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Le dernier théorème de Fermat récréations mathématiques du 1er Octobre 2004 préhistoire.

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1 Le dernier théorème de Fermat récréations mathématiques du 1er Octobre 2004 préhistoire

2 chronologie -600 Thalès -500 Pythagore -300 Euclide +200 Diophante +400 Hépatie 1000 Al Khayyam 1200 Fibonacci 1500 Bâchet 1600 Fermat 1750 Euler 1800 Germain mathêma : sciences

3 Souvenirs de collégien Dans un triangle rectangle, le carré de de lhypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. la corde tendue sous langle droit !

4 Théorème de Pythagore

5 une preuve…

6 Arithmétique Euclide explore les propriétés des nombres au travers de la divisibilité : unité, nombre premier, nombres premiers entre-eux… arithmos : nombre -300 : les éléments, livre vii

7 Divisibilité

8 Soient x, y et z trois entiers. Si x divise yz et si x et y sont premiers entre eux alors x divise z Lemme dEuclide

9 Tout nombre entier se décompose de manière unique en produit de nombres premiers. valuation dyadique Unicité de la décomposition en facteurs premiers

10 valuation dyadique Il sagit de lexposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers dun entier…

11 Incommensurable !

12 pair = impair

13 Triangle Pythagorique

14 Quelques instances

15 Remarques et Premières interrogations Classification des triangles pythagoriques, par classe de similitude. triangle pythagorique primitif

16 Arithmétiques de Diophante Platon Il existe une infinité de classes de triangles pythagoriques. Euclide. caractérisation de toutes les solutions de x 2 + y 2 = z 2. Diophante. généralisations, nouvelles questions, nouvelles équations. équations diophantiennes.

17 preuve (1) Pythagoricité et (2) primitivité Infinitude

18 triangle Pythagorique. pythagoricité Algébrique

19 primitivité Arithmétique

20 x = + = congruences = = 10 2 x 3 = 6 7 x 8 = 56 Exemple : entiers modulo 5

21 congruences = x =

22 compatibilité additive multiple du module

23 compatibilité multiplicative multiple du module

24 applications aux équations diophantiennes Résoudre dans lensemble des nombres entiers :

25 applications aux équations diophantiennes Résoudre dans lensemble des nombres entiers :

26 carrés modulo 4

27 réciproque impair + impair = pair Un et donc un seul de ces trois entiers est pair

28 est obligatoirement impair ! On peux supposer pair.

29 Soient x, y et z trois entiers. un lemme fondamental Si y et z sont premiers entre eux

30

31 + 800 Al-kwarizmi Les mathématiques se réfugient au moyen orient. Traductions systématiques des œuvres grecques. Algébraisation des mathématiques

32 +950 Al-Khujandi La démonstration dAl-Khujandi est incorrecte ! Al-Khasin

33 1200 Léonard de Pise introduit les textes arabes, grecs en Italie. Traduction Latines. Lécole Italienne sattaque aux équations polynomiales de degré 3, 4, Bâchet traduit les textes originaux Diophante renaissance de larithmétiques. Renaissance de larithmétique.

34 1640 Fermat Fermat utilise les triangles pythagoriques pour prouver labsence de solution dans le cas de lexposant n = 4 par un méthode merveilleuse, la descente infinie.

35 1640Fermat4 1753Euler3F 1830Legendre & Dirichlet5 1840Lamé7 1847Lamé & CauchynF 184xGermain 184x-1995Kummer & successeurs10 9

36 Premier cas de Fermat Théorème de Sophie Germain. Si p et 2p+1 sont des premiers impairs alors le premier cas de Fermat est vérifié pour lexposant p. Résoudre le premier cas de Fermat pour un Exposant p premier cest montrer limplication :

37 Exercices Etudier les cubes modulo 9 pour démontrer le premier cas de Fermat de lexposant 3. Etudier les puissances cinquième modulo 25 pour démontrer le premier cas de Fermat pour lexposant 5.

38 langevin.univ-tln.fr/NOTES/FERMAT/fermat.ps


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