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Etude de la morphométrie des arbres par combinaison de la géométrie fractale et de la physique statistique J. Duchesne 1, P. Raimbault 2 and C. Fleurant.

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2 Etude de la morphométrie des arbres par combinaison de la géométrie fractale et de la physique statistique J. Duchesne 1, P. Raimbault 2 and C. Fleurant 1 1. UMR 105 Paysages et biodiversité 2. UMR SAGAH

3 Une loi universelle de la morphométrie des arbres ? Introduction Démonstration de la loi Résultats et discussion Conclusion

4 Une loi universelle de la morphométrie des arbres ? Introduction Démonstration of the law Résultats et discussion Conclusion

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7 Réseaux hydrographiques Arbres Structures fractales ramifiées Ont en commun linvariance déchelle

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9 N 1 : nombre de tronçons du 1 er ordre N 2 : nombre de tronçons du 2 ème ordre ……….. Rapports N 1 / N 2, N 2 / N 3, … N i / N i+1 sont constants et notés R C : rapport de bifurcation N i : nombre de tronçons dordre i

10 ……….. Les rapports L 2 / L 1, L 3 / L 2, … L i+1 / L i sont constants et notés R L : rapport de longueur : longueur moyenne des tronçons dordre 2 : longueur moyenne des tronçons dordre 1 : longueur moyenne des tronçons dordre n

11 Ces deux résultats sont la marque dune structure fractale ramifiée

12 Une loi universelle de la morphométrie des arbres ? Introduction Démonstration of the law Résultats et discussion Conclusion

13 Nous proposons dutiliser un raisonnement de physique statistique

14 Une loi universelle de la morphométrie des arbres ? 1. Introduction 2. Démonstration de la loi –Choix de lespace symbolique

15 Symbolic space of Maxwell : the space of speeds vxvx vyvy vzvz dv x dv y dv z

16 d 3 N is the number of molecules which the speed vector ends to the elementary volume dv x dv y dv z, among a total number of molecules N

17 The two hypotheses of Maxwell the independence of the 3 speed components ; the isotropy of the speed directions

18 The independence of the 3 speed components involves : So, the 3 variables are separated

19 The isotropy of the speed directions is a natural hypothesis because one can hardly imagine that some directions be privilegied The distributions f 1, f 2, f 3 have the same form :

20 are sufficient conditions to determine the function F(v) The two hypotheses of Maxwell

21 Analogy between thermodynamics and natural networks thermodynamicsnatural networks Maxwell approachOur approach

22 Analogy... thermodynamicsnatural networks Notion of speed vector moduleNotion of hydraulic length vL

23 vxvx vyvy vzvz dv x dv y dv z Maxwell approach Analogy … thermodynamics natural networks

24 L = l1 l1 + l 2 + l3+ l3 Our approach +… + l n Analogy … thermodynamics natural networks

25 There are two differences between the two approaches...

26 Analogy … thermodynamics natural networks In thermodynamicsIn natural networks first difference : there are 3 componentsthere are n components

27 Analogy … thermodynamics natural networks

28 Analogy … thermodynamics natural networks

29 In thermodynamicsIn natural networks second difference : the 3 components have the same mean the n components have not the same mean

30 Analogy … thermodynamics natural networks

31 Analogy … thermodynamics natural networks

32 Analogy … thermodynamics natural networks

33 Maxwells two hypotheses the independence of the 3 speed components ; the isotropy of the speed directions become the independence of the n length components ; the isotropy of the directions of the symbolic space

34 The Maxwell function becomes

35 The Maxwell results for f become And the same for v x, v y, v z become

36 Une loi universelle de la morphométrie des arbres ? Introduction Démonstration of the law Résultats et discussion Conclusion

37 … it is necessary to respect two conditions which are strongly related to the statistical physics : 1. the size of the system much be very large compared with the elementary constituent which will be taken into account 2. the local properties of the system must be homogeneous

38 A large number of elementary constituents Homogeneity of the population

39 Results with a population of trees The population : 12 apple trees 4 years old grown from the same parents

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42 1. The number of hydraulic lengths, corresponding to apexes, cannot exceed a few thousand for a given class ; 2. Moreover, the distribution of hydraulic lengths, as well as the distribution of their n components can be more or less influenced by the environment constraints.

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44 Results with a Cupressocyparis In the same way, R B and R L are calculated for all branches of the tree Mean hydraulic length : the average of all the hydraulic lengths of the tree Order n : the maximum order observed in the tree

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47 Une loi universelle de la morphométrie des arbres ? Introduction Démonstration de la loi Résultats et discussion Conclusion

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50 Réseaux sur Titan (source : ESA)

51 Biblio sommaire Fleurant C., Duchesne, J., Raimbault, P., An allometric model for trees. Journal of Theorical Biology, 227, Cudennec C., Fouad Y., Sumarjo Gatot I. & Duchesne J A geomorphological explanation of the unit hydrograph concept. Hydrological processes, 18, Duchesne J., Raimbault P. & Fleurant C Towards a universal law of tree morphometry by combining fractal geometry and statistical physics, in Proceeding "Emergent Nature", 7th multidisciplinary conference, M. M. Novak (ed.), World Scientific 2002, pp Roland B An attempt to characterise Hedgerow lattice by means of fractal geometry,, in Proceeding "Emergent Nature", 7th multidisciplinary conference, M. M. Novak (ed.), World Scientific 2002, pp Duchesne, J, Fleurant, C. & Capmarty-Tanguy, F., inventeurs, 2002, Procédé dimplantation de végétaux, plan dimplantation de végétaux obtenu et système informatique pour lélaboration dun tel plan, déposé à lINPI le 25 juin 2002.

52 Merci de votre attention

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54 This is the density of the points representing the speeds

55 As we have :


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