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Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Préliminaires, Partie I, Matrices et vecteurs aléatoires Version: 8 février 2007.

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1 Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Préliminaires, Partie I, Matrices et vecteurs aléatoires Version: 8 février 2007

2 STT-2400; Régression linéaire 2 Introduction Lobjectif de cette section est de déterminer lestimateur des moindres carrés (OLS) pour le modèle de régression linéaire multiple (RLM). Les notions qui seront couvertes dans les sections préliminaires I, II et III sont notamment les vecteurs aléatoires et la loi normale multivariée. Comme on le verra plus tard, les estimateurs des paramètres formeront un vecteur aléatoire qui sous certaines hypothèses est de distribution normale.

3 STT-2400; Régression linéaire 3 Matrices et vecteurs aléatoires Définition: Une matrice aléatoire de dimension est une matrice dont les éléments sont des variables aléatoires. Définition: Un vecteur aléatoire est un vecteur dont les éléments sont des variables aléatoires.

4 STT-2400; Régression linéaire 4 Espérance mathématique des matrices et vecteurs aléatoires Définition: Soit une matrice aléatoire et considérons un vecteur aléatoire. Nous avons les propriétés suivantes:

5 STT-2400; Régression linéaire 5 Propriété 3.1 Soient et deux vecteurs aléatoires, une matrice aléatoire et et des matrices constantes. On a alors les propriétés suivantes:

6 STT-2400; Régression linéaire 6 Matrice des variances et covariances Soit un vecteur aléatoire de moyenne. On définit la variance de, que lon note, de la manière suivante:

7 STT-2400; Régression linéaire 7 Exemple Soit un vecteur aléatoire de moyenne et de variance valant. Soit pour un vecteur constant. On a alors:

8 STT-2400; Régression linéaire 8 Propriété 3.2 Soit un vecteur aléatoire de moyenne et de variance valant. Pour une matrice constante on a les propriétés suivantes:

9 STT-2400; Régression linéaire 9 Propriété 3.3 Soit un vecteur aléatoire de moyenne et de variance valant. Pour une matrice constante et un vecteur constant on a les propriétés suivantes:

10 Pour (ii): (ii) implique (iii): (i)

11 STT-2400; Régression linéaire 11 Remarque sur la Propriété 3.3 (i) On rappelle que cette propriété stipule que: En fait, lanalogue univarié est simplement que pour une variable aléatoire X:


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