x)) x( Q(x) S(x)) x (R(x) S(x) x P(x) x R(x) x (P(x) Q(x)) et x( Q(x) S(x)) implique x(P(x) S(x)) x (R(x) S(x)) est équivalent to x( S(x) R(x)) Donc x(P(x) R(x)) Puisque x P(x) est vrai. Donc P(a) pour un certain a du domaine. Puisque P(a) R(a) est vrai. Conclusion R(a) est vrai et donc x R(x) est vrai

25 Dr. Zaguia-CSI2501-H1225Dr. Zaguia-CSI2501-H1225 Examples/exercises Trouver lerreur dans largument ci-dessous xP(x) xQ(x) implique x(P(x) Q(x)) 1. xP(x) xQ(x) hypothèse 2. xP(x) simplification de 1. 3.P(c) instance universelle de xQ(x) simplification de 1. 5.Q(c) instance universelle de 4. 6.P(c) Q(c) conjonction de 3. et x (P(x) Q(x)) généralisation existentielle c????

26 Dr. Zaguia-CSI2501-H1226Dr. Zaguia-CSI2501-H1226 Exemples/exercices Est-ce que largument suivant est correct? Si Superman est capable et sil veut arrêter le mal alors il arrêtera le mal. Si Superman nest pas capable darrêter le mal alors il est impotent; sil na pas le désir darrêter le mal alors il est malveillant. Superman narrête pas le mal. Si Superman existe alors il est ni impotent ni malveillant. Par conséquent, Superman nexiste pas. C V A C I V M A E I M E A partir de C V A and A on en déduit (C V). C V (1) C I donc C I (2) V M donc V M (3) (4)=(1)&(2) I V (5)=(1) & (4) C I Daprès (1)&(5) on a I. Daprès E I M on a E

27 Dr. Zaguia-CSI2501-H1227Dr. Zaguia-CSI2501-H1227 Preuve? Preuve formelle séquence dassertions finissant par une conclusion assertions avant la conclusion sont les prémisses chaque assertion doit être un axiome ou bien elle doit être dérivée dune prémisse précédente en utilisant une règle dinférence. Preuve informelle Preuve formelle sont difficile a suivre On na pas nécessairement besoin de tous les détails. On peut sauter sur les étapes simples et évidentes, ou on peut les joindre dans un seul argument. On peut aussi sauter sur quelques axiomes et les supposer implicitement. On se concentre sur lécriture des preuves informelles (qui sont assez formelles et précises.)

28 Dr. Zaguia-CSI2501-H1228Dr. Zaguia-CSI2501-H1228 Terminologie Théorème: Une déclaration dont la vérité a été démontrée. Axiomes, postulats, hypothèses: Des suppositions (la plus part du temps non prouvées) et qui définissent les règles et structures sur lesquelles la théorie se repose. Règles d'inférence: suite de déductions logiques et qui mènent des hypothèses vers la conclusion. Lemme: un résultat dimportance moindre quun théorème. En général cest une étape pour prouver un théorème plus important. Corollaire: Un théorème dimportance mineure et dont la preuve est une conséquence simple dun théorème majeure. Conjecture: Une déclaration dont la vérité na pas été démontrée. (En général on propose une conjecture si on croit quelle est vrai sans être capable de la prouver.) Théorie: Lensemble de tous les théorèmes qui peuvent être prouver a partir des axiomes.

29 Dr. Zaguia-CSI2501-H1229Dr. Zaguia-CSI2501-H1229 Comment prouver un théorème? Tout dépends de la forme du théorème Cas simple– preuve dune assertion existentielle x P(x): Il existe un entier pair qui peut sécrire de deux façons différentes comme somme de deux nombres premiers Comment prouver ce théorème? Trouver un tel x et les 4 nombres premiers 10 = 5+5 = 3+7 FAIT Pour tout entier x il existe un entier y tel que y > x. x y: y>x Trouver un algorithme pour trouver un tel y: Il suffit de prendre y = x+1 Les deux sont des preuves dexistence constructives Il existe des preuves non constructives En générale les preuves constructives sont plus utiles.

