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Méthodes numériques pour la dynamique moléculaire IRISA Eric Darve 13 Décembre 2006 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete.

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1 Méthodes numériques pour la dynamique moléculaire IRISA Eric Darve 13 Décembre 2006 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAA

2 Page 2/34 Plan de lexposé Adaptive Biasing Force pour le calcul dénergie libre Intégrateurs en temps symplectiques avec pas de temps multiples Méthodes multipôles

3 Page 3/34 La dynamique moléculaire modélise les protéines à laide de champs de forces empiriques Les protéines forment une classe particulièrement importante de molécules dans le corps: Tissus musculaires, ligaments, transport doxygène, fonctions hormonales… Chaque protéine est définie par une séquence de 20 acides aminés: Glycine, Alanine, Valine… Chaque protéine adopte une structure 3D adaptée à sa fonction. Les interactions interatomiques sont modélisées à laide de champs de forces empiriques incluant: Liaisons chimiques, forces électrostatiques, Lennard-Jones Protéine membranaire MscL

4 Page 4/34 La coordonnée de réaction est utilisée pour modéliser des phénomènes en temps longs Définition: une coordonnée de réaction est une fonction de la position de chaque atome qui mesure la progression dune réaction chimique au sens large Elle est souvent associée à un changement de conformation de la molécule Exemple:

5 Page 5/34 Lénergie libre décrit le comportement thermodynamique de la coordonnée de réaction Densité de probabilité de la coordonnée de réaction : Définition de lénergie libre: Un potentiel moyenné fonction de seulement. Ensemble canonique: la densité de probabilité est définie par:

6 Page 6/34 La méthode de lhistogramme nest utilisable que si léchantillonnage est relativement uniforme Etats de transition Barrière dénergie libre Etats métastables

7 Page 7/34 La méthode dintégration thermodynamique utilise la dérivée de lénergie libre La relation entre quantité de mouvement et énergie est généralisée à une coordonnée arbitraire : Dans la méthode dintégration thermodynamique, lénergie libre est calculée à partir de sa dérivée dA/d. La dérivée sinterprète comme une force moyenne agissant sur. Extension multidimensionnelle:

8 Page 8/34 Adaptive Biasing Force (ABF) ajoute une force de biais pour améliorer léchantillonnage Si la force suivante est ajoutée: léchantillonnage devient uniforme. Cette force nest pas accessible au début de la simulation mais on lapproxime de la façon suivante:

9 Page 9/34 La méthode de Jarzynski utilise des simulations hors déquilibre Transformation adiabatique Avec une vitesse de transformation finie, à cause des effets hors déquilibre, on a seulement: Léquation de Jarzynski est exacte même en présence deffets hors déquilibre:

10 Page 10/34 Déviation standard pour ABF: Croissance linéaire avec la déviation standard de la force Déviation standard pour la méthode de Jarzynski : Croissance exponentielle avec la déviation standard du travail Lerreur statistique est très faible comparée avec la méthode de Jarzynski

11 Page 11/34 Energie libre 2D avec ABF: alanine dipeptide Coordonnées de réaction Fenêtres utilisées pour le calcul Energie libre 2D Angles pour une hélice α Angles pour une β sheet

12 Page 12/34 Lintégration du champs de force est obtenue par une méthode doptimisation

13 Page 13/34 ABF a été appliquée à létude des protéines membranaires Peptide amphipathique qui présente à la fois des régions hydrophobes et des régions hydrophiles. La séquence est donnée par (LSLLLSL) 3. Leucine est non-polaire Serine est polaire et interagit fortement avec leau Leucine en rose (non-polaire) Serine en jaune (polaire) Liaisons hydrogènes

14 Page 14/34 Les résultats numériques indiquent une asymétrie dans le peptide Energie libre kcal / mol

15 Page 15/34 ABF permettra détudier des canaux membranaires pour le toucher Lénergie mécanique libérée par le toucher ouvre des canaux dans les neurones sensorielles de la peau. Un collaborateur, Miriam Goodman, a montré que des mutations affectant les gènes qui encodent les canaux peuvent bloquer leur fonctionnement. Lobjectif: comprendre le mécanisme douverture du canal suite à un changement de stress. ABF permettra de comprendre le mécanisme douverture et leffet des mutations. Figure du haut : normal; le canal reste fermé Figure du bas : mutant; le canal reste principalement ouvert