30 Dr. Zaguia-CSI2501-H1230Dr. Zaguia-CSI2501-H1230 Preuve par un contre exemple Un autre cas simple Réfuter la négation dune assertion existentielle x P(x) x P(x) x P(x) Réfuter une assertion universelle Donner un contre exemple Exemples: Réfuter: Pour tous nombres réels a and b, si a 2 = b 2 alors a = b Réfuter : Il nexiste pas dentiers x tel que x 2 = x. Ce sont des preuves constructives Mais on peut avoir aussi des preuves non-constructives

31 Dr. Zaguia-CSI2501-H1231 Comment refuter un théorème existentiel? En prouvant la négation (assertion universelle) Exemple: Réfuter: Il existe un entier positif n tel que n 2 +3n+2 est premier On va prouver: Pour tout entier positif n, n 2 +3n+2 nest pas premier. Preuve: Supposons que n est un entier positif. En factorisant n 2 +3n+2 on obtiens n 2 +3n+2 = (n+1)(n+2). Puisque n 1 alors n+1>1 et n+2>1. Les deux nombres n+1 et n+2 sont des entiers puisquils sont des sommes dentiers. Puisque n 2 +3n+2 est le produit de deux entiers plus grand que 1, alors il nest pas premier.

32 Dr. Zaguia-CSI2501-H1232Dr. Zaguia-CSI2501-H1232 Comment prouver un théorème universel? La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x) Q(x) Comment prouver ce type de théorème? En analysant tous les cas Si le domaine est fini Il ny a quun nombre fini de x satisfaisant P(x). Exemple: x x est un entier pair tel que 4 x 16, x peut être écrit comme somme de deux entiers premiers 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, 12 = 5+7, 14 = 7+7, 16 = 3+13 Analyse de tous les cas ne peut marcher si le domaine est infini ou il est très grand. pas moyen dutiliser «Analyse de tous les cas » pour prouver que le circuit de la multiplication du CPU est correcte.

33 Dr. Zaguia-CSI2501-H1233Dr. Zaguia-CSI2501-H1233 Comment prouver un théorème universel? La plupart des théorèmes sont universels de la forme x P(x) Q(x) généraliser a partir du cas particulier Soit x un élément particulier du domaine, prouver que si x satisfait P alors x doit aussi satisfaire Q. En utilisant des définitions, des résultats déjà prouvés et les règles dinférence. Il est important de nutiliser que les propriétés qui sapplique a tous les éléments du domaine. Preuve directe: On suppose P(x) et on en déduit Q(x).

34 Dr. Zaguia-CSI2501-H1234 Exemple 1: Preuve directe Théorème: Si n est impair alors n 2 est impair. Définition: un entier n est pair sil existe un entier k tel que n = 2k. Un entier n est impair sil existe un entier k tel que n = 2k+1. Tout entier est pair ou impair et ne peut être les deux en même temps. Théorème: (n) P(n) Q(n), Où P(n) est n est un entier impair and Q(n) est n 2 est impair. On dois montrer P(n) Q(n)

35 Dr. Zaguia-CSI2501-H1235 Théorème: Si n est impair alors n 2 est impair. Preuve: Soit p --- n est impair; q --- n 2 est impair; On veux prouver que p q. Supposons p, i.e., n est impair. Par définition n = 2k + 1, pour un certain entier k. Donc n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k ) + 1. Par conséquent n 2 =2k + 1, ou k = (2k 2 + 2k). Par définition de impair, on en déduit que n 2 est impair. QED Exemple 1: Preuve directe

36 Dr. Zaguia-CSI2501-H1236 Exemple 2: Preuve directe Théorème: La somme de deux entiers pairs est un entier pair. Point de départ: Soient m et n deux entiers pairs arbitraires Conclusion: n+m est pair Preuve: Soient m et n deux entiers pairs arbitraires. Par définition de pair, il existes deux entiers r et s tels que m=2r et n=2s. Donc m+n = 2r+2s (substitution) = 2(r+s) (factoriser par 2) Soit k = r+s. Puisque r et s sont des entiers alors k est un entier. Par conséquent m+n = 2k, ou k est un entier. Par définition de pair, on en déduit que m+n est pair.

37 Dr. Zaguia-CSI2501-H1237 Directions générales en écrivant une preuve Preuve précise et complète. Indiquer clairement le théorème a prouver Indiquer clairement le début de la preuve (i.e. Preuve:) self-contained: introduire/identifier toutes les variables Soient m et n deux entiers pairs quelconques … pour certains entiers r et s des phrases complètes Par conséquent m+n = 2r+2s = 2(r+s). donner les raisons pour chaque étape ou assertion par hypothèse, par définition de pair, par substitution Clarifier largument logique avec des petits mots: puisque, donc, par conséquent, Observons, soit, …

38 Dr. Zaguia-CSI2501-H1238 Exemples/exercices Théorème: Le carré dun nombre pair est divisible par 4. Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6.

39 Dr. Zaguia-CSI2501-H1239 Théorie des nombres: très basique Définition: un entier n est pair si et seulement si entier k tel que n = 2k Définition: un entier n est impair si et seulement si entier k tel que n=2k+1 Définition: Soient k et n deux entiers. On dit que k divise n (quon note k | n) si est seulement si il existe un entier a tel que n = ka. Définition: un entier n est premier si et seulement si n>1 et pour tous entiers positifs r et s, si n = rs, alors r=1 ou s = 1. Définition: Un nombre réel r est rationnel si et seulement si deux entiers a et b tels que r= a/b et b 0. Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels? 7/ … 3/4+5/7

40 Dr. Zaguia-CSI2501-H1240 Exemples/exercices Théorème: Le carré dun nombre pair est divisible par 4. Preuve: Soit n un entier pair quelconque. Par définition de pair, il existe un entier r tel que m=2r. Alors n 2 = (2r) 2 = 4r 2. Par conséquent et daprès la définition « de divisible par 4 », lentier n 2 est divisible par 4.

41 Dr. Zaguia-CSI2501-H1241 Exemples/exercises Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. Jai plus de connaissances dans la théorie des nombres, ce qui me permet de prouver ce théorème. Lemme 1: entiers k,n,a: k | n k | an Lemme 2: Parmi nimporte quels k entiers consécutifs, un unique entier est divisible par k. Lemme 3: x: 2| x 3| x 6| x (un cas spécial dun théorème plus général) x, y, z: y | x z|x yz/GCD(y,z) | x (On prouvera Lemme 2 et Lemme 3 plus tard lorsquon saura plus sur la théorie des nombres)

42 Dr. Zaguia-CSI2501-H1242 Preuve du Théorème Théorème: Tout produit de trois entiers consécutifs est divisible par 6. Preuve: Soit n un entier quelconque. D après Lemme 2, on a 2|n ou 2|(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 2|n(n+1) and donc en appliquant de nouveau Lemme 1 on a 2|n(n+1)(n+2). D après Lemme 2, on a 3|n ou 3|(n+1) ou 3|(n+2). En appliquant deux fois Lemme 1 on obtient 3|n(n+1)(n+2). Par conséquent, 2 | n(n+1)(n+2) et 3 | n(n+1)(n+1). A partir de Lemme 1, on en déduit que 6=2*3 | n(n+1)(n+2).

43 Dr. Zaguia-CSI2501-H1243 Preuve par Contradiction A – On veut prouver p. On démontre que: (1) ¬p F; (2) On en déduit que ¬p est faux puisque (1) est vrai et donc p est vrai. B – On veut prouver p q (1) On suppose la négation de la conclusion, i.e., ¬q (2) On utilise la supposition de (1) pour montrer (p ¬q ) F (3) Puisque ((p ¬q ) F) (p q) la preuve est faite!