16 Page 16/34 Plan de lexposé Adaptive Biasing Force pour le calcul dénergie libre Intégrateurs en temps symplectiques avec pas de temps multiples Méthodes multipôles

17 Page 17/34 Le principe dHamilton discret permet de construire des intégrateurs symplectiques Principe dHamilton: une trajectoire est un extremum de lintégrale daction: Principe discret: extremum de lintégrale daction discrète

18 Page 18/34 Cette classe dintégrateurs peut être étendue aux intégrateurs asynchrones Choix indépendant du pas temps pour chaque potentiel: Principe variationnel conduit nécessairement à un intégrateur symplectique

19 Page 19/34 Limplémentation dune méthode asynchrone dordre 2 est très simple Temps

20 Page 20/34 En dynamique moléculaire, un pas de temps est choisi pour chaque type de potentiel Liaison chimique Angles entre deux liaisons et angle de torsion avec trois liaisons Lennard-Jones Electrostatique à courte et longue distance

21 Page 21/34 Lintégrateur en temps est du second ordre Nombre de forces calculées Erreur

22 Page 22/34 Un problème modèle permet détudier la stabilité dun intégrateur synchrone (r-RESPA) Problème modèle: r-RESPA correspond au choix: Condition de stabilité: Lintégrateur est instable quand:

23 Page 23/34 Lextension au cas asynchrone est possible pour certains rapports de pas de temps Rapport rationnel: On définit la matrice suivante: Lintégrateur est instable si une des valeurs propres est plus grande que 1. Ceci permet un calcul numérique des pas de temps instables.

24 Page 24/34 Le diagramme de stabilité révèle certaines structures

25 Page 25/34 Linstabilité est présente si le temps de synchronisation est un multiple de la demi-période Démontré: Ces équations conduisent à un ensemble de points discret. Conjecture:

26 Page 26/34 Démontré: il existe une famille de courbes composées de points instables

27 Page 27/34 Courbes rouges: Quatre courbes sont clairement visibles sur la figure Courbes vertes: Courbes magentas: Courbes cyans:

28 Page 28/34 Lintégrateur peut être stabilisé dans le contexte dune équation de Langevin Les équations de Langevin sont utilisées pour simuler un système à température constante. Cest une équation stochastique donnée par: Létude précédente permettra de déterminer la valeur minimale de qui garantit un intégrateur stable.

29 Page 29/34 Plan de lexposé Adaptive Biasing Force pour le calcul dénergie libre Intégrateurs en temps symplectiques avec pas de temps multiples Méthodes multipôles

30 Page 30/34 La méthode multipôle multi-fréquence est stable et convergente La méthode multipôle « conventionnelle » avec un développement en ondes planes nest pas convergente Les erreurs darrondi deviennent dominant à ordre élevé Ceci devient un problème dans deux contextes: Basse-fréquence Précision élevée Une formulation stable et arbitrairement précise a été créée Basée sur un développement différent utilisant des ondes évanescentes et propagatrices

31 Page 31/34 La méthode haute-fréquence a été accélérée à laide dun développement de Fourier La transformation des développements multipolaires en développements locaux domine habituellement le temps de calcul Quand le nombre de termes devient grand, les opérations dinterpolation et de lissage pour changer de niveau deviennent couteuses: Le passage dun développement en harmonique sphérique à développement de Fourier permet de réduire ce coût:

32 Page 32/34 Lalgorithme original est modifié de manière minimale Développement multipolaire haute-fréquence: Un développement de Fourier est utilisé au lieu des harmoniques sphériques: Collaboration avec George Papanicolaou.

33 Page 33/34 Une méthode multipôle en ondes planes a été créée pour réduire le temps de calcul sur machine parallèle La technique classique pour calculer les forces électrostatiques en dynamique moléculaire est Particle Mesh Ewald. Elle nécessite des transformées de Fourier rapides, difficiles à paralléliser. La méthode multipôle avec ondes planes se parallélise aisément : on décompose non pas le domaine mais les indices des coefficients multipolaires Une seule réduction en parallèle à la fin est nécessaire.

34 Page 34/34 Conclusion Méthodes numériques pour la dynamique moléculaire Energie libre, pas de temps multiples Méthode multipôle pour lélectromagnétisme, lacoustique et la dynamique moléculaire Autres sujets de recherche: Processeurs de streaming pour le calcul scientifique Fluides de Stokes avec particules qui sédimentent Micro-canaux et electroosmose Méthodes directes pour matrices creuses

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