44 Dr. Zaguia-CSI2501-H1244 ThéorèmeSi 3n+2 est impair, alors n est impair Preuve. Soit p = 3n+2 est impair et q = n est impair 1 – On suppose p et ¬q i.e., 3n+2 est impair et n nest pas impair 2 – Puisque n nest pas impair alors n est pair. 3 – si n est pair, n = 2k pour un certain entier k, et donc 3n+2 = 3 (2k) + 2 = 2 (3k + 1), et donc pair. 4 – On a obtenu une contradiction, 3n+2 est impair et 3n+2 est pair et donc p q, i.e., Si 3n+2 est impair, alors n est impair Q.E.D. Exemple 1: Preuve par Contradiction

45 Dr. Zaguia-CSI2501-H1245 Prouver que 2 est irrationnel (Preuve classique). Supposons que 2 est un nombre rationnel. Alors ils existent deux entiers a et b (relativement premiers) tels que 2 = a/b. Donc 2 = a 2 /b 2 et 2b 2 = a 2. Par conséquent a 2 est pair et donc a est pair, cest a dire a=2k pour un certain entier k. On en déduit que 2b 2 = (2k) 2 = 4k 2 et donc b 2 = 2k 2 Donc b 2 est pair et b est pair (b = 2k pour un certain entier k) Mais puisque a et b sont tous les deux pairs alors ils ne sont pas relativement premiers! Exemple2: Preuve par Contradiction contradiction

46 Dr. Zaguia-CSI2501-H1246 Ma preuve nest pas si complète? a 2 est pair, et donc a est pair (a = 2k pour un certain entier k)?? Javais raison, a est pair. contradiction Supposons le contraire, cest a dire supposons que a nest pas pair. Donc a = 2k + 1 pour un certain entier k Donc a 2 = (2k + 1)(2k + 1) = 4k2 + 4k + 1 Par conséquent a 2 est impair. Exemple 2: Preuve par Contradiction

47 Dr. Zaguia-CSI2501-H1247 Plus dexemples/ exercices Exemples: Il existe un plus grand entier Proposition 2: parmi k entier consécutifs il y a au plus un seul entier divisible par k. Il existe un plus grand nombre premier On sait déjà quil existe un nombre irrationnel: 2 La somme de deux nombres irrationnel est un nombre irrationnel Ils existent deux nombres irrationnels a and b tels que a b est un nombre rationnel preuve non-constructive existentielle

48 Dr. Zaguia-CSI2501-H1248 Preuve par contraposition On veut prouver x (P(x) Q(x)) réécrire comme x ( Q(x) P(x)) (cest la contraposition) prouver la contraposition avec une preuve directe: Prenons un élément x arbitraire du domaine tel que Q(x) est faux prouver que P(x) est faux.

49 Dr. Zaguia-CSI2501-H1249 Prouver que si a est b sont des entiers et a + b 15, alors a 8 et b 8. (a + b 15) (a 8) v (b 8) (Suppose q) Suppose (a < 8) (b < 8). (montrer p)Alors (a 7) (b 7). Donc (a + b) 14. Donc (a + b) < 15. Exemple 1: Preuve par Contraposition QED (a < 8) (b < 8) (a + b < 15)

50 Dr. Zaguia-CSI2501-H1250 Example 2: Preuve par Contraposition Théorème: Pour un entier n, si 3n + 2 est impair, alors n est impair. i.e. Pour un entier n, 3n+2 est impair n est impair Preuve par Contraposition: Soit p --- 3n + 2 est impair; q --- n est impair; on veut prouver p q La contraposition est ¬q ¬p n est pair 3n + 2 est pair Maintenant on peut utiliser une preuve directe: supposons ¬q, i.e, n est pair et donc n = 2 k pour un certain k. Par conséquent 3 n + 2 = 3 (2k) + 2 = 6 k + 2 = 2 (3k + 1) qui est pair. QED

51 Dr. Zaguia-CSI2501-H1251 Contradiction vs Contraposition Peut-on convertir les preuves par contraposition a des preuves par contradiction? Preuve de x (P(x) Q(x)) par contraposition: Soit c un élément arbitraire tel que Q(c) est faux … (séquence détapes) P(c) Preuve de x (P(x) Q(x)) par contradiction: Soit x tel que P(x) et Q(x) alors Q(c) // instance existentielle … (même séquence détapes) Contradiction: P(c) et P(c)

52 Dr. Zaguia-CSI2501-H1252 Contradiction vs Contraposition Mais quelle méthode doit-on utiliser? Avantage de la méthode par Contraposition: On évite des erreurs en exprimant la négation de lassertion. ce quon veut prouver est clair Inconvénient de la méthode par Contraposition: nest utilisable que pour des assertions universelles et conditionnelles.

53 Dr. Zaguia-CSI2501-H1253 Stratégies de preuves Assertion: Pour tous les éléments du domaine, si P(x) alors Q(x) Imaginer les éléments satisfaisant P(x). On doit se demander sils ont la propriété pour satisfaire Q(x)? si tu est convaincu que cest « OUI » alors utiliser les raisons pour lesquelles tu penses que cest OUI comme base dune preuve directe. Si ce nest pas clair que la réponse est « OUI », utiliser les raisons pour peut être arriver un contre exemple. Si vous narrivez pas a trouver un contre exemple essaye de réfléchir sur les raisons: Peut être en supposant P(x) Q(x) tu arrives a une contradiction Peut être en supposant P(x) Q(x) tu peux en déduire P(x) Il ny a pas de recettes pour les preuves La pratique, pratique et pratique

54 Dr. Zaguia-CSI2501-H1254 Plus dexemples/exercices Prouver quils ny a pas dentiers qui sont solutions de x 2 +3y 2 =8 Prouver quils ny a pas dentiers qui sont solutions de x 2 -y 2 = 14. Prouver quon peut remplir un échiquier avec des dominos. Prouver quun échiquier sans une case du coin ne peut être remplie avec des dominos. Prouver quun échiquier sans deux cases de coins situées sur une diagonale ne peut être remplie avec des dominos.

55 Dr. Zaguia-CSI2501-H1255 Plus dexemples/exercices Prouver quil ny a pas dentiers qui sont solutions de x n +y n = z n et tels que xyz 0 for n>2. Dernier théorème de Fermat (Ca pris plusieurs siècles pour le prouver, la preuve consiste de quelques centaines de pages) La conjecture 3x+1 : Est-ce que ce programme sarrête pour tout entier i? tantque(i>1) { si (pair(x)) x = x/2; sinon x = 3x+1; }

56 Dr. Zaguia-CSI2501-H1256 Erreurs a éviter Généraliser a partir dexemples On observe que 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont premiers, donc on en déduit que tout nombre impair est premier?? Le code produit des résultats correctes pour les cas quon a tester et donc on en déduit que toujours le code produit un résultat correcte Utiliser la même variable ou lettre pour exprimer deux choses différentes xP(x) xQ(x) ca ne veut pas dire quil existe c tel que(P(c) Q(c))

57 Dr. Zaguia-CSI2501-H1257 Erreurs a éviter Dautres erreurs assez communes: 1. Lerreur daffirmer la conclusion 2. Lerreur de nier lhypothèse 3. Tourner en rond ou raisonnement circulaire

58 Dr. Zaguia-CSI2501-H1258 Lerreur daffirmer la conclusion Si André la fait, il aura du sang sur les mains. André a du sang sur les mains. Par conséquent, André la fait. La forme dargument P Q Q P ou ((P Q) Q) P qui nest pas une tautologie et donc pa une forme dinférence valable

59 Dr. Zaguia-CSI2501-H1259 Lerreur de nier lhypothèse Si André est nerveux, il la fait. André nest pas vraiment nerveux. Par conséquent, André ne la pas fait. La forme dargument P Q ¬P ¬Q ou ((P Q) ¬P) ¬Q qui nest pas une tautologie et donc pa une forme dinférence valable

60 Dr. Zaguia-CSI2501-H1260 Tourner en rond ou raisonnement circulaire Lorsquon utilise la vérité lassertion quon veut prouver (ou quelque chose déquivalent) dans la preuve. Exemple: Conjecture: si n 2 est pair alors n pair. Preuve: Si n 2 est pair alors n 2 = 2k pour un certain k. Soit n = 2l pour un certain l. Donc n doit être pair. (Noter que lassertion n = 2l est introduite sans aucun argument.)

61 Dr. Zaguia-CSI2501-H1261 Méthodes de preuves Preuve directe Preuve par Contraposition Preuve par Contradiction Preuve par Equivalences Preuve par Cas (Exhaustive) Preuves dexistence Preuves par contre exemples


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